MATERIAL EN REVISIÓN
Introducción
En esta entrada continuaremos nuestro estudio de las funciones medibles. Empezaremos repasando los conceptos de límite superior e inferior que serán de gran utilidad en nuestros desarrollos. Posteriormente veremos también que las funciones medibles son cerradas bajo una gran cantidad de operaciones aritméticas y de toma de límites.
Límite superior e inferior
Antes de continuar, conviene dar un breve recordatorio sobre los conceptos de límite superior e inferior de una sucesión que nos encontraremos a menudo en las siguientes entradas. A grandes rasgos, el límite inferior es el «menor punto de acumulación» que admite una sucesión; mientras que el límite superior es el «mayor punto de acumulación» que admite una sucesión. De manera precisa:
Definición. El límite inferior de una sucesión de numeros reales extendidos $\{ x_k \}_{k=1}^{\infty}$ se define como:
$$\limsup_{k\to \infty}x_k=\limsup x_k:=\lim_{k\to \infty} (\inf_{m\geq k}x_m)$$
El límite superior se define como:
$$\limsup_{k\to \infty}x_k=\limsup x_k:=\lim_{k\to \infty} (\sup_{m\geq k} x_m)$$
Observación. Ambos límites siempre existen (aunque son posiblemente infinitos) pues son límites de sucesiones monótonas crecientes y decrecientes respectivamente (a saber $\inf_{m\geq k}x_m$ y $\sup_{m\geq k}x_m$). Por esta misma razón podemos escribir: $$\limsup x_k=\inf_{j\geq 1}(\sup_{k\geq j}x_k); \ \ \ \ \ \liminf x_k=\sup_{j\geq 1}(\inf_{k\geq j}x_k).$$
Proposición. $\{ x_n\}_{n=1}^{\infty}$ converge a $x$ si y sólo si $\liminf_{k}x_k=\limsup_k x_k=x$.
Demostración. ($\impliedby$) Si $\liminf x_k=\limsup x_k = x $, entonces, por definición, las sucesiones:
$$y_k:= \inf_{m\geq k} x_m; \ \ \ \ \ z_k:= \sup_{m\geq k} x_m.$$ Convergen a $x$. Sin embargo, tenemos que:
$$y_m\leq x_m\leq z_m \ \ \ \forall m\in \mathbb{N}.$$
De donde $x_m\longrightarrow x$ cuando $m\longrightarrow \infty$. (Observa que este argumento es válido incluso cuando $x=\pm \infty$).
($\implies$) Supongamos que $\lim_{k\to \infty} x_k=x$.
Los casos $x=\pm \infty$ son sencillos. Los detalles se dejan como tarea moral. Así que supongamos que $-\infty<x<\infty$.
Por definición, dado $\varepsilon>0$ existe $N\in \mathbb{N}$ tal que: $$x-\varepsilon<x_m<x+\varepsilon \ \ \ \forall m\geq N$$
Definiendo las sucesiones $\{ y_k\}_{k=1}^{\infty} $ y $\{ z_k\}_{k=1}^{\infty} $ como en el inciso anterior, al tomar ínfimos, la condición anterior implica que:
$$x-\varepsilon\leq y_N$$ Como la sucesión $\{ y_k\}_{k=1}^{\infty} $ es monótona creciente, y por definición $y_m\leq x_m \leq x+\varepsilon$ $\forall m\geq N$, podemos concluir que:
$$x-\varepsilon\leq y_N\leq y_m < x+\varepsilon \ \ \ \forall m\geq N.$$
Como lo anterior se cumple para cualquier $\varepsilon>0$, concluimos que $y_m\longrightarrow x$ cuando $m\longrightarrow \infty$. Por un argumento similar podemos ver que $z_m\longrightarrow x$ cuando $m\longrightarrow \infty$ que es lo mismo que: $\liminf_{k}x_k=\limsup_k x_k=x$.
$\square$
Más propiedades de funciones medibles
Antes de enunciar el resultado principal de esta entrada, conviene establecer algo de notación que estaremos usando a menudo.
Notación. Si tenemos una sucesión de funciones $\{ f_k \}_{k=1}^{\infty}$, denotaremos a su límite puntual (si existe) como $\lim f_k=\lim_{k\to \infty }f_k$, que recordemos, tiene como regla $(\lim f_k) (x)=\lim_{k\to \infty} f_k(x)$ (el límite actúa punto a punto). Adoptaremos convenciones similares para $\sup$, $\inf$, $\limsup$, $\liminf$, etc. Cuando no genere mayor problema, para aligerar la notación omitiremos los subíndices $\{ k\to \infty\}$ y similares.
Proposición. Sea $\mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra sobre $X$. Sean $f,g:X\to \mathbb{R}$ funciones $\mathcal{M}$ medibles; $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$. Entonces:
- Si $\phi:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es Borel medible, entonces $\phi\circ f$ es $\mathcal{M}$ medible.
- Si $f\neq 0$, entonces $\frac{1}{f}$ es $\mathcal{M}$ medible.
- Dado $0<p<\infty$, entonces $|f|^p$ es $\mathcal{M}$ medible.
- $f+g$ es $\mathcal{M}$ medible.
- $\alpha f$ es $\mathcal{M}$ medible.
- $fg$ es $\mathcal{M}$ medible.
- Si $f_k:X\to [-\infty,\infty]$ es una sucesión de funciones $\mathcal{M}$ medibles entonces cada una de las siguientes funciones es $\mathcal{M}$ medible. (en el caso de la última, condicionada a que esté bien definida).
\begin{align*}
\sup_k f_k&, \ &\inf_k f_k, \\
\limsup_{k\to \infty} f_k&, \ &\liminf_{k\to \infty} f_k, \\
\lim_{k\to \infty} f_k&
\end{align*}
Demostración.
- Si $E\subseteq{R}$ es de Borel, entonces $\phi^{-1}(E)$ es de Borel ($\phi$ es Borel medible), luego $(\phi \circ f)^{-1}(E)=f^{-1}(\phi^{-1}(E))\in \mathcal{M}$ ($f$ es medible).
- Definamos
\begin{equation*}
h(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{x} & \text{si } x\neq 0 \\
0 & \text{si } x =0
\end{cases}
\end{equation*}
Es fácil verificar directamente que $h$ es Borel medible. Como $f\neq 0$, $h\circ f=\frac{1}{f}$. Del inciso 1 se sigue que $\frac{1}{f}=h\circ f$ es $\mathcal{M}$ medible. - Como la función $P(x)=|x|^p$ es continua, en automático es Borel medible. Luego, por el inciso 1, $|f|^p=P\circ f$ es $\mathcal{M}$ medible.
- Notemos que $f(x)+g(x)<t$ $\iff$ $f(x)<t-g(x)$ $\iff$ existe $r\in \mathbb{Q}$ tal que $f(x)<r<t-g(x)$. Luego, $$\{ x \ | \ f(x)+g(x)<t \}=\bigcup_{r\in \mathbb{Q}}f^{-1}((-\infty,r))\cap g^{-1}((-\infty,t-r)).$$ Como $f,g$ son medibles y $\mathcal{M}$ es $\sigma$-álgebra, se sigue que dicho conjunto pertenece a $\mathcal{M}$.
- La función $h(x)=\alpha x$ es continua y por tanto Borel medible. Luego, por el inciso 1, $\alpha f=h\circ f$ es $\mathcal{M}$ medible.
- Combinando los incisos 3-5 se sigue que la función $$fg=\frac{1}{4}(f+g)^2-\frac{1}{4}(f-g)^2$$ es $\mathcal{M}$ medible.
- Es fácil ver que $$\{x \ | \ \sup_k f_k(x)\leq t \}=\bigcap_k \{ x\ | \ f_k(x)\leq t \}. $$ Éste último conjunto pertenece a $\mathcal{M}$ (pues las $f_k$ son medibles y $\mathcal{M}$ es $\sigma$-álgebra). Se sigue que $\sup f_k$ es medible. Similarmente, como $$\{x \ | \ \inf_k f_k(x)\geq t \}=\bigcap_k \{ x\ | \ f_k(x)\geq t \}.$$ Se sigue que $\inf f_k$ es $\mathcal{M}$ medible.
Por lo anterior, para cada $j\in \mathbb{N}$ la función $\sup_{k\geq j}f_k$ es $\mathcal{M}$ medible, de donde la función $$\limsup f_k =\inf_{j\geq 1}(\sup_{k\geq j} f_k).$$ Es $\mathcal{M}$ medible. Análogamente se ve que $\liminf f_k$ es medible.
Si $\lim f_k(x)$ está definida en cada punto, entonces $$\lim_{k\to \infty}f=\limsup f_k =\liminf f_k.$$ Es $\mathcal{M}$ medible.
$\square$
Como una consecuencia inmediata del último inciso tenemos que:
Corolario. Si $f,g:X\to [-\infty,\infty]$ son funciones medibles, entonces $\max (f,g)$ y $\min(f,g)$ son medibles.
La siguiente definición aparecerá a menudo así que es conveniente recordarla.
Definición. Dado $a\in[-\infty,\infty]$, definimos la parte positiva y negativa de $a$ como:
\begin{equation*}
a_+=
\begin{cases}
a & \text{si } a\geq 0\\
0 & \text{si } a <0
\end{cases} \ \ \ \ ; \\
\ \ \ \ a_-=
\begin{cases}
0 & \text{si } a\geq 0 \\
-a & \text{si } a <0
\end{cases} \\
\end{equation*}
Respectivamente.
Corolario. Si $f:X\to [-\infty,\infty]$ es $\mathcal{M}$ medible, entonces la parte positiva y negativa de $f$, $f_+$ y $f_-$ son también $\mathcal{M}$ medibles.
Demostración. Simplemente notemos que $f_+(x)=\max(f(x),0)$ y $f_-(x)=\max (-f(x),0)$ y apliquemos el corolario anterior.
$\square$
Más adelante
Estudiaremos la definición de función simple: las funciones medibles «más sencillas». Veremos cómo es que aproximan a las demás funciones medibles (lo que a futuro será vital para definir la integral de Lebesgue) y definiremos su integral.