MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Hasta ahora, hemos estado estudiando la integral de Lebesgue para funciones definidas (en c.t.p.) de ${\mathbb{R}}^n$. Sin embargo, quizá como analogía con la integral de Riemann, es esperable que podamos «integrar sobre conjuntos más generales», por ejemplo rectángulos o esferas. Esto es precisamente lo que estudiaremos en esta sección.

Integración sobre subconjuntos

Si queremos integrar una función $f$ sobre un conjunto $E$, lo natural es integrar sólamente la parte que nos interesa de $f$. De manera precisa:

Definición. Dada una función medible $f:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ y un conjunto medible $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$, definimos (cuando tenga sentido) la integral de $f$ sobre $E$ como: $${\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda =\int f{\chi }_E\mathrm{d}\lambda .$$ Donde ${\chi }_E$ es la función característica de $E$.

Ejemplo. Como un caso particular, tenemos la integral sobre todo ${\mathbb{R}}^n$: $${\int }_{{\mathbb{R}}^n}f\mathrm{d}\lambda =\int f{\chi }_{{\mathbb{R}}^n}\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda .$$

Observación. Si una función $f$ solamente está definida sobre c.t.p de $E$ (i.e., salvo un conjunto de medida cero), podemos convenir que:

$$f{\chi }_E(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& \text{si }x\in E\\ 0& \text{si }x\notin E\end{array}$$

Diremos que $f$ es medible si la función (definida en c.t.p.) $f{\chi }_E$ es medible y definimos su integral como antes (siempre que tenga sentido).

Definición. Dada una función definida en c.t.p. de $E$, diremos que $f$ es integrable, si
$f{\chi }_E\in L^1({\mathbb{R}}^n)$, y lo denotaremos por $f\in L^1(E)$.

Ejemplo. Si $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ $⟹$ $f\in L^1(E)$ para cualquier $E$ subconjunto medible, pues en general $|f{\chi }_E|\le |f|$ $⟹$ $\int |f{\chi }_E|\mathrm{d}\lambda \le \int |f|\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }$. O más generalmente, si $f\in L^1(F)$ y $E\subseteq F$ $⟹$ $f\in L^1(E)$. El mismo argumento funciona.

El regreso es falso, por ejemplo la función constante $g\equiv 5$ no es $L^1({\mathbb{R}}^n)$ pues $\int g\mathrm{d}\lambda =\mathrm{\infty }$, sin embargo, para cualquier conjunto acotado $E$ ${\int }_{E}g\mathrm{d}\lambda =\int 5{\chi }_E\mathrm{d}\lambda =5\lambda (E)<\mathrm{\infty }$ (al ser la integral de una función simple).

Ejemplo. Sea $f(x)=\frac{x}{|x|}.$ si $x\ne 0$ y $f(0)=0$. Entonces $${\int }_{[2,3]}f\mathrm{d}\lambda =\int f{\chi }_{[2,3]}\mathrm{d}\lambda =\int {\chi }_{[2,3]}\mathrm{d}\lambda =\lambda ([2,3])=1;$$

$$\begin{array}{rl}{\int }_{[-10,-5)}f\mathrm{d}\lambda & =\int f{\chi }_{[-10,-5)}\mathrm{d}\lambda =\int (-1){\chi }_{[-10,-5)}\mathrm{d}\lambda \\ & =-\int {\chi }_{[-10,-5)}\mathrm{d}\lambda =-\lambda ([-10,-5))=-5;\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\int }_{(-1,1)}f\mathrm{d}\lambda & =\int f{\chi }_{(-1,1)}\mathrm{d}\lambda =\int (-1){\chi }_{(-1,0)}\mathrm{d}\lambda +\int (1){\chi }_{(0,1)}\mathrm{d}\lambda \\ & =-\lambda ((-1,0))+\lambda ((0,1))=0.\end{array}$$

Notación. Por lo general, denotaremos la integrales sobre un intervalo $I\subseteq \mathbb{R}$ con extremos $a<b$ como $${\int }_a^{b}f\mathrm{d}\lambda ={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$ Observa que el tipo de intervalo (abierto, semicerrado, etc.) es irrelevante pues los extremos de un intervalo son conjuntos de medida cero.

Para ilustrar, las integrales del ejemplo anterior se reescribirían como: ${\int }_2^{3}f\mathrm{d}\lambda$; ${\int }_{-10}^{-5}f\mathrm{d}\lambda$; ${\int }_{-1}^{1}f\mathrm{d}\lambda$ respectivamente.

Propiedades de la integral sobre subconjuntos

Las siguientes propiedades son todas consecuencias sencillas de la definición. Omitimos la demostración.

Proposición. Sean $A,B\in \mathcal{L}$ . Entonces:

1. Si $f,g\in L^1(A)$ y $a,b\in \mathbb{R}$, entonces $${\int }_{A}af+bg\mathrm{d}\lambda =a{\int }_{A}f\mathrm{d}\lambda +b{\int }_{A}g\mathrm{d}\lambda .$$
2. Si $f=g$ en c.t.p. sobre $A$ y $f\in L^1(A)$ entonces $g\in L^1(A)$ con $${\int }_{A}f\mathrm{d}\lambda ={\int }_{A}g\mathrm{d}\lambda .$$
3. Si $f\in L^1(A),L^1(B)$ y $\lambda (A\cap B)=0$ entonces $${\int }_{A\cup B}f\mathrm{d}\lambda ={\int }_{A}f\mathrm{d}\lambda +{\int }_{B}f\mathrm{d}\lambda .$$
4. (Monotonía sobre funciones).) Si $f,g\in L^1(A)$ y $f\le g$ entonces $${\int }_{A}f\mathrm{d}\lambda \le {\int }_{A}g\mathrm{d}\lambda .$$
5. (Monotonía sobre conjuntos). Si $f\in L^1(B)$ con $f\ge 0$ y $A\subseteq B$ entonces $f\in L^1(A)$ y $${\int }_{A}f\mathrm{d}\lambda \le {\int }_{B}f\mathrm{d}\lambda .$$
6. (Convergencia monótona). Sea $0\le f_1\le f_2\le \dots$ una sucesión creciente de funciones medibles y no negativas sobre $A$. Entonce $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k$ es medible con $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_A{f}_k\mathrm{d}\lambda ={\int }_{A}lim{f}_k\mathrm{d}\lambda .$$
7. (Convergencia dominada). Sea ${f_k}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ una sucesión de funciones medibles sobre $A$ tales que existe $0\le g\in L^1(A)$ tal que: $$|f_k(x)|\le g(x)$$
   para casi todo $x\in A$. Entonces $lim{f}_k$ es medible con $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_A{f}_k\mathrm{d}\lambda ={\int }_{A}lim{f}_k\mathrm{d}\lambda .$$

Proposición (Aditividad numerable de la integral). Sean $E_1,E_2,\dots$ conjuntos medibles disjuntos y $E=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_k$. Sea $f:E\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ medible sobre $E$. Supongamos adicionalmente que ocurre alguna de las dos siguientes:

• $f\ge 0$.
• $f\in L^1(E)$.

Entonces $${\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{E_k}f\mathrm{d}\lambda .$$

Demostración. Para el caso 1.:

$$\begin{array}{rl}{\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda & =\int f{\chi }_E\mathrm{d}\lambda \\ & =\int \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}f{\chi }_{E_k}\mathrm{d}\lambda \\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int f{\chi }_{E_k}\mathrm{d}\lambda \\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{E_k}f\mathrm{d}\lambda \end{array}$$

En la segunda igualdad usamos ${\chi }_E=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\chi }_{E_k}$, consecuencia de que los $E_k$ son ajenos. La tercera igualdad es debido a (una consecuencia de) el teorema de la convergencia monótona.

Para el caso 2. Notemos primero que, similarmente al caso anterior: $$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int |f|{\chi }_{E_k}\mathrm{d}\lambda =\int \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|f|{\chi }_{E_k}\mathrm{d}\lambda =\int |f|{\chi }_E\mathrm{d}\lambda ={\int }_E|f|\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }.$$

Por una de las consecuencias del teorema de la convergencia dominada, se sigue entonces:

$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{E_k}f\mathrm{d}\lambda =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int f{\chi }_{E_k}\mathrm{d}\lambda =\int \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}f{\chi }_{E_k}\mathrm{d}\lambda ={\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda .$$
Como queríamos probar.

Continuidad absoluta

Veamos ahora un resultado «de continuidad» para funciones en $L^1$. En general nos dice que «la integral sobre conjuntos pequeños es pequeña» o alternativamente, que una función $L^1$ no puede acumular su «masa» sobre conjuntos arbitrariamente pequeños.

\textbf{Teorema (Continuidad absoluta respecto al dominio).} Sea $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ y $\epsilon >0$. Entonces existe $\delta >0$ tal que si $E\in \mathcal{L}$ es medible con $\lambda (E)<\delta$ entonces $$\left|{\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda \right|<\epsilon .$$

Demostración. Supongamos primero que $f\ge 0$. Por definición, existe una función simple $s\in S$ tal que $0\le s\le f$ y $$\int s\mathrm{d}\lambda >\int f\mathrm{d}\lambda -\frac{\epsilon }{2}.$$

Como $s$ es simple, en particular es acotada (sólo toma una cantidad finita de valores), así que existe $C>0$ tal que $$s(x)\le C\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^n.$$

Luego:

$$\begin{array}{rl}{\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda & ={\int }_{E}s\mathrm{d}\lambda +{\int }_E(f-s)\mathrm{d}\lambda \\ & \le {\int }_{E}C\mathrm{d}\lambda +{\int }_{{\mathbb{R}}^n}(f-s)\mathrm{d}\lambda \\ & \le {\int }_{E}C\mathrm{d}\lambda +{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f\mathrm{d}\lambda –{\int }_{{\mathbb{R}}^n}s\mathrm{d}\lambda \\ & <C\lambda (E)+\frac{\epsilon }{2}.\end{array}$$

Así que si tomamos cualquier $E$ con $\lambda (E)<\frac{\epsilon }{2C}=\delta$ se cumple lo buscado.

El caso general se sigue del caso no negativo aplicado a $|f|$ y la desigualdad del triángulo:

$$\left|{\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda \right|=|\int f{\chi }_E\mathrm{d}\lambda |\le \int |f|{\chi }_E\mathrm{d}\lambda ={\int }_E|f|\mathrm{d}\lambda .$$

Más adelante…

Veremos la relación que existe entre la integral de Riemann y la integral de Lebesgue. Veremos que la integral de Lebesgue es una generalización de la integral de Riemann. Esto nos permitirá usar todas las herramientas conocidas de la integral de Riemann (cuando apliquen) como el teorema fundamental del cálculo para evaluar integrales.

Tarea moral

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

El concepto de «casi donde sea» refiere a que, en términos de integración, dos objetos son en cierto modo idénticos si «coinciden salvo en conjuntos de medida cero».

Algunos Lemas

La siguiente serie de Lemas refuerzan la idea de que, a ojos de la integral, dos objetos son «iguales» si coinciden salvo en conjuntos de medida cero.

Lema. Sea $f:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ una función medible. Si $g:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ es una función tal que $Z=\{x|f(x)\ne g(x)\}$ es un conjunto de medida cero, entonces $g$ es medible.

Demostración. Para cualquier $t\in \mathbb{[}-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$, podemos escribir:

$$g^{-1}([-\mathrm{\infty },t])=(f^{-1}([-\mathrm{\infty },t])\setminus B)\cup A.$$

Donde $$A=\{x|g(x)\in [-\mathrm{\infty },t];g(x)\ne f(x)\}$$ Y $$B=\{x|f(x)\in [-\mathrm{\infty },t];g(x)\ne f(x)\}.$$

Claramente $A,B\subseteq Z$, así que $\lambda (A)=\lambda (B)=\lambda (Z)=0$ $⟹$ $A$ y $B$ son medibles. (Reuerda que cualquier conjunto con medida exterior cero es Lebesgue medible). Como $f^{-1}([-\mathrm{\infty },t])$, $A$ y $B$ son medibles, se sigue entonces que $g^{-1}([-\mathrm{\infty },t])$ es un conjunto medible.

Lema. Si $f:{\mathbb{R}}^n\to [0,\mathrm{\infty }]$ es una función no negativa tal que $f(x)=0$ salvo un conjunto de medida cero, entonces $$\int f\mathrm{d}\lambda =0.$$

Demostración. Por el Lema anterior, se sigue que $f$ es medible. Al ser no negativa, $\int f\mathrm{d}\lambda \ge 0$.

Si $\int f\mathrm{d}\lambda >0$, por definición de la integral, existiría una función simple $s\in S$ tal que $s\le f$ y $$0<\int s\mathrm{d}\lambda \le \int f\mathrm{d}\lambda .$$ Al ser simple, podemos escribir $s=\sum _{k=1}^m{\alpha }_k{\chi }_{A_k}$, con ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m>0$ y $A_1,\dots ,A_m$ ajenos. Como $\int s\mathrm{d}\lambda =\sum _{k=1}^m{\alpha }_k\lambda (A_k)>0$, necesariamente existiría algún $A_r$ con $\lambda (A_r)>0$. Sin embargo, esto implica que $f\ge {\alpha }_r>0$ sobre $A_r$, lo que contradice que $f=0$ salvo en un conjunto de medida cero.

Por tanto, la única posibilidad es $\int f\mathrm{d}\lambda =0$.

De hecho, podemos relajar la condición $f\ge 0$ en el Lema anterior:

Corolario. Si $f:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ es una función tal que $f(x)=0$ salvo un conjunto de medida cero, entonces $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ y $$\int f\mathrm{d}\lambda =0.$$

Demostración. $f$ es medible por el primer Lema. Aplicando el lema anterior a $f_{+}$ y $f_{-}$ por separado, se sigue que $\int f\mathrm{d}\lambda =\int f_{+}\mathrm{d}\lambda -\int f_{-}\mathrm{d}\lambda =0-0=0.$

Proposición (Insensibilidad de la integral).

• Sea $f:{\mathbb{R}}^n\to [0,\mathrm{\infty }]$ una función medible no negativa. Si $g:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ es tal que el conjunto $Z=\{x|f(x)\ne g(x)\}$ es de medida cero, entonces $g$ es medible y $$\int g\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda .$$
• Sea $f:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ una función en $L^1({\mathbb{R}}^n)$. Si $g:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ es tal que el conjunto $Z=\{x|f(x)\ne g(x)\}$ es de medida cero, entonces $g\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ y $$\int g\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda .$$

Demostración. Los lemas anteriores aseguran que $g$ es medible en ambos casos.

Para la primera parte, supongamos primero que $g$ es no negativa. Podemos escribir $f=f{\chi }_{Z^c}+f{\chi }_Z$ y $g=f{\chi }_{Z^c}+g{\chi }_Z$, en ambos casos, los sumandos derecho son 0 salvo en conjuntos de medida nula, luego:

$$\begin{array}{rl}\int f\mathrm{d}\lambda & =\int f{\chi }_{Z^c}\mathrm{d}\lambda +\int f{\chi }_Z\mathrm{d}\lambda \\ & =\int f{\chi }_{Z^c}\mathrm{d}\lambda +0\\ & =\int g{\chi }_{Z^c}\mathrm{d}\lambda +0\\ & =\int g{\chi }_{Z^c}\mathrm{d}\lambda +\int g{\chi }_Z\\ & =\int g\mathrm{d}\lambda \end{array}$$

Para el caso general, podemos escribir $g=g_{+}-g_{-}$, donde $g_{+}=f$ y $g_{-}=0$ salvo en conjuntos de medida cero. Usando el caso anterior y los lemas:

$$\int g\mathrm{d}\lambda =\int g_{+}\mathrm{d}\lambda -\int g_{-}\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda -0=\int f\mathrm{d}\lambda .$$

Para el segundo caso, notemos que $g-f=0$ salvo un conjunto de medida cero, de donde $(g-f)\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ con $$\int (g-f)\mathrm{d}\lambda =0.$$
Luego, por linealidad, $g=(g-f)+f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ y $$\int g\mathrm{d}\lambda =\int (g-f)\mathrm{d}\lambda +\int f\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda .$$

El concepto de casi donde sea

Definición. Decimos que una propiedad $\mathcal{P}$ en ${\mathbb{R}}^n$ se satisface «casi donde sea» ó «para casi todo $x$» ó «para casi todo punto» si el conjunto $$A=\{x\in {\mathbb{R}}^n|\mathcal{P}(x)\text{ no se satisface }\}$$

Es nulo (de medida de Lebesgue cero).

Generalmente abreviaremos la expresión «en casi todo punto» y sus equivalentes como c.t.p. En la literatura inglesa se suele denotar como a.e. (por almost everywhere).

Ejemplo. Casi todos los números reales son irracionales, pues el conjunto de racionales $\mathbb{Q}$ es de medida cero ( es numerable).

Ejemplo. Podemos reescribir la proposición de insensibilidad de la siguiente forma: Si $f\in L^1$ y $f=g$ en c.t.p entonces $g\in L^1$ y $\int f\mathrm{d}\lambda =\int g\mathrm{d}\lambda$. De modo que, a ojos de la integral, dos funciones iguales en c.t.p. son «indistinguibles».

Otra situación que ocurre con frecuencia es que sólo podamos asegurar que una función esté definida en c.t.p (el último teorema de esta sección es un ejemplo de esto). Sin embargo, como sugieren los teoremas anteriores, esto es suficiente para poder hablar de su integral. Procedamos de manera precisa.

Definición. Sea $f:X\subseteq {\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ una función definida en c.t.p de ${\mathbb{R}}^n$. Decimos que $f$ es medible si existe una extensión medible de $f$, digamos $g$. Definimos la integral de $f$ como $$\int f\mathrm{d}\lambda =\int g\mathrm{d}\lambda .$$ (Siempre que ésta tenga sentido).

Observación. Hay que notar que si $f$ admite una extensión medible, entonces cualquier extensión de $f$ será medible (primer lema de la entrada), además, la integral no depende de la extensión tomada (insensibilidad). Por esta razón, típicamente tomamos la «extensión por cero», es decir, la extensión que vale cero en los puntos donde $f$ no está definida originalmente.

Generalización de los Teoremas de convergencia

Podemos dar generalizaciones de los teoremas de convergencia en las que consideremos propiedades en casi todo punto. Por ejemplo, para el teorema de convergencia dominada tendríamos lo siguiente.

Proposición (Convergencia dominada versión c.t.p.) Sean $f_1,f_2,\dots$ funciones medibles definidas en c.t.p. de ${\mathbb{R}}^n$, tales que

$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k(x)$$

Existe para casi todo $x\in {\mathbb{R}}^n$ y además existe una función $g\in L^1$ definida en c.t.p con $$|f_k(x)|\le g(x)$$
Para casi todo $x\in {\mathbb{R}}^n$. Entonces $$\int \left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k\right)\mathrm{d}\lambda =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_k\mathrm{d}\lambda$$

Demostración. Sea $Z$ el conjunto de $x$ tales que: O bien $f_k(x)$ no está definida para algún $k$, o bien $lim{f}_k(x)$ no existe, o bien $|f_k|(x)>g(x)$ para algún $k$. Como podemos expresar a $Z$ como una unión numerable de conjuntos nulos (¿Cuáles?), el propio $Z$ debe ser nulo.

Podemos redefinir las $f_k$ y $g$ de tal manera que valgan 0 sobre $Z$ (esto no afecta las propiedades en c.t.p. ni los valores de ninguna integral). El resultado se sigue de aplicar el teorema de la convergencia dominada usual sobre estas nuevas funciones y luego apelar a la insensibilidad de la integral.

Podemos dar generalizaciones similares para los teoremas de convergencia monótona y el Lema de Fatou. A partir de ahora no haremos distinción entre las versiones usuales y en c.t.p. de estos teoremas.

Intercambio de Sumas con Integrales

El siguiente resultado es relevante. Como adelantamos, es un ejemplo en el que sólo podemos asegurar que una función esté definida en c.t.p.

Teorema. Sean $f_1,f_2,\dots$ funciones en $L^1(R^n)$, tales que $$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int |f_k|\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }.$$ Entonces $$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(x)$$ Existe para casi todo $x\in {\mathbb{R}}^n$ y además $$\int \left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k\right)\mathrm{d}\lambda =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$

Demostración. Sea $g=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|f_k|$. Al ser una suma de funciones positivas, ya habíamos probado (como consecuencia del teorema de la convergencia monótona) que:

$$\int g\mathrm{d}\lambda =\int \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|f_k|\mathrm{d}\lambda =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int |f_k|\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }.$$
$$⟹g\in L^1.$$

Al ser una función en $L^1$, sabemos que $g<\mathrm{\infty }$ en c.t.p. $⟹$ la serie $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(x)$ converge absolutamente para casi todo $x\in {\mathbb{R}}^n$, por lo que en particular converge para casi todo $x\in {\mathbb{R}}^n$. Además, es claro que: $|\sum _{k=1}^N{f}_k(x)|\le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|f_k|(x)=g(x)$ para casi todo $x$. Aplicando el teorema de la convergencia dominada sobre la sucesión de sumas parciales concluimos:

$$\int \left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k\right)\mathrm{d}\lambda =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$

Más adelante…

Definiremos la integral sobre subconjuntos de ${\mathbb{R}}^n$ y sus principales propiedades.

Tarea moral

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Estamos en condiciones de enunciar y demostrar otro de los teoremas más importantes en la teoría de integración de Lebesgue: El teorema de la convergnecia Dominada. Éste nos garantiza condiciones «relativamente débiles» bajo las cuales podemos intercambiar límites e integrales. La gracia de este teorema es que aplica para funciones medibles de todo tipo (no necesariamente positivas o crecientes) siempre que podamos encontrar alguna función en $L^1$ que «domine» en valor absoluto a todas las demás.

Teorema de la convergencia dominada. Sea $f_1,f_2,f_3,\dots$ una sucesión de funciones medibles en ${\mathbb{R}}^n$ tales que : $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k(x)$$ Existe para todo $x\in {\mathbb{R}}^n$, y existe una función $g\in L^1$ tal que $$|f_k(x)|\le g(x)$$ Para todo $x\in {\mathbb{R}}^n$ y $k\in \mathbb{N}$. Entonces $f\in L^1$ y $$\int \left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k\right)\mathrm{d}\lambda =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$

Demostración. Sea $f=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k$. Ésta es medible. Más aún, tomando límites vemos que $0\le |f|\le g$ por lo que $|f|$ (y por tanto $f$) es integrable.

Observemos que la función $g+f_k$ es medible y no negativa para todo $k$. Aplicando el Lema de Fatou:

$$\int (g+f)\mathrm{d}\lambda \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\int (g+f_k)\mathrm{d}\lambda$$
$$⟹\int g\mathrm{d}\lambda +\int f\mathrm{d}\lambda \le \int g\mathrm{d}\lambda +\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$
Restando $\int g\mathrm{d}\lambda$ (que es un número real) de ambos lados de la desigualdad anterior obtenemos $$\int f\mathrm{d}\lambda \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$

Similarmente aplicando el Lema de Fatou a las funciones $g-f_k$ resulta $$\int (g-f)\mathrm{d}\lambda \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\int (g-f_k)\mathrm{d}\lambda$$ $$⟹\int g\mathrm{d}\lambda –\int f\mathrm{d}\lambda \le \int g\mathrm{d}\lambda –\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$
$$⟹\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\int f_k\mathrm{d}\lambda \le \int f\mathrm{d}\lambda .$$

(Hemos usado $\underset{k}{lim inf}-a_k=-lim sup{a}_k$ en el segundo renglón. Esto es un ejercico de rutina). Combinando las desigualdades obtenidas concluimos que $\underset{k}{lim}\int f_k\mathrm{d}\lambda =\underset{k}{lim inf}\int f_k\mathrm{d}\lambda =\underset{k}{lim sup}\int f_k\mathrm{d}\lambda$ existe y
$$\int f\mathrm{d}\lambda =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$

Algunos ejercicios resueltos

Para fijar ideas, veamos un par de ejercicios resueltos.

Ejercicio. Sea $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ y $A_1\subseteq A_2\subseteq \dots$ una sucesión creciente de conjuntos medibles tales que ${\mathbb{R}}^n=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k$. Demuestra que $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f\cdot {\chi }_{A_k}\mathrm{d}\mu =\int f\mathrm{d}\mu$$

Solución. Las funciones $f\cdot {\chi }_{A_k}$ son medibles al ser producto de funciones medibles. Más aún, son integrables pues $$|f\cdot {\chi }_{A_k}|\le |f|\mathrm{\forall }k.$$ Como $f\in L^1$ $⟹$ $|f|\in L^1$, así que el estimado anterior nos dice que podemos «dominar» las funciones $f\cdot {\chi }_{A_k}$ por la función $|f|\in L^1$.
Ahora, como $\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k={\mathbb{R}}^n$, para cada $x\in {\mathbb{R}}^n$, existe algún entero $M_x$ suficientemente grande tal que $x\in A_k$ para todo $k\ge M_x$. Esto nos dice que $$f(x)\cdot {\chi }_{A_k}(x)=f(x)\cdot 1=f(x)\mathrm{\forall }k\ge M_x$$ Como lo anterior se satisface para cualquier $x\in {\mathbb{R}}^n$, concluimos que $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}(f\cdot {\chi }_{A_k})=f.$$ Finalmente, aplicando el teorema de la convergencia dominada a la sucesión de funciones $f\cdot {\chi }_{A_k}$ (tomando $|f|=g\in L^1$ como la función que «domina» a la sucesión), concluimos que $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f\cdot {\chi }_{A_k}\mathrm{d}\mu =\int f\mathrm{d}\mu .$$

Observación. En el lenguaje de integración sobre subconjuntos [ENLACE], el resultado anterior se reescribe como: $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{A_k}f\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda .$$

Ejercicio. Sea $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$. Demuestra que $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f(x)e^{-\frac{|x{|}^2}{k}}\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x.$$

Solución. Consideremos la sucesión de funciones $f_k(x)=f(x)e^{-\frac{|x{|}^2}{k}}$.

Como $e^{-\frac{|x{|}^2}{k}}\le e^0=1$, entonces $|f_k(x)|\le |f(x)|$ para todo $k=1,2,\dots$. Es decir, la función $|f|\in L^1$ domina a cada una de las $f_k$. Además $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k(x)=f(x)\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-\frac{|x{|}^2}{k}}=f(x)\cdot e^0=f(x)$$ Para todo $x\in {\mathbb{R}}^n$. Aplicando el teorema de la convergencia dominada:
$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f(x)e^{-\frac{|x{|}^2}{k}}\mathrm{d}x=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_k(x)\mathrm{d}x=\int (\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k(x))\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x.$$

Más adelante…

Definiremos el concepto de casi donde sea, un concepto de gran utilidad en la teoría de integración. Daremos versiones más generales de los teoremas de convergencia que hemos probado hasta ahora aprovechando esta idea.

Tarea moral

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Hasta ahora, sólo hemos definido la integral para funciones medibles no negativas. En esta entrada veremos que la definición se puede extender a funciones medibles más generales (no necesariamente $\ge 0$) heredando muchas de sus propiedades. Definiremos también el concepto de integrabilidad (o función $L^1$) que será una hipótesis esencial en muchos de nuestros desarrollos más adelante.

Definición. Sea $f:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ una función medible, con parte positiva y negativa $f_{+}$ y $f_{-}$ respectivamente. Definimos la integral de $f$ como

$$\int f\mathrm{d}\lambda =\int f_{+}\mathrm{d}\lambda -\int f_{-}\mathrm{d}\lambda .$$

Siempre que este número esté bien definido.

Si $\int f_{+}\mathrm{d}\lambda$ y $\int f_{-}\mathrm{d}\lambda$ son ambas finitas, entonces decimos que $f$ es integrable.

Notación. Denotaremos a la clase de funciones integrables como $L^1({\mathbb{R}}^n,\mathcal{L},\lambda )$, $L^1({\mathbb{R}}^n)$ , o simplemente $L^1$.

Observaciones.

• La definición tiene sentido (siempre que $\int f_{+}\mathrm{d}\lambda -\int f_{-}\mathrm{d}\lambda$ exista), pues si $f$ es medible entonces $f_{+}$ y $f_{-}$ son medibles no negativas por lo que admiten integrales bien definidas.
• Si $f\ge 0$, la nueva definición es consistente con la definición de integral para funciones medibles no negativas, pues en este caso $f=f_{+}$ y $f_{-}=0$.
• A diferencia de las funciones no negativas, no todas las funciones medibles admiten una integral.
• Si $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$, entonces $\int f_{+}\mathrm{d}\lambda -\int f_{-}\mathrm{d}\lambda$ es un número real. En general, enfocaremos nuestro análisis en las funciones en $L^1$ pues es un espacio lo «suficientemente general» y con propiedades más «manejables».
• Más adelante veremos que conviene pensar a $L^1$ como un conjunto de clases de equivalencia, identificando funciones que son «casi iguales» en cierto sentido, aunque de momento es mejor pensar que $f\in L^1$ es un atajo notacional para decir que $f$ es integrable.

Veamos primero un par de Lemas que facilitarán nuestro estudio de las funciones integrables.

Lema. Si $f:{\mathbb{R}}^n\to [0,\mathrm{\infty }]$ es una función medible no negativa con integral finita $0\le \int f\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }$, entonces $I=\{x\in {\mathbb{R}}^n|f(x)=\mathrm{\infty }\}$ es de medida cero.

Demostración. Supongamos por el contrario que $\lambda (I)>0$. Consideremos la sucesión de funciones simples: $$s_k=k{\chi }_I\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{R}}^n$$
Claramente $s_k\le f$ para toda $k$, de donde $$\int f\mathrm{d}\lambda \ge \int s_k\mathrm{d}\lambda =k\lambda (I).$$
Como $k\lambda (I)⟶\mathrm{\infty }$ cuando $k⟶\mathrm{\infty }$, la única posibilidad es $\int f\mathrm{d}\lambda =\mathrm{\infty }$ lo cual es una contradicción.

Proposición (desigualdad del triángulo). Si $f\in L^1$ es una función medible y con integral bien definida, entonces $$|\int f\mathrm{d}\lambda |\le \int |f|\mathrm{d}\lambda .$$
Además $f\in L^1$ $⟺$ $|f|\in L^1$.

Demostración. Notemos que $|f|=f_{+}+f_{-}$. Como $f_{+}$, $f_{-}$ son medibles no negativas (y ya establecimos la aditividad para el caso de funciones no negativas): $$\int |f|\mathrm{d}\lambda =\int f_{+}\mathrm{d}\lambda +\int f_{-}\mathrm{d}\lambda .$$
Evidentemente $\int f_{+}\mathrm{d}\lambda \le \int f_{+}\mathrm{d}\lambda$ y $-\int f_{-}\mathrm{d}\lambda \le \int f_{-}\mathrm{d}\lambda$, por lo que $$\int f\mathrm{d}\lambda =\int f_{+}\mathrm{d}\lambda -\int f_{-}\mathrm{d}\lambda \le \int f_{+}\mathrm{d}\lambda +\int f_{-}\mathrm{d}\lambda =\int |f|\mathrm{d}\lambda .$$

Similarmente $$-\int f\mathrm{d}\lambda =\int f_{-}\mathrm{d}\lambda -\int f_{+}\mathrm{d}\lambda \le \int f_{+}\mathrm{d}\lambda +\int f_{-}\mathrm{d}\lambda =\int |f|\mathrm{d}\lambda .$$

Por lo que $$|\int f\mathrm{d}\lambda |\le \int |f|\mathrm{d}\lambda .$$

Si $f\in L^1$ $⟹$ $\int f_{+}\mathrm{d}\lambda ,\int f_{-}\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }$ $⟹$ $\int |f|\mathrm{d}\lambda =\int f_{+}\mathrm{d}\lambda +\int f_{-}\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }$ por lo que $|f|\in L^1$. Inversamente si $\int f\mathrm{d}\lambda \in L^1$, como $f_{+},f_{-}\le |f|$ $⟹$ $\int f_{+}\mathrm{d}\lambda ,\int f_{-}\mathrm{d}\lambda \le \int |f|\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }$ por lo que $f\in L^1$.

Proposición (Linealidad de la Integral). Supongamos que $f,g\in L^1$ y $a\in b\in \mathbb{R}$. Entonces $af+bg\in L^1$ con $$\int (f+g)\mathrm{d}\lambda =a\int f\mathrm{d}\lambda +b\int g\mathrm{d}\lambda .$$

Observación. Hay un un detalle en ésta proposición: Es posible que $af+bg$ no esté definida en todo ${\mathbb{R}}^n$ (piensa por ejemplo que $f(0)=g(0)=\mathrm{\infty }$ $⟹$ $(f-g)(0)$ no está definida). Los puntos que «pueden dar problemas» son aquellos en los que $f$ o $g$ vale $\pm \mathrm{\infty }$, sin embargo, por el lema anterior éste conjunto es de medida cero, así que $af+bg$ está bien definida salvo quizá un conjunto de medida cero. Más adelante veremos que a la hora de integrar podemos «ignorar» los conjuntos de medida cero, es decir, podemos redefinir $f$ y $g$ en un conjunto de medida cero sin afectar la integral. Por esta razón podemos suponer sin mayor problema que $f,g$ son finitas en todo ${\mathbb{R}}^n$.

Demostración. Basta probar por separado: $$\int af\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda ,$$ $$\int (f+g)\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda +\int g\mathrm{d}\lambda .$$

Veamos la primera parte. Podemos distinguir dos casos:

• Si $a\ge 0$, tenemos $(af{)}_{+}=a{f}_{+}$ y $(af{)}_{-}=a{f}_{-}$. Luego
  $$\begin{array}{rl}\int af\mathrm{d}\lambda & =\int a{f}_{+}\mathrm{d}\lambda –\int a{f}_{-}\mathrm{d}\lambda \\ & =a\int f_{+}\mathrm{d}\lambda –a\int f_{-}\mathrm{d}\lambda \\ & =a(\int f_{+}\mathrm{d}\lambda -\int f_{-}\mathrm{d}\lambda )\\ & =a\int f\mathrm{d}\lambda \end{array}$$
  En la segunda igualdad usamos la proposición para el caso $f\ge 0$ que ya probamos.
• Similarmente, cuando $a<0$, $(af{)}_{+}=(-a)f_{-}$ y $(af{)}_{-}=(-a)f_{+}$, tenemos
  $$\begin{array}{rl}\int af\mathrm{d}\lambda & =\int (-a)f_{-}\mathrm{d}\lambda –\int (-a)f_{+}\mathrm{d}\lambda \\ & =(-a)\int f_{-}\mathrm{d}\lambda +a\int f_{+}\mathrm{d}\lambda \\ & =a(\int f_{+}\mathrm{d}\lambda -\int f_{-}\mathrm{d}\lambda )\\ & =a\int f\mathrm{d}\lambda \end{array}$$

Veamos ahora la segunda parte. Sea $h=f+g$. Entonces $|h|\le |f|+|g|$ $⟹$ $\int |h|\mathrm{d}\lambda \le \int |f|\mathrm{d}\lambda +\int |g|\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }$ $⟹$ $|h|\in L^1$ $⟹$ $h\in L^1$ (desigualdad del triángulo).

Ahora, como podemos escribir: $$h_{+}-h_{-}=h=f+g=(f_{+}-f_{-})+(g_{+}-g_{-})$$
$$⟹h_{+}+f_{-}+g_{-}=h_{-}+f_{+}+g_{+}$$

Integrando y usando la proposición para funciones no negativas (que ya probamos)
$$⟹\int h_{+}\mathrm{d}\lambda +\int f_{-}\mathrm{d}\lambda +\int g_{-}\mathrm{d}\lambda =\int h_{-}\mathrm{d}\lambda +\int f_{+}\mathrm{d}\lambda +\int g_{+}\mathrm{d}\lambda .$$

Reordenando los términos y usando la definición concluimos:
$$\int (f+g)\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda +\int g\mathrm{d}\lambda .$$

Corolario (Monotonía de la integral). Sean $f,g\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ con $f\le g$. Entonces $$\int f\mathrm{d}\lambda \le \int g\mathrm{d}\lambda .$$

Demostración. Notemos que $g-f\ge 0$, y por el teorema anterior $g-f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$. Luego:

$$0\le \int (f-g)\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda -\int g\mathrm{d}\lambda$$
$$⟹\int g\mathrm{d}\lambda \le \int f\mathrm{d}\lambda .$$

Más adelante…

Enunciaremos y probaremos otro de los teoremas más importantes de teoría de integración: El Teorema de la Convergencia Dominada. Al igual que el Teorema de la convergencia Monótona, éste es un resultado de «intercambio de límites con integrales», pero es aplicable incluso cuando las funciones no son $\ge 0$.

Tarea Moral

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

A pesar de lo que la intuición podría sugerir, como veremos, en general los límites no conmutan con integrales. A pesar de que en general no podemos intercambiar límites con integrales, sí que podemos dar un estimado bastante útil a la hora de comparar límites de integrales: El Lema de Fatou.

Las hipótesis del Teorema de la Convergencia Monótona no se pueden relajar

En general, no siempre podemos intercambiar límites con integrales. Veamos un ejemplo.

Ejemplo. Definamos $$g_k={\chi }_{[k-1,k]}\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}$$
Claramente es una sucesión de funciones simples, medibles y no negativas. Además, para cualquier $x\in \mathbb{R}$ se tiene $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{g}_k(x)=0$, de donde: $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{g}_k=0.$$
Sin embargo, para cualquier $k$: $$\int g_k\mathrm{d}\lambda =1\cdot \lambda ([k-1,k])=1.$$
De modo que $$\int \left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{g}_k\right)\mathrm{d}\lambda =0\ne 1=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int g_k\mathrm{d}\lambda .$$

Destacamos que la hipótesis de que la sucesión se funciones sea creciente es esencial en el teorema de la convergencia monótona.

El Lema de Fatou

Lema (de Fatou). Sean $f_1,f_2,f_3\dots$ funciones medibles y no negativas. Entonces:

$$\int \left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{f}_k\right)\mathrm{d}\lambda \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$

Demostración. Para cada $k\in \mathbb{N}$, definamos: $$g_k=inf{f}_k,f_{k+1},f_{k+2},\dots .$$

Observa que ${g_k}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ es una sucesión creciente de funciones medibles no negativas (¿Porqué?) y además $g_k\le f_k$ para todo $k$.

Luego, invocando el teorema de la convergencia monótona:

$$\begin{array}{rl}\int \left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{f}_k\right)\mathrm{d}\lambda & =\int \left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{m\ge k}{inf}{f}_m\right)\mathrm{d}\lambda \\ & =\int \left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{g}_k\right)\mathrm{d}\lambda \\ & =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int g_k\mathrm{d}\lambda \\ & \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_k\mathrm{d}\lambda .\end{array}$$

Algunas consideraciones sobre el Lema de Fatou

Observación. En general también es cierto que $$\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{f}_k\mathrm{d}\lambda \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\int f_k\mathrm{d}\lambda$$ Simplemente porque $lim inf\int f_k\le lim sup\int f_k$, aunque este estimado es más débil.

Ejemplo. La igualdad en el teorema de Fatou suele ser estricta. Consideremos dos sucesiones $$a_k⟶\frac{1}{2}$$ Y $$b_k⟶\frac{1}{2}.$$
Con $0=a_0<a_1<a_2<\dots$ y $1=b_0>b_1<b_2<\dots$.

Definamos $$s_k=\frac{{\chi }_{[a_k,b_k]}}{b_k-a_k}.$$

$$⟹(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{s}_k)(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }x\ne \frac{1}{2}\\ \frac{1}{b_0-a_0}& \text{si }x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

$$⟹\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{s}_k\mathrm{d}\lambda =1\cdot \lambda (\left\{\frac{1}{2}\right\})=0.$$

Pero $$\int s_k\mathrm{d}\lambda =\frac{1}{b_k-a_k}\lambda ([a_k,b_k])=1$$
Así que en este caso: $$\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{s}_k\mathrm{s}\lambda =0<1=lim inf\int s_k\mathrm{d}\lambda .$$

Observación. No hay una versión del Lema de Fatou con $lim sup$ en lugar de $lim inf$ (a menos de que pidamos más condiciones).

• En general $$\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{f}_k\mathrm{d}\lambda \ngeqq \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$
  Consideremos $s_k$ como en el ejemplo anterior: $$s_k=\frac{{\chi }_{[a_k,b_k]}}{b_k-a_k}.$$
  Ahora tenemos
  $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{s}_k(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }x\ne \frac{1}{2}\\ \mathrm{\infty }& \text{si }x=\frac{1}{2}.\end{array}$$
  $$⟹\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{s}_k\mathrm{d}\lambda =\mathrm{\infty }\cdot \lambda (\left\{\frac{1}{2}\right\})=0.$$
  Pero $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\int s_k\mathrm{d}\lambda =1.$$
• Tampoco se tiene en general que $$\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{f}_k\mathrm{d}\lambda \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\int f_k\mathrm{d}\lambda$$
  Primero consideremos una sucesión de subconjuntos medibles $A_k\subseteq \mathbb{R}$ con $\lambda (A_k)=1$ tal que para cada $x\in \mathbb{R}$ el conjunto $$S_x=\{k\in \mathbb{N}|x\in A_k\}$$ Es infinito para todo $x\in \mathbb{R}$.
  Podemos construir una sucesión de tales $A_k$ de la siguiente manera: Tomamos $\{r_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ una enumeración de $\mathbb{Q}$. Para cada $k$ definimos $A_k$ como el intervalo de longitud 1 centrado en $r_k$ (no importa si el intervalo es abierto o cerrado).
  Ahora definamos $$s_k={\chi }_{A_k}$$
  Entonces $$\int s_k\mathrm{d}\lambda =\lambda (A_k)=1$$ $$\therefore \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\int s_k\mathrm{d}\lambda =1.$$
  Por otro lado, $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{s}_k={\chi }_{\mathbb{R}}=1$$ $$⟹\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{s}_k\mathrm{d}\lambda =\lambda (\mathbb{R})=\mathrm{\infty }.$$

A pesar de lo anterior, sí que podemos dar una versión «dual» del Lema de Fatou si asumimos algunas condiciones adicionales. Para la demostración del siguiente resultado, requerimos definir la integral de una función negativa: Si $f\le 0$ es medible, definimos provisionalmente $\int f\mathrm{d}\lambda :=-\int (-f)\mathrm{d}\lambda$. Asumiremos también que «la integral abre restas», es decir, que $\int (f-g)\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda -\int g\mathrm{d}\lambda$. En la siguiente entrada probaremos estas y muchas otras propiedades de la integral de funciones no necesariamente $\ge 0$.

Lema (dual de Fatou). Sean $f_1,f_2,\dots$ funciones no negativas y medibles. Supongamos además que

1. $f_k\le f$ para todo $k\in \mathbb{N}$.
2. $\int f_k\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }$.

Entonces, $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\int f_k\mathrm{d}\lambda \le \int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{f}_k\mathrm{d}\lambda .$$

Demostración. Consideremos $$g_k:=f-f_k.$$
Luego:

• $g_k\ge 0$ (por 1.)
• $g_k$ es Lebesgue medible (al ser combinación lineal de funciones medibles).

Entonces, el Lema de Fatou implica que:
$$\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{g}_k\mathrm{d}\lambda \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\int g_k\mathrm{d}\lambda .$$ Es decir $$\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}(f-f_k)\mathrm{d}\lambda \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}(\int f\mathrm{d}\lambda –\int f_k\mathrm{d}\lambda ).$$
$$⟹\int f\mathrm{d}\lambda +\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}(-f_k)\mathrm{d}\lambda \le \int f\mathrm{d}\lambda +\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}(–\int f_k\mathrm{d}\lambda ).$$
Restando $\int f\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }$ de ambos lados y usando que $lim inf-a_k=-lim sup{a}_k$ concluimos:
$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\int f_k\mathrm{d}\lambda \le \int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{f}_k\mathrm{d}\lambda .$$

Más adelante…

Definiremos la integral para funciones medibles generales (no necesariamente $\ge 0$) y el concepto de función integrable (ó $L^1$). Veremos varias de sus propiedades, muchas análogas a las que hemos visto hasta ahora, aunque también algunas nuevas.

Tarea moral