MATERIAL EN REVISIÓN
Introducción
Hasta ahora, sólo hemos definido la integral para funciones medibles no negativas. En esta entrada veremos que la definición se puede extender a funciones medibles más generales (no necesariamente $\geq 0$) heredando muchas de sus propiedades. Definiremos también el concepto de integrabilidad (o función $L^1$) que será una hipótesis esencial en muchos de nuestros desarrollos más adelante.
Definición. Sea $f:\mathbb{R}^n\to [-\infty,\infty]$ una función medible, con parte positiva y negativa $f_+$ y $f_-$ respectivamente. Definimos la integral de $f$ como
$$\int f \ \mathrm{d} \lambda=\int f_+ \ \mathrm{d} \lambda-\int f_- \ \mathrm{d} \lambda.$$
Siempre que este número esté bien definido.
Si $\int f_+ \ \mathrm{d} \lambda$ y $\int f_- \ \mathrm{d} \lambda$ son ambas finitas, entonces decimos que $f$ es integrable.
Notación. Denotaremos a la clase de funciones integrables como $L^1(\mathbb{R}^n,\mathcal{L},\lambda)$, $L^1(\mathbb{R}^n)$ , o simplemente $L^1$.
Observaciones.
- La definición tiene sentido (siempre que $\int f_+ \ \mathrm{d} \lambda-\int f_- \ \mathrm{d} \lambda$ exista), pues si $f$ es medible entonces $f_+$ y $f_-$ son medibles no negativas por lo que admiten integrales bien definidas.
- Si $f\geq 0$, la nueva definición es consistente con la definición de integral para funciones medibles no negativas, pues en este caso $f=f_+$ y $f_-=0$.
- A diferencia de las funciones no negativas, no todas las funciones medibles admiten una integral. Si $\int f_+ \ \mathrm{d}\lambda=\int f_- \ \mathrm{d}\lambda=\infty$, $\int f \ \mathrm{d}\lambda$ no está bien definida.
- Si $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$, entonces $\int f_+ \ \mathrm{d} \lambda-\int f_- \ \mathrm{d} \lambda$ es un número real. Enfocaremos nuestro análisis principalmente en las funciones en $L^1$ pues es un espacio más manejable pero al mismo tiempo lo suficientemente general.
- Más adelante le daremos un significado ligeramente distinto al conjunto $L^1(\mathbb{R}^n)$. De momento es conveniente pensar que $f\in L^1$ es un atajo notacional para decir que $f$ es integrable.
Veamos primero un par de Lemas que facilitarán nuestro estudio de las funciones integrables.
Lema. Si $f:\mathbb{R}^n\to [0,\infty]$ es una función medible, no negativa y con integral finita $0\leq \int f \ \mathrm{d} \lambda<\infty$, entonces $I=\{ x\in \mathbb{R}^n \ | \ f(x)=\infty\}$ es de medida cero.
Demostración. Supongamos por el contrario que $\lambda(I)>0$. Consideremos la sucesión de funciones simples: $$s_k=k\chi_I \ \ \ \ \forall k\in \mathbb{R}^n.$$
Claramente $s_k\leq f$ para toda $k$, de donde $$\int f \ \mathrm{d} \lambda\geq \int s_k \ \mathrm{d} \lambda=k\lambda(I).$$
Como $k\lambda(I)\longrightarrow \infty$ cuando $k\longrightarrow \infty$, la única posibilidad es $$\int f \ \mathrm{d} \lambda=\infty.$$ Lo cual es una contradicción.
$\square$
Proposición (desigualdad del triángulo). Si $f$ es una función medible y con integral bien definida, entonces $$\left| \int f \ \mathrm{d} \lambda \right|\leq \int |f| \ \mathrm{d} \lambda.$$ Además $f\in L^1$ $\iff$ $|f|\in L^1$.
Demostración. Notemos que $|f|=f_++f_-$. Como $f_+$ y $f_-$ son medibles no negativas, se sigue por aditividad: $$\int |f| \ \mathrm{d} \lambda=\int f_+ \ \mathrm{d} \lambda+\int f_- \ \mathrm{d} \lambda.$$
Evidentemente $\int f_+ \ \mathrm{d} \lambda\leq \int f_+ \ \mathrm{d} \lambda$ y $-\int f_- \ \mathrm{d} \lambda\leq \int f_- \ \mathrm{d} \lambda$, por lo que $$\int f \ \mathrm{d} \lambda=\int f_+ \ \mathrm{d} \lambda-\int f_- \ \mathrm{d} \lambda\leq \int f_+ \ \mathrm{d} \lambda+\int f_- \ \mathrm{d} \lambda=\int |f| \ \mathrm{d} \lambda.$$
Análogamente $$-\int f \ \mathrm{d} \lambda=\int f_- \ \mathrm{d} \lambda-\int f_+ \ \mathrm{d} \lambda\leq \int f_+ \ \mathrm{d} \lambda+\int f_- \ \mathrm{d} \lambda=\int |f| \ \mathrm{d} \lambda.$$
Por lo que $$\left| \int f \ \mathrm{d} \lambda \right|\leq \int |f| \ \mathrm{d} \lambda.$$
Si $f\in L^1$ $$\implies \ \int f_+ \ \mathrm{d} \lambda,\int f_- \ \mathrm{d} \lambda<\infty$$ $$\implies \ \int |f| \ \mathrm{d} \lambda=\int f_+ \ \mathrm{d} \lambda+\int f_- \ \mathrm{d} \lambda<\infty.$$ De modo que $|f|\in L^1$.
Inversamente, supongamos que $|f|\in L^1$. Como $f_+,f_-\leq |f|$ $$\implies \ \int f_+ \ \mathrm{d} \lambda, \ \int f_- \ \mathrm{d} \lambda\leq \int |f| \ \mathrm{d} \lambda < \infty$$ Por lo que $f\in L^1$.
$\square$
Proposición (Linealidad de la Integral). Supongamos que $f,g\in L^1$ y $a, b\in \mathbb{R}$. Entonces $af+bg\in L^1$ con $$\int (af+bg) \ \mathrm{d}\lambda=a\int f \ \mathrm{d}\lambda+b\int g \ \mathrm{d}\lambda.$$
Observación. Hay un un detalle en ésta proposición: Es posible que $af+bg$ no esté definida en todo $\mathbb{R}^n$ (piensa por ejemplo que $f(0)=g(0)=\infty$ $\implies$ $(f-g)(0)$ no está definida). Los puntos que «pueden dar problemas» son aquellos en los que $f$ ó $g$ valen $\pm \infty$. Por el lema anterior, éste conjunto es de medida cero así que $af+bg$ está bien definida salvo quizá un conjunto de medida cero. Más adelante veremos que a la hora de integrar podemos «ignorar» los conjuntos de medida cero [ENLACE], es decir, podemos redefinir $f$ y $g$ en cualquier conjunto de medida cero sin afectar el valor de su integral. Por esta razón podemos suponer sin mayor problema que $f,g$ son finitas en todo $\mathbb{R}^n$.
Demostración. Basta probar por separado: $$\int af \ \mathrm{d}\lambda=a\int f \ \mathrm{d}\lambda,$$ $$\int (f+g) \ \mathrm{d}\lambda=\int f \ \mathrm{d}\lambda+\int g \ \mathrm{d}\lambda.$$
Veamos la primera parte. Podemos distinguir dos casos:
- Si $a\geq 0$, tenemos $(af)_+=af_+$ y $(af)_-=af_-$. Luego
\begin{align*}
\int af \ \mathrm{d}\lambda &= \int af_+ \ \mathrm{d}\lambda – \int af_- \ \mathrm{d}\lambda \\
&= a \int f_+ \ \mathrm{d}\lambda – a \int f_- \ \mathrm{d}\lambda \\
&= a\left( \int f_+ \ \mathrm{d}\lambda-\int f_- \ \mathrm{d}\lambda \right) \\
&= a \int f \ \mathrm{d}\lambda
\end{align*} En la segunda igualdad usamos la proposición para el caso $f\geq 0$ que ya probamos anteriormente. - Similarmente, cuando $a<0$, $(af)_+=(-a)f_-$ y $(af)_-=(-a)f_+$, luego
\begin{align*}
\int af \ \mathrm{d}\lambda &= \int (-a)f_- \ \mathrm{d}\lambda – \int (-a)f_+ \ \mathrm{d}\lambda \\
&= (-a) \int f_- \ \mathrm{d}\lambda + a \int f_+ \ \mathrm{d}\lambda \\
&= a\left( \int f_+ \ \mathrm{d}\lambda-\int f_- \ \mathrm{d}\lambda \right) \\
&= a \int f \ \mathrm{d}\lambda.
\end{align*}
Veamos ahora la segunda parte. Sea $h=f+g$. Entonces $|h|\leq |f|+|g|$ $\implies$ $\int |h| \ \mathrm{d}\lambda\leq \int |f| \ \mathrm{d}\lambda+\int |g| \ \mathrm{d}\lambda<\infty$ $\implies$ $|h|\in L^1$ $\implies$ $h\in L^1$ (desigualdad del triángulo).
Ahora, como podemos escribir: $$h_+-h_-=h=f+g=(f_+-f_-)+(g_+-g_-)$$
$$\implies \ h_++f_-+g_-=h_-+f_++g_+$$
Integrando y usando la proposición para funciones no negativas (que ya probamos)
$$\implies \int h_+ \ \mathrm{d}\lambda+\int f_- \ \mathrm{d}\lambda+\int g_- \ \mathrm{d}\lambda=\int h_- \ \mathrm{d}\lambda+ \int f_+ \ \mathrm{d}\lambda+\int g_+ \ \mathrm{d}\lambda.$$
Reordenando los términos y usando la definición concluimos:
$$\int (f+g) \ \mathrm{d}\lambda=\int f \ \mathrm{d}\lambda+\int g \ \mathrm{d}\lambda.$$
$\square$
Corolario (Monotonía de la integral). Sean $f,g\in L^1(\mathbb{R}^n)$ con $f\leq g$. Entonces $$\int f \ \mathrm{d}\lambda \leq \int g \ \mathrm{d}\lambda.$$
Demostración. Notemos que $g-f\geq 0$. Por el teorema anterior, sabemos que $g-f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ y además:
$$0\leq \int (g-f) \ \mathrm{d}\lambda=\int g \ \mathrm{d}\lambda-\int f \ \mathrm{d}\lambda$$
$$\implies \int f \ \mathrm{d}\lambda\leq \int g \ \mathrm{d}\lambda.$$
$\square$
Más adelante…
Enunciaremos y probaremos otro de los teoremas más importantes de teoría de integración: El Teorema de la Convergencia Dominada. Al igual que el Teorema de la convergencia Monótona, éste es un resultado de «intercambio de límites con integrales», pero es aplicable incluso cuando las funciones no son $\geq 0$.