MATERIAL EN REVISIÓN
Introducción
Anteriormente definimos la integral de una función medible no negativa general, sin embargo, comentamos que existían dificultades técnicas a la hora de ver que $$\int (f+g) \ \mathrm{d}\lambda=\int f \ \mathrm{d}\lambda+\int g \ \mathrm{d}\lambda.$$ (Algo bastante deseable a la hora de integrar).
En esta entrada enunciaremos y probaremos el Teorema de la Convergencia Monótona de Lebesgue, una de las herramientas más importantes en teoría de integración. Veremos también algunas de sus consecuencias, entre ellas la aditividad de la integral.
El teorema de la convergencia monótona
Teorema (de Convergencia Monótona de Lebesgue). Sea $\{f_k \}_{k=1}^{\infty}$ una sucesión creciente de funciones medibles no negativas sobre $\mathbb{R}^n$: $$0\leq f_1\leq f_2\leq f_3\dots$$ Entonces $$\lim_{k\to \infty}\int f_k \ \mathrm{d}\lambda=\int \left( \lim_{k\to \infty} f_k \right) \ \mathrm{d}\lambda$$
Demostración. Definamos $f=\lim_{k\to \infty} f_k$. Observa que $f$ está bien definida pues en cada punto es el límite de una sucesión creciente. Es medible al ser límite de funciones medibles.
Para todo $k$, claramente $f_k\leq f_{k+1}\leq f$, de donde $\int f_k \ \mathrm{d}\lambda \leq \int f_{k+1} \ \mathrm{d}\lambda \leq \int f \ \mathrm{d}\lambda$. Es decir, la sucesión $\{ \int f_k \ \mathrm{d}\lambda \}_{k=1}^{\infty}$ es creciente y acotada por $ \int f \ \mathrm{d}\lambda$. Como cualquier sucesión creciente (de números extendidos) converge a su supremo, concluimos que:
$$\lim_{k\to \infty} \int f_k \ \mathrm{d}\lambda = \sup_k \int f_k \ \mathrm{d}\lambda \leq \int f \ \mathrm{d}\lambda .$$ Veamos la desigualdad opuesta. Para ello es suficiente probar que para cada núemro real $c<\int f \ \mathrm{d}\lambda$, se tiene $c\leq \lim_{k\to \infty} \int f_k \ \mathrm{d}\lambda$. Fijemos entonces algún $c<\int f \ \mathrm{d}\lambda$. Por definición de $\int f \ \mathrm{d}\lambda$, existe alguna función simple $s\in S$ tal que $0\leq s \leq f$ y $c<\int s \ \mathrm{d}\lambda$.
Al ser una función simple, $s$ admite una representación de la forma: $$s=\sum_{j=1}^{m}\alpha_j\chi_{A_j}.$$ Donde $0<\alpha_j<\infty$ y los conjuntos $A_j$ son medibles ajenos. Dado $\varepsilon<\min(\alpha_1,\dots, \alpha_m)$, consideremos la función simple: $$s_\varepsilon=\sum_{j=1}^{m}(\alpha_j-\varepsilon)\chi_{A_j}$$ Claramente $s_\varepsilon \in S$. Más aún, podemos escoger $\varepsilon$ suficientemente pequeño tal que $c<\int s_\varepsilon \ \mathrm{d}\lambda$: Esto es obvio si alguno de los $A_j$ tiene medida infinita. Si todos los $A_j$ son de medida finita, esto es consecuencia de la continuidad de $\int s_\varepsilon \ \mathrm{d}\lambda=\sum_{j=1}^{m}(\alpha_j-\varepsilon)\lambda(A_j)$ respecto a $\varepsilon$.
Reemplazando a $s$ por $s_\varepsilon$ de ser necesario, podemos entonces asumir que $s$ satisface:
- $0\leq s \leq f$,
- Si $f(x)>0 \ \implies \ s(x)<f(x)$,
- $c<\int s \ \mathrm{d}\lambda$.
Definamos ahora los conjuntos $$E_k = \{ x\ | \ f_k(x)\geq s(x) \}.$$
Estos son medibles (pues la función $f_k-s$ es medible). Como las $f_k$ son crecientes, claramente $$E_1\subseteq E_2\subseteq E_3\subseteq \dots$$
Más aún, notemos que $$\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k =\mathbb{R}^n.$$ Pues dado $x\in \mathbb{R}^n$, si $s(x)=0$, entonces $s(x)\leq f_k(x)$ $\forall k$, de donde $x\in E_k$ para todo $k$. Si $s(x)>0$ $\implies$ $f(x)>0$ $\implies$ $f(x)>s(x)$. Como $f_k(x)\uparrow f(x)$, existe algún $N$ tal que $f_N(x)>s(x)$ $\implies$ $x\in E_N$.
En particular, para cualquier $A\subseteq \mathbb{R}^n$ medible, se tiene $(A\cap E_1)\subseteq (A\cap E_2)\subseteq \dots$ y $A=\bigcup_{k=1}^{\infty}(A\cap E_k)$. Luego, por monotonía de la medida de Lebesgue: \begin{equation} \lambda(A)=\lim_{k\to \infty} \lambda(A\cap E_k). \end{equation}
Ahora, usando que $\chi_{A\cap B}=\chi_A\chi_B$, tenemos: $$f_k\geq f_k\chi_{E_k}\geq s_k\chi_{E_k}= \sum_{j=1}^{m}\alpha_j\chi_{A_j\cap E_k}$$ \begin{equation} \implies \int f_k \ \mathrm{d}\lambda\geq \sum_{j=1}^{m}\alpha_j\lambda (A_j\cap E_k). \end{equation} Haciendo tender $k\longrightarrow \infty$ en (2) y usando (1), concluimos finalmente: $$\lim_{k\to \infty} \int f_k \ \mathrm{d}\lambda\geq \lim_{k\to \infty} \left( \sum_{j=1}^{m}\alpha_j\lambda (A_j\cap E_k) \right)=\sum_{j=1}^{m}\alpha_j\lambda (A_j)=\int s \ \mathrm{d}\lambda>c.$$ Lo que completa la demostración.
$\square$
Corolario. Si $f,g:\mathbb{R}^n\to [0,\infty]$ son funciones medibles no negativas, entonces: $$\int (f+g) \ \mathrm{d}\lambda=\int f \ \mathrm{d}\lambda+\int g \ \mathrm{d}\lambda.$$
Demostración. Como ya sabemos [ENLACE], podemos encontrar sucesiones crecientes en $S$ , digamos $\{ s_k \}_{k=1}^{\infty}$ y $\{ t_k \}_{k=1}^{\infty}$, tales que $$s_k\uparrow f \ \ \text{y} \ \ t_k\uparrow g.$$ De donde claramente $$(s_k+t_k)\uparrow f+g.$$
Por el teorema de la convergencia monótona, aplicado a las sucesiones $\{ s_k \}_{k=1}^{\infty}$, $\{ t_k \}_{k=1}^{\infty}$, $\{ s_k+t_k\}_{k=1}^{\infty}$ podemos concluir:
\begin{align*}
\int (f+g) \ \mathrm{d}\lambda &= \lim_{k\to \infty} \int (s_k+t_k) \ \mathrm{d}\lambda\\
&= \lim_{k\to \infty} \left( \int s_k \ \mathrm{d}\lambda+\int t_k \ \mathrm{d}\lambda \right) \\
&= \lim_{k\to \infty} \left( \int s_k \ \mathrm{d}\lambda \right)+ \lim_{k\to \infty} \left( \int t_k \ \mathrm{d}\lambda \right) \\
&= \int f \ \mathrm{d}\lambda+\int g \ \mathrm{d}\lambda.
\end{align*}
Pues ya sabemos que $\int (s+t) \ \mathrm{d}\lambda=\int s \ \mathrm{d}\lambda+\int t \ \mathrm{d}\lambda$ si $s,t\in S$.
$\square$
Corolario. Si $f_1,f_2,f_3\dots$ es una sucesión de funciones medibles no negativas en $\mathbb{R}^n$, entonces $$\int \sum_{k=1}^{\infty} f_k \ \mathrm{d}\lambda= \sum_{k=1}^{\infty}\int f_k \ \mathrm{d}\lambda.$$
Demostración. Como las $f_k$ son no negativas, la sucesión de sumas parciales $$P_N=\sum_{k=1}^{N}f_k.$$ Es una sucesión creciente de funciones medibles no negativas. Así que su límite $$\sum_{k=1}^{\infty}f_k.$$ Existe y es una función medible (en cada punto es el límite de una sucesión creciente de números extendidos).
Como $f_k\geq 0$ $\implies$ $\int f_k \ \mathrm{d}\lambda\geq 0$ para toda $k$, de modo que la sucesión de sumas parciales de integrales $\sum_{k=1}^{N} \int f_k \ \mathrm{d}\lambda$ es creciente y por lo tanto tiene un límite (posiblemente extendido): $$\sum_{k=1}^{\infty} \int f_k \ \mathrm{d}\lambda.$$
Por el teorema de la convergencia monótona aplicado a $\{ P_N\}_{N=1}^{\infty}$ y el primer corolario:
\begin{align*}
\int \sum_{k=1}^{\infty} f_k \ \mathrm{d}\lambda &=\int \left( \lim_{N\to \infty} \sum_{k=1}^{N} f_k \right) \ \mathrm{d}\lambda \\
&= \lim_{N\to \infty} \int \sum_{k=1}^{N} f_k \ \mathrm{d}\lambda \\
&= \lim_{N\to \infty} \sum_{k=1}^{N} \int f_k \ \mathrm{d}\lambda \\
&= \sum_{k=1}^{\infty} \int f_k \ \mathrm{d}\lambda.
\end{align*}
$\square$
Más adelante…
Veremos que, en general, las hipótesis del teorema de la convergencia monótona no se pueden «relajar mucho». Sin embargo, siempre podemos dar un estimado muy poderoso con respecto a límites e integrales: El Lema de Fatou.