MATERIAL EN REVISIÓN
Introducción
Contrario a lo que la intuición podría sugerir, en general los límites no conmutan con integrales. A pesar de esto, sí que podemos dar un estimado bastante útil a la hora de comparar límites de integrales: El Lema de Fatou.
Las hipótesis del Teorema de la Convergencia Monótona no se pueden relajar
En general, no siempre podemos intercambiar límites con integrales. Veamos un ejemplo.
Ejemplo. Para cada $k\in \mathbb{N}$, definamos $$g_k=\chi_{[k-1,k]}.$$ Observa que $\{ g_k \}_{k=1}^{\infty}$ es una sucesión de funciones simples, medibles y no negativas. Además, para cualquier $x\in \mathbb{R}$, podemos encontrar un $N\in \mathbb{N}$ suficientemente grande tal que $x<N-1$, es decir, $x\notin [k-1,k]$ para $k\geq N$. Esto garantiza que la sucesión $g_k(x)$ es eventualmente $0$. Concluimos que $$\lim_{k\to \infty} g_k=0.$$
Sin embargo, para cualquier $k$: $$\int g_k \ \mathrm{d}\lambda = 1\cdot \lambda([k-1,k])=1. $$
De modo que $$\int \left( \lim_{k\to \infty} g_k \right) \ \mathrm{d}\lambda=0\neq 1=\lim_{k\to \infty} \int g_k \ \mathrm{d}\lambda.$$
$\triangle$
Destacamos que la hipótesis de que la sucesión de funciones sea creciente es esencial para poder intercambiar límites con integrales.
El Lema de Fatou
Lema (de Fatou). Sean $f_1, f_2, f_3\dots$ funciones medibles y no negativas. Entonces:
$$\int \left( \liminf_{k\to \infty} f_k \right) \ \mathrm{d}\lambda \leq \liminf_{k\to \infty} \int f_k \ \mathrm{d}\lambda.$$
Demostración. Para cada $k\in \mathbb{N}$, definamos: $$g_k=\inf \{ f_k, f_{k+1}, f_{k+2}, \dots \}.$$
Observa que $\{ g_k \}_{k=1}^{\infty}$ es una sucesión creciente de funciones medibles no negativas. Además $g_k\leq f_k$ para todo $k$, de donde $\int g_k \ \mathrm{d}\lambda\leq \int f_k \ \mathrm{d}\lambda$.
Luego, invocando el teorema de la convergencia monótona:
\begin{align*}
\int \left( \liminf_{k\to \infty} f_k \right) \ \mathrm{d}\lambda &= \int \left( \lim_{k\to \infty} \inf_{m\geq k} f_m \right) \ \mathrm{d}\lambda \\
&= \int \left( \lim_{k\to \infty} g_k \right) \ \mathrm{d}\lambda \\
&= \lim_{k\to \infty} \int g_k \ \mathrm{d}\lambda \\
&\leq \liminf_{k\to \infty} \int f_k \ \mathrm{d}\lambda.
\end{align*}
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Algunas consideraciones sobre el Lema de Fatou
Observación. En general también es cierto que $$\int \liminf_{k\to \infty}f_k \ \mathrm{d}\lambda \leq \limsup_{k\to \infty} \int f_k \ \mathrm{d}\lambda$$ Simplemente porque $\liminf \int f_k\leq \limsup \int f_k$, aunque este estimado es más débil.
Ejemplo. La igualdad en el teorema de Fatou suele ser estricta. Consideremos dos sucesiones $a_k$ y $b_k$ tales que $$a_k\longrightarrow \frac{1}{2}$$ Y $$b_k\longrightarrow \frac{1}{2}.$$
Con $0=a_0<a_1<a_2<\dots$ y $1=b_0>b_1>b_2>\dots$
Definamos $$s_k=\frac{\chi_{[a_k,b_k]}}{b_k-a_k}.$$
\begin{equation*}
\implies (\liminf_{k\to \infty} s_k)(x)=
\begin{cases}
0 & \text{si } x \neq \frac{1}{2} \\
\frac{1}{b_0-a_0} & \text{si } x = \frac{1}{2}.
\end{cases}
\end{equation*}
$$\implies \int \liminf_{k\to \infty} s_k \ \mathrm{d}\lambda= 1 \cdot \lambda\left(\left\{ \frac{1}{2} \right\}\right)=0.$$
Pero $$\int s_k \ \mathrm{d}\lambda = \frac{1}{b_k-a_k}\lambda([a_k,b_k])=1.$$ Para todo $k$. Así que en este caso: $$\int \liminf_{k\to \infty} s_k \ \mathrm{d}\lambda=0<1 = \liminf \int s_k \ \mathrm{d}\lambda.$$
$\triangle$
Observación. No hay una versión del Lema de Fatou con $\limsup$ en lugar de $\liminf$ (a menos de que pidamos más condiciones).
- En general $$\int \limsup_{k\to \infty} f_k \ \mathrm{d}\lambda \ngeq \limsup_{k\to \infty} \int f_k \ \mathrm{d}\lambda.$$
Consideremos $s_k$ como en el ejemplo anterior: $$s_k=\frac{\chi_{[a_k,b_k]}}{b_k-a_k}.$$
Ahora tenemos
\begin{equation*}
\limsup_{k\to \infty} s_k(x)=
\begin{cases}
0 & \text{si } x \neq \frac{1}{2} \\
\infty & \text{si } x = \frac{1}{2}.
\end{cases}
\end{equation*}
$$\implies \int \limsup_{k\to \infty} s_k \ \mathrm{d}\lambda = \infty \cdot \lambda\left(\left\{ \frac{1}{2} \right\}\right)=0.$$
Pero $$\limsup_{k\to \infty} \int s_k \ \mathrm{d}\lambda=1.$$ - Tampoco se cumple siempre que $$\int \limsup_{k\to \infty} f_k \ \mathrm{d}\lambda \leq \limsup_{k\to \infty} \int f_k \ \mathrm{d}\lambda.$$
Para ello consideremos una sucesión de subconjuntos medibles $A_k \subseteq \mathbb{R}$ con $\lambda(A_k)=1$ y tales que el conjunto $$S_x=\{k\in \mathbb{N} \ | \ x\in A_k \}$$ Sea infinito para todo $x\in \mathbb{R}$.
Podemos construir una sucesión de tales $A_k$ de la siguiente manera: Tomamos $\{ r_k \}_{k=1}^{\infty}$ una enumeración de $\mathbb{Q}$ y definimos $A_k$ como el intervalo de longitud 1 centrado en $r_k$ (no importa si el intervalo es abierto o cerrado).
Ahora, sea $$s_k=\chi_{A_k}.$$ Entonces, para cada $k\in \mathbb{N}$ $$\int s_k \ \mathrm{d}\lambda=\lambda(A_k)=1$$ De donde $$ \limsup_{k\to \infty} \int s_k \ \mathrm{d}\lambda =1. $$
Por otro lado, $$\limsup_{k\to \infty}s_k= \chi_{\mathbb{R}}\equiv1$$ $$\implies \int \limsup_{k\to \infty} s_k \ \mathrm{d}\lambda =\lambda(\mathbb{R})=\infty.$$
$\triangle$
A pesar de lo anterior, sí que podemos dar una versión «dual» del Lema de Fatou si asumimos algunas condiciones adicionales. Para la demostración del siguiente resultado, requerimos definir la integral de una función negativa: Si $f\leq 0$ es medible, definimos provisionalmente $\int f \ \mathrm{d}\lambda:=-\int (-f) \ \mathrm{d}\lambda$. Asumiremos también que «la integral abre restas», es decir, que $\int (f-g) \ \mathrm{d}\lambda=\int f \ \mathrm{d}\lambda-\int g \ \mathrm{d}\lambda$. En la siguiente entrada probaremos estas y muchas otras propiedades de la integral de funciones no necesariamente $\geq 0$.
Lema (dual de Fatou). Sean $f_1,f_2,\dots$ funciones no negativas y medibles. Supongamos además que existe una función medible $f$ tal que
- $f_k\leq f$ para todo $k\in \mathbb{N}$.
- $\int f \ \mathrm{d}\lambda <\infty$.
Entonces, $$\limsup_{k\to \infty} \int f_k \ \mathrm{d}\lambda \leq \int \limsup_{k\to \infty} f_k \ \mathrm{d}\lambda.$$
Demostración. Consideremos $$g_k:=f-f_k.$$ Luego:
- $g_k \geq 0$ (por 1.)
- $g_k$ es Lebesgue medible (al ser combinación lineal de funciones medibles).
Entonces, el Lema de Fatou implica que:
$$\int \liminf_{k\to \infty} g_k \ \mathrm{d}\lambda\leq \liminf_{k\to \infty} \int g_k \ \mathrm{d}\lambda.$$ Es decir $$\int \liminf_{k\to \infty} (f-f_k) \ \mathrm{d}\lambda\leq \liminf_{k\to \infty} \left( \int f \ \mathrm{d}\lambda – \int f_k \ \mathrm{d}\lambda \right).$$
$$\implies \int f \ \mathrm{d}\lambda+\int \liminf_{k\to \infty} (-f_k) \ \mathrm{d}\lambda\leq \int f \ \mathrm{d}\lambda +\liminf_{k\to \infty} \left( – \int f_k \ \mathrm{d}\lambda \right).$$
Restando $\int f \ \mathrm{d}\lambda<\infty$ de ambos lados y usando que $\liminf -a_k=-\limsup a_k$ concluimos:
$$\limsup_{k\to \infty} \int f_k \ \mathrm{d}\lambda \leq \int \limsup_{k\to \infty} f_k \ \mathrm{d}\lambda.$$
$\square$
Más adelante…
Definiremos la integral para funciones medibles generales (no necesariamente $\geq 0$) y el concepto de función integrable (ó $L^1$). Veremos varias de sus propiedades, muchas análogas a las que hemos visto hasta ahora, aunque también algunas nuevas.