Introducción.

La Topología es un área de las matemáticas que se interesa por conceptos como proximidad, continuidad, conexidad, compacidad, y muchos otros mas. Para abordarlos, es necesario establecer un cierto tipo de conjuntos (que en Topología se les conoce como los conjuntos abiertos).
$\boxed{\text{Bola abierta}}$
La bola abierta con centro en ${\overline{x}}_0$ y radio $r>0$, es el conjunto:
$$B({\overline{x}}_0,r)=\{\overline{x}\in {\mathbb{R}}^n|\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0\Vert <r\}$$
$\boxed{\text{Bola Cerrada}}$
La bola cerrada con centro ${\overline{x}}_0$ y radio $r\ge 0$ es el conjunto:
$$\overline{B}({\overline{x}}_0,r)=\{\overline{x}\in {\mathbb{R}}^n|\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0\Vert \le r\}$$
$\boxed{\text{Esfera}}$
La esfera con centro ${\overline{x}}_0$ y radio $r\ge 0$ es el conjunto:
$$S({\overline{x}}_0,r)=\{\overline{x}\in {\mathbb{R}}^n|\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0\Vert =r\}$$
Observemos que para la bola abierta $r>0$ estrictamente, mientras que la bola cerrada y la esfera pueden tener radio cero. En este último caso ambas se reducen a un punto:

$$\overline{B}({\overline{x}}_0,0)={\overline{x}}_0$$

$$S({\overline{x}}_0,0)={\overline{x}}_0\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$$
Los conjuntos $B({\bar{x}}_0,r)$, $\overline{B}({\bar{x}}_0,r)$ y $S({\overline{x}}_0,r)$ son subconjuntos de ${\mathbb{R}}^n$ y su aspecto geométrico depende de la métrica con la cual se midan las distancias.
Ejemplo. $$\begin{array}{rl}{\bar{B}}_2(0,1)& =\{\overline{x}\in {\mathbb{R}}^2|\Vert \overline{x}{\Vert }_2\le 1\}\\ & =\{\overline{x}\in {\mathbb{R}}^2|\sqrt{x^2+y^2}\le 1\}\\ & =\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2\le 1\}\end{array}$$
Geométricamente

La periferia de este disco es el circulo que tiene por ecuación
$x^2+y^2=1$, que corresponde a la esfera $S_2(0,1)=\{\overline{x}\in {\mathbb{R}}^2|\Vert \overline{x}{\Vert }_2=1\}$.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ejemplo. Sea ahora la bola cerrada
$$\begin{array}{rl}{\overline{B}}_2(0,1)& =\{\bar{x}\in {\mathbb{R}}^2|\Vert \overline{x}\Vert \le 1\}\\ & =\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2||x|+|y|\le 1\}\end{array}$$
Geométricamente

Para $S_1(0,1)=\{\overline{x}\in {\mathbb{R}}^2||\overline{x}|=1\}$

Para ${\bar{B}}_{\mathrm{\infty }}(0,1)=\{\overline{x}\in {\mathbb{R}}^2|\Vert \overline{x}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le 1\}$ = $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|max\{|x|,|y|\}\le 1\}$

tenemos entonces que

Las figuras anteriores muestran la situación geométrica, entre las bolas cerradas ${\bar{B}}_1(\bar{0},1),{\bar{B}}_2(\bar{0},1),{\bar{B}}_{\mathrm{\infty }}(\bar{0},1)$ en forma explicita se escriben:
$$max\{|x_1|,\cdots ,|x_n|\}\le \sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}\le |x_1|+\cdots +|x_n|$$
Las contenciones tanto para las bolas abiertas, como para las bolas
cerradas se siguen de las desigualdades

$$\Vert \overline{x}-x_0{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0{\Vert }_2\le \Vert \overline{x}-x_0{\Vert }_1$$
Pues por ejemplo si $\overline{x}\in B_2(\overline{x}0,r)$ entonces $\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0{\Vert }_2<r$ luego $\Vert \overline{x}-{\bar{x}}_0{\Vert }_{\mathrm{\infty }}<r$

$\therefore \Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0{\Vert }_{\mathrm{\infty }}<r$ es decir $\bar{x}\subset B_{\mathrm{\infty }}(x_0,r)$ $\therefore$ $B_2(\overline{x}0,r)\subset B_{\mathrm{\infty }}({\overline{x}}_0,r)$

Si $\bar{x}\in B_1({\overline{x}}_0,r)$ entonces $\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0{\Vert }_1<r$ luego $\Vert x-{\overline{x}}_0{\Vert }_2\le \Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0{\Vert }_1<r$ $\therefore$
$\Vert \bar{x}-{\overline{x}}_0{\Vert }_2<r$ $\therefore$ $\bar{x}\in B_2(x_0,r)$ $\therefore$ $B_1({\overline{x}}_0,r)\subset B_2(x_0,r)$
Para las esferas no hay alguna relación similar, lo que se puede deducir de las desigualdades anteriores son las relaciones siguientes:
$$S_1({\overline{x}}_0,r)\subset {\bar{B}}_2({\overline{x}}_0,r)\subset {\bar{B}}_{\mathrm{\infty }}({\overline{x}}_0,r)$$ $$S_2({\overline{x}}_0,r)\subset B_{\mathrm{\infty }}(\overline{x}0,r)$$ $$S_{\mathrm{\infty }}(\overline{x}0,r)\subset {\bar{B}}_{\mathrm{\infty }}({\overline{x}}_0,r)$$

Conjuntos Abiertos y Conjuntos Cerrados

Un concepto importante en la topología de ${\mathbb{R}}^n$ es el de conjunto abierto. Junto con el de conjunto cerrado.
Conjunto abierto y conjunto cerrado dos conceptos duales, en un sentido que trataremos de explicar. Por ahora solamente veremos la definición de cada uno de ellos y alguna de sus propiedades más importantes.
Definición. Un conjunto $V\subset {\mathbb{R}}^n$ se dice que es $\mathbf{\text{abierto}}$ si para cada $\overline{x}\in V$ existe una bola abierta $B(\overline{x},r)$ contenida en $V$. Es decir si para cada $\overline{x}\in V$ existe $r>0$ tal que $B(\overline{x},r)\subset V$.

Ejemplo. El espacio ${\mathbb{R}}^n$ es un conjunto abierto, pues dado cualquier $\overline{x}\in {\mathbb{R}}^n$, toda bola abierta $B(\overline{x},r)$ esta contenida en ${\mathbb{R}}^n$.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ejemplo .Mostraremos que el $\mathrm{\varnothing }$ es abierto.
Suponemos que el $\mathrm{\varnothing }$ no es abierto $\therefore$ $\mathrm{\exists }$ $x\in \mathrm{\varnothing }$ para el cual no es posible hallar una bola abierta $B(\overline{x},r)$ contenida en $\mathrm{\varnothing }$. Pero esto no es posible ya que el $\mathrm{\varnothing }$ no tiene elementos.
Entonces debemos suponer que el $\mathrm{\varnothing }$ no es abierto $\mathbf{\text{!}}$ $\therefore \mathrm{\varnothing }$ es abierto.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Proposición. Toda bola abierta en ${\mathbb{R}}^n$ es un conjunto abierto.
Demostración. Sea ${\overline{x}}_0\in {\mathbb{R}}^n$ y $r>0$. Mostraremos que $B({\overline{x}}_0,r)$ es un conjunto abierto. Debemos probar que para cada $\overline{x}\in B({\overline{x}}_0,r)$, existe una bola abierta $B(\overline{x},r)$ contenida a su vez en la bola abierta $B({\overline{x}}_0,r)$. Sea pues $\overline{x}\in B({\overline{x}}_0,r)$ y consideremos $R=r-\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0\Vert$. Como $\overline{x}\in B({\overline{x}}_0,r)$ se tiene entonces que $\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0\Vert <r$ $\therefore$ $R>0$. Mostraremos que la bola abierta $B(\overline{x},R)$ esta contenida en $B({\overline{x}}_0,r)$.

esto prueba que $\overline{y}\in B({\overline{x}}_0,r)$.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ejemplo.Mostraremos que en ${\mathbb{R}}^2$, el semiplano superior
$$V=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|y>0\}$$
es un conjunto abierto respecto a la norma $\Vert \bar{x}{\Vert }_1$
Solución.

Sea ${\bar{v}}_0=(x_0,y_0)\in V$. Se tiene entonces que $y_0>0$ consideremos $r=y_0$ y consideremos la bola $B_1({\overline{v}}_0,y_0)$ y sea $\overline{v}=(x,y)\in B_1({\overline{v}}_0,y_0)$ se tiene que $\Vert \overline{v}-{\bar{v}}_0{\Vert }_1<y_0$, es
decir, $|x-x_0|+|y-y_0|<y_0$. Debemos probar que $y>0$.
(1) $y$ no puede ser cero pues si $y=0$
$|x-x_0|+|y-y_0|<y_0$ $\Rightarrow$ $|x-x_0|+|y_0|<y_0$ $\mathbf{\text{!}}$ (Falso)
es decir no puede ocurrir que $|x-x_0|+|y_0|$ sea menor que $y_0$.
(2) $y$ no puede ser negativa pues
$|x-x_0|+|y-y_0|=|x-x_0|+\underset{\ast }{\underbrace{|y|+y_0}}>y_0$ $\mathbf{\text{!}}$ (Falso)
* $y<y_0$ $\Rightarrow$ $|y-y_0|=-y+y_0=|y|+|y_0|$ $\therefore$ $y$ tiene que ser $y>0$ $\therefore$ $B_1({\overline{v}}_0,y_0)$ esta en el semiplano superior.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$
Definición. Un conjunto $F\subset {\mathbb{R}}^n$ se dice que es $\mathbf{\text{cerrado}}$ si su complemento $F^c={\mathbb{R}}^n-F$ es un conjunto abierto.

Ejemplo. Los conjuntos ${\mathbb{R}}^n$ y $\mathrm{\varnothing }$ son cerrados. En efecto ${\mathbb{R}}^n$ es cerrado pues su complemento $\mathrm{\varnothing }$ es abierto. Similarmente $\mathrm{\varnothing }$ es cerrado pues su complemento ${\mathbb{R}}^n$ es abierto.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ejemplo. Un conjunto con un solo punto $\overline{0}$ es cerrado ya que ${\mathbb{R}}^n-\overline{0}$ es abierto.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Proposición. Toda bola cerrada en ${\mathbb{R}}^n$ es un conjunto cerrado.
Demostración. Sea ${\overline{x}}_0\in {\mathbb{R}}^n$ y $r\ge 0$. Probaremos que la bola cerrada $\overline{B}(x_0,r)$ es un conjunto cerrado, es decir, que su complemento ${\mathbb{R}}^n-\overline{B}(x_0,r)$ es un conjunto abierto. Sea pues $\overline{x}\in {\mathbb{R}}^n-\overline{B}(x_0,r)$. Mostraremos que existe una bola abierta $B(\overline{x},R)$ contenida en ${\mathbb{R}}^n-\overline{B}(x_0,r)$. Como $\overline{x}$ no está en la bola cerrada $\overline{B}(x_0,r)$, se tiene entonces que $\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0\Vert >r$. Definamos $R=\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0\Vert -r>0$, esto equivale a $r=\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0\Vert -R$. Veamos que $B(\overline{x},R)\subset {\mathbb{R}}^n-\overline{B}(x_0,r)$

luego $\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0\Vert <R+\Vert \overline{y}-{\overline{x}}_0\Vert$ $\therefore$ $\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0\Vert -R<\Vert \overline{y}-{\overline{x}}_0\Vert$, es decir, $r<\Vert \overline{y}-{\overline{x}}_0\Vert$. Esto significa que $\overline{y}\notin \overline{B}({\overline{x}}_0,r)$, es decir, $\overline{y}\in {\mathbb{R}}^n-\overline{B}({\overline{x}}_0,R)$.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ejemplo. Muestre que el conjunto $$V=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x\le y\}$$
es un conjunto cerrado.
Solución. Sea $V^c=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x>y\}$. mostraremos que $V^c$ es un conjunto abierto

Sea ${\bar{v}}_0=(x_0,y_0)\in V^c$ entonces $x_0>y_0$. Definimos $r=x_0-y_0>0$ ahora consideramos $B({\bar{v}}_0,r)$ vamos probar que $B({\bar{v}}_0,r)\subset V^c$ Sea ${\bar{v}}_1=(x,y)\in B({\bar{v}}_0,r)$ con la norma $\Vert \bar{x}{\Vert }_1$ se tiene $$\Vert {\bar{v}}_1-{\bar{v}}_0{\Vert }_1<r\Rightarrow |x-x_0|+|y-y_0|<r\Rightarrow |x-x_0|+|y-y_0|<x_0-y_0$$ por lo tanto $$x-y=x-x_0+y_0-y+x_0-y_0=x_0-y_0+x-x_0+y_0-y\ge x_0-y_0-(|x-x_0|+|y-y_0|)>0$$ la última desigualdad se obtiene de la propiedad $-|x-x_0|\le x-x_0\le |x-x_0|$. De esta manera $x-y>0\Rightarrow x>y$ y en consecuencia $v_1\in V^c$ por lo que $V^c$ es un conjunto abierto y por lo tanto V es un conjunto cerrado.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$
Ejemplo. Sea $V=(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x+y>0$. Demuestre que V es un conjunto abierto

Solución. Sea ${\overline{v}}_0=(x_0,y_0)\in V$ entonces $x_0+y_0>0$. Definimos $r=x_0+y_0>0$ ahora consideramos $B(\overline{v},r)$ vamos probar que $B(\overline{v},r)\subset V$
Sea ${\overline{v}}_1=(x,y)\in B(\overline{v},r)$ con la norma $\Vert .{\Vert }_1$ se tiene $$\Vert \overline{v}-{\overline{v}}_0{\Vert }_1=|x-x_0|+|y-y_0|<r$$
por lo tanto
$$x+y=x-x_0-y_0+y+x_0+y_0=x_0+y_0+x-x_0-y_0+y\ge x_0-y_0-(|x-x_0|+|y-y_0|)>0$$

de esta manera $x+y>0$ y en consecuencia ${\overline{v}}_1\in V$ por lo que V es un conjunto abierto.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ejemplo Sea $V=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|y>x^2\}$. Demuestre que V es un conjunto abierto

Solución. Sea ${\overline{v}}_0=(x_0,y_0)\in V$ entonces $y_0>x^{2}0$. Definimos $r=y_0+x^{2}0>0$ y ahora consideramos $B(\overline{v},r)=(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2={ϵ}^2$

vamos probar que $B(\overline{v},r)\subset V$.
Sea ${\overline{v}}_1=(x,y)\in B(\overline{v},r)$ cada punto en $B(\overline{v},r)$ cumple $$|x-x_0|<ϵ|y-y_0|<ϵ$$ y usando la identidad algebraica $$x_0^2=x^2-2(x-x_0)x_0-(x-x_0{)}^2$$
tenemos que
$$y>y_0-ϵ=x_0^2+y_0-x_0^2-ϵ=x^2-2(x-x_0)x_0-(x-x_0{)}^2+y_0-x_0^2-ϵ>x^2-2ϵx_0-{ϵ}^2+y_0-x_0^2-ϵ$$
Por lo tanto
$$y>x^2-2ϵx_0-{ϵ}^2+y_0-x_0^2-ϵ>x^{2}secumpleparaϵ=min\{1,\frac{y-x_0^2}{2|x_0|+2}\}$$
de esta manera $y>x^2$ y en consecuencia ${\overline{v}}_1\in V$ por lo que V es un conjunto abierto.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ejemplo. Sea $V=\{x\in \mathbb{R}|f(x)>0\}$. Demuestre que V es un conjunto abierto

Solución. Sea $y\in V$ entonces $f(y)>0$. Definimos $ϵ=f(y)$ y como f es continua
$$si0<|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<ϵ=f(y)\Rightarrow -f(y)<f(x)-f(y)<f(y)\Rightarrow 0<f(x)$$
por lo tanto
$$\mathrm{\forall }x\in B(x,\delta )setienef(x)>0$$de esta manera $B(y,\delta )\subset V$ por lo que V es un conjunto abierto.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ejemplo. Sea $V=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|a<x<b,c<y<d\}$. Demuestre que V es un conjunto abierto.

Solución. Sea $X=(x_1,y_1)\in V$ entonces $a<x_1<b$ y $c<y_1<d$. Definimos $ϵ=min\{x_1-a,b-x_1,y_1-c,d-y_1\}$ por tanto si $(x,y)\in B(X,ϵ)$

debe ocurrir
$$a<x_1-ϵ<x<x_1+ϵ<byc<y_1-ϵ<y<y_1+ϵ<d$$
por lo tanto
$$(x,y)\in V\therefore B(X,ϵ)\subset V$$y en consecuencia V es un conjunto abierto.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Más adelante

Una vez clasificados los puntos de $\mathbb{R}n$ veremos en la siguiente entrada una caracterización topológica de conjuntos de $\mathbb{R}n$ con sus respectivas propiedades.

Tarea Moral

1.- Prueba que si $\bar{x}=(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$, entonces $|x_i|\le \Vert \bar{x}\Vert$, $|x_i|\le {\Vert \bar{x}\Vert }_1$ y $|x_i|\le {\Vert \bar{x}\Vert }_{\mathrm{\infty }}$.

2.-Demuestra que dados $a_1,\dots ,a_n,b_1,\dots ,b_n\in \mathbb{R}$ tales que $a_i\le b_i$ para $i=1,..,n$, el rectángulo $[a_1,b_1]\times \cdot \cdot \cdot ,[a_n,b_n]$ es un conjunto cerrado.

3.- Demuestra que $(a_1,b_1)\times \cdot \cdot \cdot ,(a_n,b_n)$ es un conjunto abierto.

4.- Si $A=([0,1]\times [0,1])\cap (\mathbb{Q}\times \mathbb{Q})=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x,y\in \mathbb{Q}y0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$

5.- Para el conjunto $A=\{(m,0)\in {\mathbb{R}}^2|m\in \mathbb{Z}\}$ indica quien es:

a) int(A)

b) Fr(A)

c) ext(A)

d) ¿A es abierto o cerrado?

Introducción

El concepto de $\Vert \Vert$ (norma) nos da una noción de medida de un vector, la cual, generaliza la idea geométrica de distancia en la geometría euclidiana. También ayudará a tener una noción de distancia entre dos vectores en $\mathbb{R}$ o más generalmente en ${\mathbb{R}}^n$, es lo que nos permite hablar de limite o de convergencia.
Consideremos la noción común de distancia entre dos puntos en ${\mathbb{R}}^3$.
Si $\overline{x}=(x_1,x_2,x_3),\overline{y}=(y_1,y_2,y_3)$
$$\Vert \overline{x}-\overline{y}\Vert =\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2+(x_3-y_3{)}^2}$$
Esta distancia la denominamos métrica euclidiana y la generalizamos
en ${\mathbb{R}}^n$ en la siguiente definición.
Definición. Sean $\overline{x}=(x_1,\dots ,x_n)$ y $\overline{y}=(y_1,\dots ,y_n)$ elementos cualesquiera de ${\mathbb{R}}^n$ definimos la distancia euclidiana entre ellos como $$d(\overline{x},\overline{y})=\Vert \overline{x}-\overline{y}\Vert =\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+\dots +(x_n-y_n{)}^2}$$
La función $d:{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ se denomina distancia o métrica euclidiana.

Proposición. Para cualesquiera vectores $\overline{x},\overline{y},\overline{z}\in {\mathbb{R}}^n$ se tiene:
(a) $d(\overline{x},\overline{y})\ge 0$
(b) $d(\overline{x},\overline{y})=d(\overline{y},\overline{x})$
(c) $d(\overline{x},\overline{y})\le d(\overline{x},\overline{z})+d(\overline{z},\overline{y})$
(d) $d(\overline{x},\overline{y})=0\Rightarrow \overline{x}=\overline{y}$
Demostración.
(a) Como $d(x,y)=\Vert \overline{x}-\overline{y}\Vert \ge 0$ entonces $d(\overline{x},\overline{y})\ge 0$
tambien si $d(x,y)=0\Rightarrow \Vert \overline{x}-\overline{y}\Vert =0\Rightarrow \overline{x}=\overline{y}$
(b) $d(\overline{x},\overline{y})=\Vert \overline{x}-\overline{y}\Vert =\Vert \overline{y}-\overline{x}\Vert =d(\overline{y},\overline{x})$
(c) $d(\overline{x},\overline{y})=\Vert \overline{x}-\overline{y}\Vert =\Vert \overline{x}-\overline{z}+\overline{z}-\overline{y}\Vert \le \Vert \overline{x}-\overline{z}\Vert +\Vert \overline{z}-\overline{y}\Vert =d(\overline{x},\overline{z})+d(\overline{z},\overline{y}).\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$
Proposición. La función $$d_1(x,y)=|x_1-y_1|+\cdots +|x_n-y_n|$$ donde $\overline{x}=(x_1,\cdots ,x_n)$ y $\overline{y}=(y_1,\cdots ,y_n)$ $\in {\mathbb{R}}^n$, es una métrica para el espacio euclideano ${\mathbb{R}}^n$.
Demostración. Las propiedades (a), (b) son inmediatas y para la propiedad (c) tenemos
$$|x_i-y_i|\le |x_i|+|y_i|\mathrm{\forall }i=1,\dots ,n$$
sumando ambos lados de estas desigualdades para $i=1,\dots ,n$ obtenemos
$$\begin{array}{rl}{d}_1(x,z)& =\sum _{i=1}^n|x_i-z_i|\\ & =\sum _{i=1}^n|x_i-y_i+y_i-z_i|\\ & \le \sum _{i=1}^n|x_i-y_i|+|y_i-z_i|\\ & =\sum _{i=1}^n|x_i-y_i|+\sum _{i=1}^n|y_i-z_i|\\ & =d_1(x,y)+d_1(y,z)\end{array}$$
y en consecuencia $d_1$ es una métrica.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$
Ejemplo. En ${\mathbb{R}}^n$ son métricas
$$\begin{array}{rl}{d}_p(\overline{x},\overline{y})& ={(\sum _{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}},(p\ge 1)\\ d_{\mathrm{\infty }}(\overline{x},\overline{y})& =\underset{1\le i\le n}{max}|x_i-y_i|.\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}\end{array}$$

Más adelante

En la siguiente entrada estudiaremos como las nociones topológicas heredadas en ${\mathbb{R}}^n$ nos ayudan a entender las características de proximidad y continuidad.

Tarea moral

1.- Sea $(V,\Vert \cdot \Vert )$ un espacio normado, Prueba que la función $d(v,w)=\Vert v-w\Vert$ es una métrica en $V$.

2.- Describe los conjuntos $\bar{B}=x\in {\mathbb{R}}^2:{\Vert x\Vert }_p\le 1$ para $p=1,2,\mathrm{\infty }$. Haz un dibujo de cada uno de ellos.

3.- Sea $V$ un espacio vectorial distinto de $0$. Prueba que no existe ninguna norma en $V$ que induzca la métrica discreta, es decir, no existe ninguna norma en $V$ tal que $\Vert v-w\Vert =\{\begin{array}{l}o,siv=w\\ 1si,v\ne w\end{array}$

4.- Prueba que si $x_1,\dots ,x_n\in {\mathbb{R}}^n$ entonces $\Vert x_1+\dots +x_n\Vert \le \Vert x_1\Vert +\dots +\Vert x_n\Vert$

5.- Sean $\bar{x},\bar{y}\in {\mathbb{R}}^n$. Prueba que:

$\Vert \bar{x}+\bar{y}\Vert =\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ si y sólo si existe $\lambda \in \mathbb{R}$ con $\lambda >0$, tal que $\bar{x}=\lambda \bar{y}$.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta entrada definiremos el producto de matrices que se realiza para dos matrices $A$ y $B$ tales que el número de columnas de $A$ es igual al número de filas de $B$. Veremos que la forma de multiplicar matrices es más elaborada que la suma de matrices, pero esto se debe a que el producto así definido resulta muy útil para trabajar con matrices, en particular para representar sistemas de ecuaciones de forma matricial. Veremos qué ocurre al analizar el concepto de neutro multiplicativo y de inversos multiplicativos que conocemos para el conjunto de número reales, pero ahora en el caso de las matrices, tratando de adaptar las nociones conocidas a este nuevo contexto. Finalmente definiremos la transpuesta de una matriz $A$, que se obtiene intercambiando sus filas por columnas.

En la presente nota usaremos las propiedades del producto punto de elementos en ${\mathbb{R}}^n$ para las pruebas, puedes consultarlas en el siguiente enlace: Propiedades del producto punto.

Definición

Sean $n,m$ y $r$ naturales positivos, $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R}),B\in {\mathcal{M}}_{n\times r}(\mathbb{R})$.

El producto de $A$ con $B$ es la matriz $AB\in {\mathcal{M}}_{m\times r}(\mathbb{R})$ tal que:

$(AB{)}_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}.$

Notación:

$re{n}_{i}A=(a_{i1},\dots ,a_{in})$

$co{l}_{j}B=(b_{1j},\dots ,b_{nj}).$

Con esta notación $(AB{)}_{ij}=re{n}_{i}A\cdot co{l}_{j}B,$ es decir, la entrada $ij$ de $AB$ es el producto punto del renglón $i$ de $A$ con la columna $j$ de $B$.

Ejemplos

$1.$ $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 0& 1& 4\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\end{array}\right)$.

$AB=\left(\begin{array}{c}(2)(4)+(-1)(5)+3(6)\\ (0)(4)+(1)(5)+(4)(6)\end{array}\right)=$ $\left(\begin{array}{c}21\\ 29\end{array}\right)$

$3.$ $A=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 1& 3\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 3\end{array}\right)$.

$AB=\left(\begin{array}{cc}(1)(1)+(4)(2)& (1)(0)+(4)(3)\\ (1)(1)+(3)(2)& (1)(0)+(3)(3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9& 12\\ 7& 9\end{array}\right).$

Proposición

Sean $n,m,r$ y $s$ naturales positivos, $A,\bar{A}\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$, $B,\bar{B}\in {\mathcal{M}}_{n\times r}(\mathbb{R})$, $C\in {\mathcal{M}}_{r\times s}(\mathbb{R})$ y $\lambda \in \mathbb{R}.$

$a)$ $A(BC)=(AB)C.$

$b)$ $(A+\bar{A})B=AB+\bar{A}B.$

$c)$ $A(B+\bar{B})=AB+A\bar{B}.$

$d)$ $\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B).$

Demostración

Se harán las demostraciones de $b)$ y $d)$, las dos restantes quedan de tarea moral.

Sean $n,m,r$ y $s$ naturales positivos, $A,\bar{A}\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$, $B,\bar{B}\in {\mathcal{M}}_{n\times r}(\mathbb{R})$, $C\in {\mathcal{M}}_{r\times s}(\mathbb{R})$ y $\lambda \in \mathbb{R}.$

Demostración de $b)$

Por demostrar que $(A+\bar{A})B=AB+\bar{A}B.$

Observa que tanto $(A+\bar{A})B$ como $AB+\bar{A}B$ pertenecen a ${\mathcal{M}}_{m\times r}(\mathbb{R}).$

Sean $i\in \{1,\dots ,m\},j\in \{1,\dots ,r\}.$

Expresión	Explicación
$((A+\bar{A})B{)}_{ij}=$	Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $(A+\bar{A})B.$
$=re{n}_i(A+\bar{A})\cdot co{l}_{j}B$	Por definición de producto de matrices.
$=(re{n}_{i}A+re{n}_i\bar{A})\cdot co{l}_{j}B$	Por definición de suma de matrices.
$=re{n}_{i}A\cdot co{l}_{j}B+re{n}_i\bar{A}\cdot co{l}_{j}B$	Por las propiedades del producto punto.
$=(AB{)}_{ij}+(\bar{A}B{)}_{ij}$	Por definición de producto de matrices.
$=(AB+\bar{A}B{)}_{ij}$	Por definición de suma de matrices.

Así, $((A+\bar{A})B{)}_{ij}=(AB+\bar{A}B{)}_{ij}$.

Concluimos que $(A+\bar{A})B$ y $AB+\bar{A}B$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $(A+\bar{A})B=AB+\bar{A}B.$

Demostración de $b)$

Por demostrar que $\lambda (AB)=A(\lambda B).$

Tanto $\lambda (AB)$ como $A(\lambda B)$ pertenecen a ${\mathcal{M}}_{m\times r}(\mathbb{R})$.

Sean $i\in \{1,\dots ,m\},j\in \{1,\dots ,r\}.$

Expresión	Explicación
$(\lambda (AB){)}_{ij}=$	Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $\lambda (AB)$
$=\lambda (AB{)}_{ij}$	Por la definición de producto por escalar.
$=\lambda (re{n}_{i}A\cdot co{l}_{j}B)$	Por la definición de producto de matrices.
$=re{n}_{i}A\cdot (\lambda co{l}_{j}B)$	Por las propiedades del producto punto.
$=re{n}_{i}A\cdot co{l}_j(\lambda B)$	Por la definición de producto por escalar.
$=(A(\lambda B){)}_{ij}$	Por la definición de producto de matrices.

Así, $(\lambda (AB){)}_{ij}=(A(\lambda B){)}_{ij}$.

Concluimos que $\lambda (AB)$ y $A(\lambda B)$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $\lambda (AB)=A(\lambda B)$.

Definición

Sea $n$ un natural positivo. La matriz identidad de tamaño $n\times n$ es:

$I_n=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$

es decir, la matriz $n\times n$ con unos en la diagonal y ceros fuera de la diagonal.

Proposición.

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R}).$

$1.$ $A{I}_n=A.$

$2.$ $I_{m}A=A.$

La demostración se deja como tarea moral.

Definición

Sean $n$ un natural positivo, $A\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$. Decimos que $A$ es una matriz invertible si existe $B\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$ tal que:

$AB=BA=I_n.$

En este caso decimos que $B$ es una inversa de $A.$

Observación

Si $A$ es invertible su inversa es única.

Demostración

Sean $n$ un natural positivo, $A\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$ invertible, $B,C\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$ inversas de $A$. Entonces $AB=BA=I_n=AC=CA$. Así, tenemos que $AB=AC$, y multiplicando por la izquierda por $B$ a ambos lados de la igualdad tenemos que $B(AB)=B(AC)$. En virtud de la asociatividad de la multiplicación de matrices obtenemos que $(BA)B=(BA)C$, y como $BA=I_n$ se tiene que $I_{n}B=I_{n}C$. Así, $B=C$ y por lo tanto la inversa es única.

Notación: Si $A$ es invertible denotaremos por $A^{-1}$ a la matriz inversa de $A$.

Definición

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$. La transpuesta de $A$ es la matriz $A^t\in {\mathcal{M}}_{n\times m}(\mathbb{R})$ tal que:

$(A^t{)}_{ij}=A_{ji}$

Ejemplos

$1.$ $A=\left(\begin{array}{rrrr}1& 3& \pi & \frac{1}{4}\\ 0& 2& -1& 8\end{array}\right)$, $A^t=\left(\begin{array}{cr}1& 0\\ 3& 2\\ \pi & -1\\ \frac{1}{4}& 8\end{array}\right)$.

$2.$ $A=\left(\begin{array}{r}0.7\\ -1\\ 10\end{array}\right)$, $A^t=\left(\begin{array}{ccc}0.7& -1& 10\end{array}\right)$.

$3.$ $A=\left(\begin{array}{rr}2& -3\\ 3& 1\end{array}\right)$, $A^t=\left(\begin{array}{rr}2& 3\\ -3& 1\end{array}\right).$

Proposición

Sean $n,m$ y $r$ naturales positivos, $A,B\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$, $C\in {\mathcal{M}}_{n\times r}(\mathbb{R})$ y $\lambda \in \mathbb{R}$.

$a)$ $(A^t{)}^t=A.$

$b)$ $(A+B{)}^t=A^t+B^t.$

$c)$ $(\lambda A{)}^t=\lambda (A^t).$

$d)$ $(AC{)}^t=C^t{A}^t.$

Demostración

Se hará la demostración de $a)$, $b)$ y $d)$, el inciso $c)$ queda como tarea moral.

Sean $n,m$ y $r$ naturales positivos, $A,B\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$, $C\in {\mathcal{M}}_{n\times r}(\mathbb{R})$ y $\lambda \in \mathbb{R}$.

Demostración de $a)$

Observemos que $(A^t{)}^t,A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$.

Sean $i\in \{1,\dots ,m\},j\in \{1,\dots ,n\}.$

Expresión	Explicación
$((A^t{)}^t{)}_{ij}=$	Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $(A^t{)}^t.$
$=(A^t{)}_{ji}$	Por la definición de transpuesta.
$=A_{ij}$	Por la definición de transpuesta.

Así, $((A^t{)}^t{)}_{ij}=A_{ij}$.

Concluimos que $(A^t{)}^t$ y $A$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $(A^t{)}^t=A.$

Demostración de $b)$

Observemos que $(A+B{)}^t,A^t+B^t\in {\mathcal{M}}_{n\times m}(\mathbb{R})$.

Sean $i\in \{1,\dots ,n\},j\in \{1,\dots ,m\}.$

Expresión	Explicación
$((A+B{)}^t){)}_{ij}=$	Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $(A+B{)}^t.$
$=(A+B{)}_{ji}$	Por la definición de transpuesta.
$=A_{ji}+B_{ji}$	Por la definición de la suma de matrices.
$=(A^t{)}_{ij}+(B^t{)}_{ij}$	Por la definición de transpuesta.
$=(A^t+B^t{)}_{ij}$	Por la definición de la suma de matrices.

Así, $((A+B{)}^t{)}_{ij}=(A^t+B^t{)}_{ij}$.

Concluimos que $(A+B{)}^t$ y $A^t+B^t$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $(A+B{)}^t=A^t+B^t.$

Demostración de $d).$

Notemos que $(AC{)}^t,C^t{A}^t\in {\mathcal{M}}_{r\times m}(\mathbb{R}).$

Sean $i\in \{1,\dots ,r\},j\in \{1,\dots ,m\}.$

Expresión	Explicación
$((AC{)}^t{)}_{ij}=$	Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $(AC{)}^t).$
$=(AC{)}_{ji}$	Por la definición de transpuesta.
$=re{n}_{j}A\cdot co{l}_{i}C$	Por la definición del producto de matrices.
$=co{l}_j{A}^t\cdot re{n}_j{C}^t$	Por la definición de transpuesta.
$=re{n}_i{C}^t\cdot co{l}_j{A}^t$	Por la conmutatividad del producto punto.
$=(C^t{A}^t{)}_{ij}$	Por la definición del producto de matrices.

Así, $((AC{)}^t{)}_{ij}=(C^t{A}^t{)}_{ij}$.

Concluimos que $(AC{)}^t$ y $C^t{A}^t$ son del mismo tamaño y coinciden entrada a entrada, entonces $(AC{)}^t=C^t{A}^t.$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Tarea Moral

$1.$ Considera las siguientes matrices:

$A=\left(\begin{array}{rr}3& 0\\ -1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{rr}4& -1\\ 0& 2\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{rrr}1& 4& 2\\ 3& 1& 5\end{array}\right)$, $D=\left(\begin{array}{rrr}1& 5& 2\\ -1& 0& 1\\ 3& 2& 4\end{array}\right)$, $E=\left(\begin{array}{rrr}6& 1& 3\\ -1& 1& 2\\ 4& 1& 3\end{array}\right).$

Calcula, si es posible: $DA-A$, $-7E$, $A(BC)$, $(4B)C+2B.$

$2.$ Una matriz cuadrada $A$ es diagonal si todos los elementos que están fuera de la diagonal principal son cero ($A_{ij}=0$ si $i\ne j$). ¿Qué ocurre al multiplicar dos matrices diagonales?

$3.$ Sean $n$ un natural positivo, $A\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$. Dado $t$ un natural positivo definimos $A^t$ como el producto de $A$ consigo misma $t$ veces. Demuestra o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:

$i)$ $(AB{)}^2=A^2{B}^2$

$ii)$ $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$

$4.$ La traza de una matriz cuadrada $A$ es la suma de los elementos de su diagonal y se denota por $tr(A)$. Calcula la traza de las matrices cuadradas del ejercicio $1.$

$5.$ Sean $n$ un natural positivo, $A,B\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$ invertibles. ¿Puedes construir una matriz inversa para $AB$ usando $A^{-1}$ y $B^{-1}$?.

$6.$ Sea $A=\left(\begin{array}{rr}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2\times 2}(\mathbb{R})$. Demuestra que si $ad-bc\ne 0$, entonces $A=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{rr}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$ es la matriz inversa de $A$.

Más adelante

En la siguiente nota veremos las operaciones elementales por renglones para matrices, definiremos una equivalencia por renglones en las matrices y notaremos que las operaciones elementales por matrices pueden expresarse como multiplicaciones por matrices adecuadas.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 33. Matrices.

Enlace a la nota siguiente. Nota 35. Operaciones elementales, matrices equivalentes y matrices elementales.