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Topología I: Espacios topológicos

Por Alfonso Zavala

Introducción

Antes de dar la definición de espacio topológico y ver ejemplos, siempre resulta conveniente familiarizarnos un poco con los conceptos a los que nos vamos a enfrentar, tratando de entender intuitivamente las bases de lo que vamos a estudiar. Seguramente ya has trabajado con conceptos de topología en tu curso de cálculo 3 (de hecho es altamente recomendado que hayas cursado esta materia antes de enfrentarte a un curso de topología) y conoces conceptos como abiertos, cerrados, compacidad, conexidad, etc., que usaste para entender las propiedades topológicas de $R^{n}$ . A grandes rasgos, la topología se ocupa de entender las relaciones entre objetos que viven en cierto ambiente (en el caso de cálculo 3 el ambiente era $R^{n}$ ); estas relaciones no se preocupan por el tamaño o la forma específica de los objetos, más bien se ocupan de características como si el objeto está completamente conectado, la cantidad de agujeros que tiene, etc. Seguramente has escuchado el famoso ejemplo de que para un topólogo un taza y una dona son el mismo objeto. La explicación rápida de esto es que ambos objetos sólo tienen un agujero, y como a la topología no le interesa la forma específica de la taza y la dona, entonces topológicamente son lo mismo.

Nota. A lo largo de todo el curso se considerará al conjunto de los números naturales a partir del 1, es decir, $N = {1, 2, 3, \dots}$ .

Definición de espacio topológico

Definición. Sean $X$ un conjunto y $τ \subseteq P (X)$ . Decimos que $τ$ es una topología para $X$ si cumple:

$\emptyset \in τ$ , $X \in τ$
Si $U, V \in τ$ , entonces $U \cap V \in τ$
Si ${U_{i}}_{i \in I} \subseteq τ$ , entonces $⋃_{i \in I} U_{i} \in τ$

A los elementos de $τ$ les llamamos abiertos.

Una de las primeras consecuencias de esta definición es que la intersección finita de abiertos es abierto, en un momento probaremos este resultado. Por otro lado, observemos que la tercera indica que $τ$ es cerrada bajo uniones arbitrarias, es decir, cualquier unión de abiertos siempre resulta en un abierto, sin importar cuántos sean.

Proposición. Sean $X$ un conjunto, $τ$ una topología para $X$ y ${U_{i}}_{i = 1}^{n} \subseteq τ$ . Entonces $⋂_{i = 1}^{n} U_{i} \in τ$ .

Demostración. P.D. $⋂_{i = 1}^{n} U_{i} \in τ$ . Procedamos por inducción sobre $n$ .

Si $n = 2$ , tenemos que $U_{1}, U_{2} \in τ$ , aplicando la propiedad 2 de la definición de topología, tenemos que $U_{1} \cap U_{2} \in τ$ .

Supongamos válido para $n = k$ , i.e., $⋂_{i = 1}^{k} U_{i} \in τ$ .

P.D. $⋂_{i = 1}^{k + 1} U_{i} \in τ$ . Por hipótesis ${U_{i}}_{i = 1}^{k + 1} \subseteq τ$ , entonces $U_{1}, \dots, U_{k + 1} \in τ$ . Por hipótesis de inducción, $⋂_{i = 1}^{k} U_{i} \in τ$ , entonces aplicando la propiedad 2 de la definición de topología, tenemos que $(⋂_{i = 1}^{k} U_{i}) \cap U_{k + 1} \in τ$ , i.e., $⋂_{i = 1}^{k + 1} \in τ$ .

Por lo tanto, $⋂_{i = 1}^{n} U_{i} \in τ$ .

Después de esta proposición, es natural preguntarse si la intersección arbitraria de abiertos siempre resulta ser un abierto. La respuesta es que no, y esto lo podemos comprobar con un simple ejemplo usando la topología usual de los números reales (esta es la topología con la que se trabaja en cálculo, más adelante la definiremos formalmente). Consideremos la familia de abiertos ${U_{n}}_{n \in N}$ , donde $U_{n} := (- \frac{1}{n}, \frac{1}{n})$ . Cada $U_{n}$ es un intervalo abierto en la recta real, y el único elemento que tienen en común todos los intervalos es el cero, es decir, $⋂_{n \in N} U_{n} = {0}$ , pero un conjunto unitario no puede ser abierto en la topología usual de los reales. Por lo tanto, concluimos que la intersección arbitraria de abiertos no necesariamente resulta en un abierto.

Ya que hemos definido qué es una topología, es natural tener la siguiente definición.

Definición. Si $τ$ es topología para $X$ , decimos que $(X, τ)$ es un espacio topológico.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Sea $X = {a, b, c, d, e}$ .

$τ_{1} = {{b, c}, X, {a, d, e}}$ . $τ_{1}$ no es topología, pues $\emptyset \notin τ_{1}$ .
$τ_{2} = {\emptyset, X}$ . $τ_{2}$ sí es topología. Contiene el vacío y el total, y la intersección o unión entre ellos vuelve a ser el vacío o el total. A esta topología se le llama topología indiscreta y se suele denotar por $τ_{indis}$ .
$τ_{3} = P (X)$ . $τ_{3}$ sí es topología, pues contiene a todos los subconjuntos de $X$ . A esta topología se le llama topología discreta y se suele denotar por $τ_{dis}$ .
$τ_{4} = {\emptyset, X, {a, d, e}, {b, c, d, e}, {d}}$ . $τ_{4}$ no es topología, pues ${a, d, e} \cap {b, c, d, e} = {d, e} \notin τ_{4}$ .
$τ_{5} = {\emptyset, X, {a, d, e}, {b, d, e}, {d, e}}$ . $τ_{5}$ no es topología, pues ${a, d, e} \cup {b, d, e} = {a, b, d, e} \notin τ_{5}$ .
$τ_{6} = {\emptyset, X, {a, b}, {c, d}, {a, b, c, d}}$ . $τ_{5}$ sí es topología.

Hasta ahora todos los ejemplos que hemos visto son finitos, y para verificar si cierto conjunto es topología o no, basta verificar que se cumplan las propiedades con todos los elementos del conjunto, o encontrar algunos elementos que no cumplan con las propiedades. Ahora veremos un ejemplo con un conjunto que no necesariamente tiene que ser finito, y para verificar si es topología o no, tendremos que verificar las propiedades usando las propiedades del conjunto.

Topología del punto fijo

Sean $X$ un conjunto (puede ser finito o infinito) y $p \in X$ . Definimos $τ = {A \subseteq X : p \in A}$ . Inmediatamente podemos ver que $τ$ no es topología ya que $\emptyset \notin τ$ , pues por definición todo elemento de $τ$ contiene a $p$ . Entonces definimos $τ_{p} = {A \subseteq X : p \in A} \cup {\emptyset}$ . A esta topología se le llama topología del punto fijo. Veamos que $τ_{p}$ sí es topología.

Demostración. Para demostrar que $τ_{p}$ es topología tenemos que verificar las tres propiedades de la definición.

$\emptyset \in τ_{p}$ por definición. Además, como $p \in X$ , entonces $X \in τ_{p}$ . $✓$
Sean $U, V \in τ_{p}$ . P.D. $U \cap V \in τ_{p}$ .
Caso 1: $U = \emptyset$ o $V = \emptyset$ . Entonces $U \cap V = \emptyset \in τ_{p}$ . $✓$
Caso 2: $U \neq \emptyset$ y $V \neq \emptyset$ . Como $U, V \in τ_{p}$ y no son vacíos, entonces $p \in U$ y $p \in V$ , por lo que $p \in U \cap V$ , así $U \cap V \in τ_{p}$ . $✓$
Sea ${U_{α} : α \in Γ} \subseteq τ_{p}$ . P.D. $⋃_{α \in Γ} U_{α} \in τ_{p}$ .
Caso 1: $U_{α} \neq \emptyset$ , $\forall α \in Γ$ . Entonces $⋃_{α \in Γ} U_{α} = \emptyset \in τ_{p}$ . $✓$
Caso 2: $\exists α_{0} \in Γ$ tal que $U_{α_{0}} \neq \emptyset$ . Como $U_{α_{0}} \in τ_{p}$ , entonces $p \in U_{α_{0}}$ , por lo que $p \in ⋃_{α \in Γ} U_{α}$ , así $⋃_{α \in Γ} U_{α} \in τ_{p}$ . $✓$

Hemos demostrado que $τ_{p}$ cumple todas las propiedades de la definición de topología, por lo tanto, $τ_{p}$ es una topología para $X$ .

Topología cofinita

En $R$ definimos $τ = {A \subseteq X : R ∖ A es finito}$ . Al igual que en el ejemplo anterior, inmediatamente podemos ver que $τ$ no es topología pues $\emptyset \notin τ$ . Ahora definimos $τ_{cof} = {A \subseteq X : R ∖ A es finito} \cup {\emptyset}$ . Con esta definición resulta que $(R, τ_{cof})$ sí es un espacio topológico. A $τ_{cof}$ se le llama topología cofinita.

Observación. En la topología cofinita, $R$ puede ser cualquier conjunto.

Más adelante…

En la próxima entrada veremos más ejemplos de espacios topológicos y su relación con espacios métricos.

Tarea moral

Demuestra que $(R, τ_{cof})$ como se definió anteriormente es un espacio topológico. Es decir, demuestra que $τ_{cof}$ es una topología para $R$ .
Sea $X = {0, 1}$ . Determina si $τ = {\emptyset, {0}, {0, 1}}$ es una topología para $X$ .
Sea $X = {a, b, c}$ . Encuentra todas las familias $τ \subseteq P (X)$ tales que $τ$ es una topología en $X$ .
Determina si $τ_{1} = {U \subseteq X | 0 \in U \lor {0, 1} \cap U = \emptyset}$ es una topología en $X = [0, 1]$ .
Determina si $τ_{2} = {[0, b] | \frac{1}{2} < b \leq 1} \cup {0}$ es una topología en $X = [0, 1]$ .

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Entrada siguiente del curso: Espacios métricos y topología inducida

Sucesiones $R$

Por Angélica Amellali Mercado Aguilar

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Introducción

La idea generalizada de convergencia de una sucesión nos dice que a medida que los índices de una sucesión avanzan entonces los términos se tienen que acercar más entre sí.

Definición.Una sucesión en $R^{n}$ es cualquier lista infinita de vectores en $R^{n}$ $\overset{―}{x_{1}}, \overset{―}{x_{2}}, \dots, \overset{―}{x_{k}}, \dots$ algunos de los cuales o todos ellos pueden coincidir entre si. Dada una sucesión $\overset{―}{x_{1}}, \overset{―}{x_{2}}, \dots, \overset{―}{x_{k}}, \dots$ se define de manera natural una función de los enteros positivos $N$ en $R^{n}$ tal que a cada entero positivo $k$ se le asigna un vector $\overset{―}{x_{k}} \in R^{n}$
A la colección ordenada de los elementos de una sucesión la denotaremos

${{\overset{―}{x}}_{k}}_{k = 1}^{\infty}, {{\overset{―}{x}}_{k}}$

Ejemplo. Considerando el espacio $R^{2}$ sea la sucesión ${\overset{―}{x_{k}}}_{k = 1}^{\infty}$ dada por $\overset{―}{x_{k}} = (k, \frac{1}{k})$ cuyos elementos podemos listar como sigue:

${(1, 1), (2, \frac{1}{2}), (3, \frac{1}{3}), \dots}$

Considerando la sucesión ${\overset{―}{x_{k}}} \in R^{n}$ . Cada vector $\overset{―}{x_{k}} \in {\overset{―}{x_{k}}}$ esta dado de la siguiente manera:

$\overset{―}{x_{k}} = (x_{1, k}, x_{2, k}, \dots, x_{n, k})$

Es decir, dicho vector define de manera natural $n$ sucesiones ${\overset{―}{x}}$ en $R$ , las cuales, llamaremos sucesiones componentes o sucesiones proyección, así, la primera sucesión componente del ejemplo anterior es: ${x_{1, k}} = k$ y la segunda sucesión proyección del ejemplo anterior es ${x_{2, k}} = \frac{1}{k}$

Ejemplo. Sea la sucesión ${\overset{―}{x_{k}}}_{k = 1}^{\infty}$ dada por $\overset{―}{x_{k}} = (\frac{k + 1}{k + 2}, \frac{1}{2^{k}})$ cuyas sucesiones componentes son:

$\overset{―}{x_{1_{k}}} = (\frac{k + 1}{k + 2}) \overset{―}{x_{2_{k}}} = (\frac{1}{2^{k}})$

Ejemplo. Sea la sucesión ${\overset{―}{x_{k}}}_{1}^{\infty}$ dada por $\overset{―}{x_{k}} = ({(1 + \frac{1}{k})}^{k}, \sqrt[k]{k}, \sqrt[k]{\frac{1}{k}})$ cuyas sucesiones componentes son:

$\overset{―}{x_{1_{k}}} = {(1 + \frac{1}{k})}^{k} \overset{―}{x_{2_{k}}} = \sqrt[k]{k} \overset{―}{x_{3_{k}}} = \sqrt[k]{\frac{1}{k}}$

Convergencia de Sucesiones en $R^{n}$

Definición. Una sucesión ${\overset{―}{x_{k}}}_{k = 1}^{\infty}$ en $R^{n}$ se dice que converge a un vector $\overset{―}{x}$ en $R^{n}$ si $\forall ϵ > 0 \exists N_{0} \in N t a l q u e | \overset{―}{x_{k}} - \overset{―}{x} | < ϵ \forall k > N_{0}$
En este caso diremos que la sucesión es convergente y que $\overset{―}{x}$ es el limite de la sucesión y escribimos $lim_{k \to \infty} \overset{―}{x_{k}} = \overset{―}{x}$

Proposición. Unicidad del Limite: Consideremos una sucesión ${\overset{―}{x_{k}}}_{k = 1}^{\infty}$ en $R^{n}$ y sean $\overset{―}{x}, \overset{―}{y} \in R^{n}$ tal que $\overset{―}{x} = lim_{k \to \infty} \overset{―}{x_{k}} y \overset{―}{y} = lim_{k \to \infty} \overset{―}{x_{k}}$ entonces $\overset{―}{x} = \overset{―}{y}$

Demostración. Supongamos que $\overset{―}{x} \neq \overset{―}{y}$ y tomemos $ϵ = \frac{1}{2} | \overset{―}{x} - \overset{―}{y} | > 0$ .Por definición $\overset{―}{x} = lim_{k \to \infty} \overset{―}{x_{k}}$ por lo que $\exists N_{0_{x}} \in N$ tal que $| \overset{―}{x_{k}} - \overset{―}{x} | < ϵ$ para $k > N_{0_{x}}$ y analogamente se tiene que $\overset{―}{y} = lim_{k \to \infty} \overset{―}{x_{k}}$ por lo que $\exists N_{0_{y}} \in N$ tal que $| \overset{―}{x_{k}} - \overset{―}{y} | < ϵ$ para $k > N_{0_{y}}$ . Sea ahora $N_{0} = m \overset{´}{a} x {N_{0_{x}}, N_{0_{y}}}$ entonces se cumple simultaneamente que $| \overset{―}{x_{k}} - \overset{―}{x} | < ϵ$ y $| \overset{―}{x_{k}} - \overset{―}{y} | < ϵ$ para $k > N_{0}$ $∴$ $| \overset{―}{x} - \overset{―}{y} | = | \overset{―}{x} - \overset{―}{x_{k}} + \overset{―}{x_{k}} - \overset{―}{y} | \leq | \overset{―}{x} - \overset{―}{x_{k}} | + | \overset{―}{x_{k}} - \overset{―}{y} | < 2 ϵ = 2 (\frac{1}{2} | \overset{―}{x} - \overset{―}{y} |) = | \overset{―}{x} - \overset{―}{y} | (f a l s o)$

Proposición. Sea ${\overset{―}{x_{k}}}_{k = 1}^{\infty}$ una sucesión en $R^{n}$ y sean ${\overset{―}{x_{1_{k}}}}_{1}^{\infty} = (x_{1_{1}}, x_{1_{2}}, \dots)$ ${\overset{―}{x_{2_{k}}}}_{1}^{\infty} = (x_{2_{1}}, x_{2_{2}}, \dots)$ $⋮$ ${\overset{―}{x_{n_{k}}}}_{1}^{\infty} = (x_{n_{1}}, x_{n_{2}}, \dots)$ las sucesiones componentes de la sucesión ${\overset{―}{x_{k}}}_{1}^{\infty}$ . Entonces la sucesión ${\overset{―}{x_{k}}}_{1}^{\infty}$ converge a $\overset{―}{x} = (x_{1}, x_{2}, \dots)$ en $R^{n}$ si y solo si para cada $j = 1, 2, \dots$ se tiene que $x_{n_{j}}$ converge a $x_{j}$ .

Demostración. Supóngase que la sucesión ${\overset{―}{x_{k}}}_{k = 1}^{\infty}$ converge a $\overset{―}{x} = (x_{1}, x_{2}, \dots)$ esto quiere decir que $\exists N_{0} \in N$ tal que $| \overset{―}{x_{k}} - \overset{―}{x} | < ϵ$ para $k > N_{0}$ y dado que $0 \leq | x_{j_{k}} - x_{j} | \leq | \overset{―}{x_{k}} - \overset{―}{x} | < ϵ$ entonces se tiene que $0 \leq | x_{j_{k}} - x_{j} | < ϵ$ lo que significa que $lim_{k \to \infty} x_{j_{k}} = x_{j}$
Reciprocamente, supongamos que para cada j $lim_{k \to \infty} x_{j_{k}} = x_{j}$ lo que significa que
$| x_{j_{k}} - x_{j} | < \frac{ϵ}{n}$
$∴ 0 \leq | \overset{―}{x_{k}} - \overset{―}{x} | \leq | x_{1_{k}} - x_{1} | + | x_{2_{k}} - x_{2} | + \dots + | x_{n_{k}} - x_{n} | < \frac{ϵ}{n} + \frac{ϵ}{n} + \dots + \frac{ϵ}{n} = ϵ$
$∴ lim_{k \to \infty} \overset{―}{x_{j_{k}}} = \overset{―}{x}$

Ejemplo. Consideremos la sucesión $\overset{―}{x_{k}} = (\frac{1}{k}, \frac{k}{k + 1})$ tenemos que $lim_{k \to \infty} \overset{―}{x_{1_{k}}} = lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} = 0$ $lim_{k \to \infty} \overset{―}{x_{2_{k}}} = lim_{k \to \infty} \frac{k}{k + 1} = lim_{k \to \infty} \frac{\frac{k}{k}}{\frac{k}{k} + \frac{1}{k}} = lim_{k \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{k}} = 1$
$∴$ $lim_{k \to \infty} \overset{―}{x_{k}} = (0, 1) = \overset{―}{x}$

Ahora para comprobarlo tenemos que $‖ \overset{―}{x_{k}} - \overset{―}{x} ‖ = ‖ (\frac{1}{k}, \frac{k}{k + 1}) - (0, 1) ‖ = \sqrt{\frac{1}{k^{2}} + {(\frac{k}{k + 1} - 1)}^{2}} = \sqrt{\frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{(k + 1)^{2}}} < \sqrt{\frac{2}{k^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{k}$ $∴ \frac{\sqrt{2}}{k} < ϵ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{ϵ} N_{0} ∴ | (\frac{1}{k}, \frac{k}{k + 1}) - (0, 1) | < ϵ$

Definición. Deciimos que $A \subset R^{n}$ es un conjunto acotado si y solo si $\exists M > 0$ tal que $\forall \overset{―}{a} \in A$ se cumple $| \overset{―}{a} | \leq M$

Proposición. Sea ${{\overset{―}{x}}_{k}} \subset R^{n}$ , si ${{\overset{―}{x}}_{k}}$ converge, entonces ${{\overset{―}{x}}_{k}}$ es acotada.

Si ${{\overset{―}{x}}_{k}}$ converge entonces $lim_{k \to \infty} {\overset{―}{x}}_{k} = \overset{―}{x} \Rightarrow lim_{k \to \infty} x_{k, j} = x_{j} \forall j = 1, \dots, n$ por lo tanto se tiene que ${x_{k, j}}$ es acotada y por tanto $\exists M_{j} > 0$ tal que $| x_{k, j} | \leq M_{j}$ $\forall k$ $∴$ se tiene que $‖ \overset{―}{x_{k}} ‖ \leq | x_{1, k} | + | x_{2, k} | + \cdot \cdot \cdot + | x_{n, k} | \leq n \cdot max {x_{k, j}} = n \cdot M_{j} = M$ $∴ {{\overset{―}{x}}_{k}}$ es acotada.

Teorema. Un subconjunto $A \subset R^{n}$ es cerrado si y solo si contiene a todos sus puntos de acumulación.

Demostración. ( $\Rightarrow$ ) Suponemos que A es cerrado. Sea $\overset{―}{x}$ un punto de acumulación de A y suponemos que $\overset{―}{x} \notin A$ . Como $A^{c}$ es abierto y $\overset{―}{x} \in A^{c}$ existe $r > 0$ tal que $B (\overset{―}{x}, r) \subset A^{c}$ $∴$ $B (\overset{―}{x}, r) \cap A = \emptyset$ $\nabla$ pues $\overset{―}{x}$ es punto de acumulaión de A.

( $\Leftarrow$ ) Supongamos que A contiene a todos sus puntos de acumulación. Sea $U = A^{c}$ queremos probar que $U$ es abierto. Sea $\overset{―}{x} \in U$ como $\overset{―}{x}$ no es de acumulación $\exists r > 0$ tal que $B (\overset{―}{x}, r) \cap A = \emptyset$ $∴$ $B (\overset{―}{x}, r) \subset A^{c}$ $∴$ $A^{c}$ es abierto.

Teorema. Sea $A \subset R^{n}$ y $\overset{―}{x} \in R^{n}$ . Entonces, $\overset{―}{x}$ es un punto de acumulación de $A$ si y solo si $\exists {{\overset{―}{x}}_{k}} \in A$ con $\overset{―}{x_{k}} \neq \overset{―}{x}$ $\forall k$ tal que ${\overset{―}{x}}_{k} \to \overset{―}{x}$ $

Demostración. Suponemos que $\overset{―}{x}$ es punto de acumulación de $A$ entonces para cada $k \in N$ $\exists$ $\overset{―}{x_{k}} \in A \cap B (\overset{―}{x}, \frac{1}{k})$ con $\overset{―}{x_{k}} \neq \overset{―}{x}$ $∴$ $\overset{―}{x_{k}} \to \overset{―}{x}$
$\Leftarrow$ Sea $B (\overset{―}{x}, r)$ como $\overset{―}{x_{k}} \to \overset{―}{x}$ $\exists k_{0} \in N$ tal que $\overset{―}{x_{k}} \in B (\overset{―}{x}, r)$ $\forall k > k_{0}$ $∴$ $\exists$ $\overset{―}{x_{k}} \in A \cap B (\overset{―}{x}, r)$ $∴$ $\overset{―}{x}$ es punto de acumulación.

Criterio de Convergencia de Cauchy

Definición. Sea $\overset{―}{x_{k}}$ una sucesión de puntos de $R^{n}$ . Se dice que $\overset{―}{x_{k}}$ es una sucesión de Cauchy si dado $ϵ > 0$ $\exists N_{0} \in N$ tal que $| \overset{―}{x_{k}} - \overset{―}{x_{l}} | < ϵ$ $\forall k, l \geq N_{0}$

Teorema. Una sucesión $\overset{―}{x_{k}} \in R^{n}$ es convergente si y solo si cumple el criterio de Cauchy

Demostración. $\Rightarrow$ Suponemos que $\overset{―}{x_{k}} \to \overset{―}{x}$ $∴$ $| \overset{―}{x_{k}} - \overset{―}{x} | < ϵ$ $\forall k > N_{0}$ . Se tiene entonces que $| \overset{―}{x_{k}} - \overset{―}{x_{l}} | = | \overset{―}{x_{k}} - \overset{―}{x} + \overset{―}{x} - \overset{―}{x_{l}} | \leq | \overset{―}{x_{k}} - \overset{―}{x} | + | \overset{―}{x} - \overset{―}{x_{l}} | < \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ$ $\forall k, l > N_{0}$ $∴$ ${\overset{―}{x_{k}}}$ es convergente.

Más adelante

Tarea Moral

Sean ${\overset{―}{x}}_{k}$ y ${\overset{―}{y}}_{k}$ sucesiones en $R^{n}$ y $α \in R$ , si ${\overset{―}{x}}_{k} \to {\overset{―}{x}}_{0}$ y ${\overset{―}{y}}_{k} \to {\overset{―}{y}}_{0}$ , prueba que

1.- ${{\overset{―}{x}}_{k}} + {{\overset{―}{y}}_{k}} := {{\overset{―}{x}}_{k} + {\overset{―}{y}}_{k}} \to {\overset{―}{x}}_{0} + {\overset{―}{y}}_{0}$

2.- $α {{\overset{―}{x}}_{k}} := {α {\overset{―}{x}}_{k}} \to α {\overset{―}{x}}_{0}$

3.- Demuestra que dada una sucesión ${{\overset{―}{x}}_{k} = (x_{k}^{1}, \dots, x_{k}^{n})}$ una sucesión en $R^{n}$ la sucesión ${{\overset{―}{x}}_{k}}$ es de Cauchy si y sólo si la sucesión ${x_{k}^{(} i)}$ es de Cauchy para cada $i \in {1, 2, \dots, n}$

4.- Da un ejemplo de una sucesión en $R^{2}$ acotada pero no convergente.

5.- Determina y demuestra el límite de la siguiente sucesión: $x_{n} = (\frac{n}{n + 1}, \frac{(- 1)^{n}}{n})$

Enlaces

Matemáticas Financieras: Bonos no redimibles

Por Erick de la Rosa

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Introducción

Continuamos estudiando temas de valores de renta fija, en éste apartado toca analizar el comportamiento, la forma en que operan, así como sus características del tipo de bonos no redimibles.

Descripción

Los bonos no redimibles son aquellos valores que se caracterizan por no contar con una fecha fija de redención, esto quiere decir, la fecha en la que se pagará el valor valor de redención del valor. Este tipo de bonos pactan el pago de los dividendos pactando una tasa g, sobre el valor nominal de éste el cual será representado por P, y no sobre el valor de redención ya que no está determinada.

A continuación, en la siguiente imagen, se muestra el comportamiento de este tipo de bonos.

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 222.

Para mostrar su comportamiento práctico, se presenta el siguiente ejemplo:

Una persona quiere jubilarse, y planea invertir sus ahorros, así como su fondo de pensión (cantidad que asciende a 3 millones de pesos) en bonos que emitió el gobierno federal, con una vigencia de 5 años, un valor nominal de $ 5 mil pesos cada uno, y que por concepto de pago de dividendos ofrece la cantidad de .72% mensualmente de forma vencida. Así mismo, promete un valor de redención la cantidad de 109%. Los bonos cuando se emiten salen al mercado con un valor de venta $2500 y considera terminar de venderlos en 2 años, a un precio estimado de $4,250. Además, quiere planea re-invertir los dividendos percibidos, a una tasa de 9.7%. Se quiere la valuación de éste valor.

Para poder valuar este tipo de bonos, se tiene que tener el dato de la cantidad de bonos que se pueden comprar con los recursos que posee la persona que se va a jubilar. Luego hay que calcular a uno de ésos bonos la cantidad que se espera recibir por concepto de dividendos, así como el rendimiento que darán al reinvertirlos.

Suponemos que la fecha de emisión de los bonos es el día de hoy 1° de abril de 2019, y la fecha en la que culmina la venta es el dia 1° de abril de 2021. Las tasas de interés que se espera ganar es del 8.6% durante el primer año y 9.7% corresponde al segundo año, que es la tasa con la que se va a realizar el cálculo de la valuación.

Para saber la cantidad de bonos que se puede adquirir se hace la siguiente operación:

$\frac{3, 000, 000}{4250} = 705.8823529$

esto quiere decir que se pueden obtener una cantidad de 705 bonos con una cantidad sobran de $3750.

La cantidad que se recibirá por concepto de pago de dividendos de forma mensual, se obtiene calculando:

$[(5, 000) (1.09)] (0.0072) = $ 39.24$

Por los 2 años en los que piensa estar recibiendo dividendos se tienen 24 pagos de éstos, por lo que la cantidad con la cual estarían valuados cada bono se obtiene usando la siguiente ecuación:

$M_{d i v} = 39.24 (0.86)^{12} + 39.24 (0.97)^{12} = 6.4225 + 27.2263 = 33.6488$

Ejercicios resueltos

Ejercicio. La empresa de hotelera de la Señora Martha, tuvo ganancias de $6,780,000, y quiere invertirlos durante 2 años, pero solicita una asesoría para determinar qué opción le conviene más. Las opciones que tiene son las siguientes:

Abrir una cuenta en un banco y comprar dólares, que de acuerdo a la cantidad que posee y el valor del dólar el día de valuación es de $20 pesos. Y de acuerdo a los analistas del banco le ofrecen una tasa del 2.65 pagadera mensual, durante 2 años

Solución

Más adelante…

Finalmente se llegó al último tema que abarca éstas notas, esperando que puedan facilitar el acceso a una mejor comprensión de los temas que hasta el momento se han expuesto. La siguiente entrada se trata de una pequeña recapitulación de todos las fórmulas principales, así como su conceptos de fórmulas con la finalidad de que también cuenten con una forma de hacer una consulta rápida sobre todo cuando aún no son nuevos en el aprendizaje de estos temas o cuando sólo quieren recordar alguna fórmula.

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Matemáticas Financieras: Bonos redimibles sin pago de dividendos

Por Erick de la Rosa

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Introducción

En este tema, se abordará el tipo de bonos en los que no se realiza el pago de dividendos, analizando sus características, la forma en que operan en el mercado de valores.

Descripción

Los bonos redimibles sin pago de dividendos, son aquellos que como su nombre lo indica no hacen pago de dividendo, sin embargo; comparten la característica de otorgarle al inversionista una cantidad por el concepto de valor de redención, que al igual que los bonos redimibles con pago de dividendos, si el valor de redención es mayor que el valor nominal o de carátula, se dice que el bono se redime arriba de par, si es igual se dice que se redime a la par, y si el valor es menor, se dice que es debajo de par. De igual forma el valor de redención se determina en el contrato como un porcentaje del valor de carátula.

La forma en que opera éste tipo de bonos en el mercado es análoga a la vista en el tema anterior. A continuación, se muestra una gráfica que describe su comportamiento:

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 218.

Este tipo de bonos tiene además la característica de poder tener una duración de años. Su valor de compra lo fija el comprador a través de una tasa de rendimiento, de esta forma la expresión matemática que representa su comportamiento, queda definida de la siguiente forma:

$V = C v_{i}^{t}$

donde:

C representa el valor de redención
i representa la tasa de rendimiento
t representa la vigencia o duración del bono
es importante hacer mención que la vigencia o duración del bono debe coincidir con la periodicidad en la que esté dada la tasa de rendimiento.

Para mostrar cómo opera este tipo de bonos, se hará mediante el siguiente ejemplo:

Una empresa desea realizar un proyecto de expansión de su planta para tener mayor producción, y necesita una cantidad de 500 mil de pesos; para financiarlo planea emitir 5 mil bonos, con valor nominal de 100 pesos, y quiere pagar a los inversionistas al 115% de su valor nominal una vez que pasen 2 años. Los inversionistas pactan una tasa de rendimiento anual del 2.7%, desean saber de cuánto sería el incremento del financiamiento si se coloca de inmediato la totalidad de la emisión.

La ecuación para obtener el valor presente es cada bono es la siguiente:

$V = 115 v_{0.027}^{2} = 115 (\frac{1}{(1.027)^{2}})$

$V = 115 (0.94481108417) = 109.03$

El resultado anterior significa que el financiamiento se incrementó a:

$F = (5, 000) (109.03) = 545163.734$

Como el contexto del mercado está a favor desde el momento de la emisión de la venta de los bonos, en tal caso se puede escoger mejores ofertas de compra, limitando la venta de los bonos, aunque eso implicaría arriesgarse a que los inversionistas quieran elevar la tasa de rendimiento, lo que traerá como consecuencia que el precio de compra de los bonos sea menor.

Por último, este tipo de valores, tiene similitudes con los bonos vistos en el tema anterior, ya que se pueden comprar y vender durante el plazo de su operación, cuando ésto ocurre tanto los compradores como los inversionistas valúan el precio de sus bonos usando la expresión:

$V = C v_{i}^{t}$

sustituyendo la tasa de rendimiento, pero poniendo especial atención de que el valor de t se mantenga con la misma vigencia que le falte transcurrir al bono.

Bonos redimibles con dividendos pagaderos P veces al año

Otra de las variantes de este tipo de valores, son los bonos en los que el pago de los dividendos lo realizan p veces al año. Para este tipo de bono, la tasa de dividendo es fijada por el vendedor, así como su periodicidad. La diferencia que hay de esta tasa con las tasas de interés y de las tasas pagaderas p veces al año, es que la tasa de dividendos no se divide entre el número de veces en las que serán pagados los dividendos en el lapso de un año.

Por ejemplo, si la persona que va a emitir los bonos, considera pagar por concepto de dividendos el 3% del valor de redención, de forma bimestral, esto quiere decir, que cada dos meses el emisor se compromete a pagar al dueño del bono dividendos por la cantidad del 3% del valor de redención, cantidad que se obtiene al efectuar el producto de gC. Como se puede observar, la diferencia de este tipo de bonos radica en que los dividendos se pagan p veces al año.

A continuación, se muestra de forma gráfica la forma en que operan este tipo de valores:

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T., Ed. Trillas, pag. 219.

El valor presente que es también la forma en que se calcula el precio de compra V, de este tipo de bonos, se calcula usando la siguiente ecuación:

$V = g C {}_{n (p)}A_{i} + C v_{i}^{n}$

donde la i que aparece es una tasa efectiva anual.

de dicha expresión que acabamos de mostrar, se hace el siguiente cambio de variable $K = C v_{i}^{n}$ , y sustituimos el valor de ${}_{n (p)}A_{i} = \frac{1 - v_{i}^{n}}{i^{(p)}}$

y la ecuación queda:

$V = g C (\frac{1 - v_{i}^{n}}{i^{(p)}}) + K$

$V = \frac{g C}{i^{(p)}} - \frac{g C v_{i}^{n}}{i^{(p)}} + K$

factorizando $\frac{g}{i^{(p)}}$ , y sustituyendo el valor de $K$ , nos queda:

$V = \frac{g}{i^{(p)}} (C - K) + K$

Ésta ecuación que se acaba de obtener es conocida por el nombre de ecuación de Makeham.

Para calcular la tasa de rendimiento efectiva por p-ésimo año (la llamaremos i’, utilizando la tasa de rendimiento efectiva anual, i, se calcula de la siguiente forma:

${(1 + \frac{i^{(p)}}{p})}^{p} = (1 + i)$

a dicha expresión la elevamos $\frac{1}{p}$ y la ecuación queda:

${(1 + \frac{i^{(p)}}{p})}^{p (\frac{1}{p}} = (1 + i)^{\frac{1}{p}}$

despejando $\frac{i^{(p)}}{p}$ e igualamos con i’, se obtiene:

$\frac{i^{(p)}}{p} = (1 + i)^{\frac{1}{p}} - 1 = i^{'}$

en donde p indica la cantidad de veces que se van a pagar los dividendos, suponiendo que p=6, los dividendos serán pagados de forma bimestral.

Recapitulando, la ecuación para calcular el valor presente o precio de compra V, incluyendo los aspectos que se acaban de desarrollar, nos queda:

$V = g C {}_{(n) (p)}A_{i^{'}} + C v_{i^{'}}^{(n) (p)}$

la expresión anterior también se puede denotar como:

$V = g C \frac{1 - v_{i^{'}}^{n p}}{i^{'}} + C v_{i^{'}}^{n p} .$

Reasignando a la variable $K = C v_{i^{'}}^{n p}$ , la ecuación de Makeham, cambia a la siguiente expresión:

$V = \frac{g}{i^{'}} (C - K) + K .$

Ésta expresión nos dice que el precio de compra del bono se determina calculando la suma del valor presente de los dividendos que se espera recibir, más el valor presente del valor de redención.

Cabe señalar, que la valuación de un valor de renta fija se puede hacer en el momento en el que se emite, y también puede hacerse en cualquier momento de su duración. El precio del valor dependerá del tiempo que haya transcurrido, así como el comportamiento que exista en ése momento en el mercado de valores, situación que repercute directamente en el cambio de las tasas de rendimiento estimadas por el inversionista.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. En una fábrica de zapatos, la empresa quiere modernizarla, para ello considera un gasto de 35 millones de pesos, y quiere emitir 30 mil bonos, con un valor nominal de $500 pesos cada uno, ofertando una cantidad del 115% a los inversionistas del valor nominal, al término de 4 años. Hacer la valuación de dichos bonos, considerando un rendimiento esperado del 3.4% anual y observar cuánto incrementa el financiamiento, si se coloca toda la emisión.

Solución

Más adelante…

Con este tema se da por concluido el material de este curso. en las siguientes entradas se mostrará un compendio de fórmulas y conceptos que servirán como material de consulta rápida, dirigido a aquellos alumnos que sólo desean algún recordatorio rápido.

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Matemáticas Financieras: Bonos redimibles con pago de dividendos

Por Erick de la Rosa

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Introducción

En ésta sección se continuarán presentando algunas opciones de valores, que se utilizan con el mismo objetivo, obtener financiamiento, con la finalidad de conocer cuáles son la forma en que operan, las características que tienen, la forma en que se valúan, entre otros aspectos.

Descripción

Un bono redimible con pagos de dividendos, es un tipo de valor, el cual se caracteriza por pagar al inversionista, dividendos en cada periodo durante la duración de dicha operación, además de aportar una determinada cantidad cuando la duración de dicho valor culmine.

Los elementos que se manejan al operar con éste tipo de valor, son los siguientes:

En su carátula se escribe el valor nominal del bono, también es conocido como valor de carátula y será representado por la letra P. Sin embargo, el valor nominal del bono, no representa necesariamente su valor monetario, sólo es una representación en unidades, que simboliza la participación de dicho bono en relación a la cantidad total emitida de dicho valor. Si, por ejemplo, se otorga un préstamo por la cantidad de $10 mil pesos, con valor nominal de $10 pesos cada bono, en tal situación se tienen una cantidad de mil bonos con ése valor nominal. Reiterando lo que se hace mención que no necesariamente representa su valor nominal, sino que solamente representa una milésima parte del préstamo. Éste tipo de comportamiento se asemeja al comportamiento que adoptan las acciones (son valores de renta variable) en una empresa cuando éstas representan el capital social que tiene, es decir, cada acción es una representación de una parte de dicho capital.
El valor nominal de un bono no representa su valor teórico (éste comportamiento aplica también a las acciones de una empresa), «sólo es una forma de representar una proporción con respecto al préstamo total» Cánovas T. 2004.
En cada bono queda acordado las cláusulas con las cuales serán pagados a los inversionistas mediante una tasa de dividendos, donde quedará asentada la periodicidad con la que se harán los pagos.
El valor nominal de los bonos queda determinado por los dividendos futuros, y es a través de éstos que se calculará el valor presente o también conocido como valor de compra del bono. En el momento de hacer la compra, el inversionista, es cuando se calcula con una tasa de rendimiento estimada.
El valor de redención, es la cantidad que se pagará cuando se termine la vigencia de éste valor. Si dicha cantidad es igual a la cantidad de compra, bajo esa condición se dice que el bono se vende a la par. Si el precio de compra es mayor, a la cantidad nominal, entonces se dice que el bono se vende arriba de par, y si es a la inversa, entonces se dice que se vende abajo de par.
«El valor de redención, queda determinado como un porcentaje del valor nominal». De esta forma, el emisor puede pactar que el valor de redención sea de 105% del valor nominal. Cánovas T. 2004.
Los dividendos que se pagan cada periodo quedan establecidos a través de una tasa conocida como tasa de dividendos, la cual se usa en el valor de redención. No se aplica en el valor de la carátula o valor nominal, porque sólo es una referencia que representa el porcentaje respecto al total emitido.
La tasa de dividendos, se obtiene en tanto por ciento, que tiene periodicidad con la que se deberán pagar los dividendos durante la duración de la operación. Ésta tasa de dividendos, puede ser, por ejemplo, del 7% trimestral.
De esta forma, si se le asigna la variable C para representar el valor de redención y la variable g a la tasa de dividendos (pagado por periodo mes, año, bimestre, etc.), se puede representar su comportamiento gráficamente por medio de la siguiente imagen:

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, Pag. 214

La variable con la se representará el valor presente del bono será V, mientras que la cantidad de por concepto de dividendo que se pagará se obtiene haciendo el producto de gC.

Suponiendo que la tasa de dividendos sea del 3% bimestral, y el valor de redención sea de $110, con ésta el monto del dividendo se obtiene

$(0.03) (100) = $ 3$

dicha cantidad es la que se tendrá que pagar cada bimestre. Es importante señalar que el pago de dividendos, se hace de forma vencida y que la empresa, institución o inversionista que emita este tipo de bonos, es quien determina los pagos de dividendos así como el valor de redención, el cual se obtiene basándose en las utilidades futuras que se espera obtener, y en los flujos de efectivo que haya, que se tengan como resultado de la emisión y venta de dichos valores.

Por ejemplo, una empresa desea financiar un proyecto de una ampliación de sus instalaciones, para lograrlo busca un financiamiento, y solicita un préstamo por la cantidad de $10 mil pesos, por lo cual emite 100 bonos, con un costo nominal de $100 pesos cada uno. Consideran pagarlo en 25 meses y un pago de redención de $110 al final del plazo, y dividendos anuales en efectivo de 18% (tasa de dividendo, g). del valor de redención, esto quiere decir que la cantidad que se pagará por este concepto es de $$ 19.80$ , por cada bono.

En el mismo ejemplo, si una empresa estuviera interesada en adquirir éstos valores (o éstos bonos), se pagaría por ellos la cantidad de:

$(4) (110) + 110 = $ 189.2$

dinero que podría ser el pago para adquirir un bono. Bajo éste supuesto calculado al día de hoy, se muestra que bajo esas condiciones al comprador no le conviene hacer dicha compra, ya que para recuperar su dinero tendría que esperar 25 meses, sin ninguna otra recompensa o pago, por lo que le convendría mejor invertir en otra opción que le produjera mejores intereses.

Esto nos lleva a presentar la forma adecuada con la que se debe calcular el valor de compra de un bono, el cual consiste en traer a valor presente, a la fecha en que se realiza la compra, cada uno de los flujos de efectivo que representan el pago de los dividendos y por el pago final que es el valor de redención que realizará el emisor.

Para llevar a cabo el cálculo del valor presente, es necesario que para los dividendos como para el pago final, se fije una tasa de interés, misma que se pacta con la empresa (inversionista, institución), que realiza la compra, considerando aspectos de riesgo que represente la inversión, y que contempla además, las condiciones que tenga el mercado así como otras variables que estarán incluidas en la varia i, y que será denominada o conocida como tasa de rendimiento para diferenciarla de la tasa de interés. Una representa el interés que gana el inversionista y otra representa la cantidad que se espera ganar por hacer la compra.

«La tasa de rendimiento esperada se debe de tomar en cuenta para calcular el valor presente, tanto de los dividendos como del valor de redención del bono, para que con esto se pueda calcular el valor de compra. Con esto se garantiza que el inversionista obtenga su rendimiento deseado». (Cánovas T. 2003)

Vale la pena recordar que en el momento que se revisó el tema de anualidades, en el subtema que hacía referencia a la variación de tasas de interés en el valor presente de la anualidad. Si la tasa de interés aumenta, el valor presente disminuirá y viceversa, manteniendo una relación inversa. Este comportamiento ocurre debido a que los valores presentes se calculan con $v_{i}^{t}$ , función que es inversa a la de acumulación $(1 + i)^{t}$ .

Bajo este contexto, si el inversionista planea un alto rendimiento en la inversión, pagará una menor cantidad por el bono. Sin embargo, si los deseos del inversionista es manejar tasas altas de rendimiento, entonces el vendedor recibirá menor cantidad de dinero por la colocación de sus bonos. Una situación semejante ocurre, si los compradores observan que los intereses bajan en el mercado, esto trae como consecuencia que se reduzca la tasa de rendimiento y que se pague una cantidad mayor por el bono que beneficiará más a favor emisor.

La tasa de rendimiento, para fines prácticos, debe ser utilizada efectiva por periodo manejando la misma periodicidad con la que se maneja al pago de los dividendos, por ejemplo, si los dividendos se pagan de forma semestral, la i, debe ser igual semestral.

Cabe hacer mención, que, si se llegase a dar el caso en el que el valor presente del bono, o precio de compra calculado con la tasa de rendimiento propuesta por el inversionista, resulta muy baja para el emisor, éste puede decidir que la venta no se realice; ya que como se había hecho mención, la idea principal de emitir bonos, es obtener una forma de financiamiento y el emisor tiene el derecho de aceptar pagar o no el costo que represente.

Retomando el ejemplo que se venía manejando, y la tasa de rendimiento que espera el inversionista tener sea del 16%, entonces el valor de compra del bono se podría calcular de tal como se muestra en la siguiente imagen:

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 215

La cantidad aritmética que se obtiene de la suma de cada flujo de efectivo es de $149.6 ya considerado en ella el valor de redención, en contraste con la cantidad obtenida que representa el valor de compra.

Bajo el procedimiento que se acaba de mostrar en la imagen anterior, es la forma en la que se puede determinar la ecuación general para poder valuar bonos redimibles con pago de dividendos. Cuando se haga la valuación en la fecha en la que se tiene considerado hacer la compra, en tal supuesto el valor que se obtendrá es el valor de compra del bono.

A continuación, se procederá a construir el modelo general para valuar bonos redimibles con pago de dividendos.

Partiendo del ejemplo de la imagen expuesta hace unos momentos, se tiene que el valor presente de los dividendos, así como el valor de redención con su respectiva tasa de interés, y haciendo uso de las variables g (tasa de dividendos), C (valor de redención sobre el que se calculan los dividendos), está representado por la siguiente ecuación:

$V = g C v_{i}^{1} + g C v_{i}^{2} + g C v_{i}^{3} + \dots + g C v_{i}^{n - 1} + g C v_{i}^{n} + C v^{n}$

De dicha expresión se factoriza gC en los n primeros términos, para obtener:

$V = g C (v_{i}^{1} + v_{i}^{2} + v_{i}^{3} + \dots + v_{i}^{n - 1} + v_{i}^{n}) + C v_{i}^{n}$

$V = g C {}_{n}A_{i} + C v_{i}^{n}$

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Una empresa de bienes raíces quiere financiar un proyecto de creación de una unidad habitacional, para lograrlo requiere la cantidad de 150 millones de pesos; y planea pagar dicha cantidad en 8 años. Para obtener dicha cantidad emite 5 millones de bonos los cuales serán pagados a los inversionistas con una cantidad del 53.5% del valor nominal, cantidad que se entregará al final junto con el pago de dividendos anuales equivalente al valor de redención del 6.4% y la tasa de rendimiento que se espera obtener es del 17%

Solución

Para resolver este ejercicio, es necesario mostrar que, la cantidad emitida de bonos fueron 5 millones, los cuales tienen el objetivo de poder financiar el proyecto de la construcción de la unidad habitacional, el cual considera un costo de 150 millones, de tal forma que el valor nominal de cada bono será:

$\frac{150 m i l l o n e s}{5 m i l l o n e s} = 30$

Por otra parte, el emisor se comprometió a pagar el 53.5% a los inversionistas, entonces tendrá que pagar la cantidad de:

$(30) (0.535) = 16.05$

Al final de la vigencia de dichos bonos, esto es después de 8 años.

Tomando en cuenta que los dividendos se pagan al final de cada año, y que de acuerdo con el emisor serán pagados con una tasa del 6.4% del valor de redención, entonces la cantidad que recibirán las personas que adquieran por cada bono al final de cada año, y durante la vigencia de ésto, es de:

$(16.05) (0.064) = 1.0272$

La forma gráfica del comportamiento de ésta operación se muestra a continuación:

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag, 217.

Más adelante…

Se continuarán abordando otros tipos de bonos, en donde se dará seguimiento a las aplicaciones prácticas de todas las herramientas que se han estado desarrollando.

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