$\textbf{Definición}$Una sucesión en $\mathbb{R}^{n}$ es cualquier lista infinita de vectores en $\mathbb{R}^{n}$ $\overline{x_{1}},\overline{x_{2}},…,\overline{x_{k}},…$ algunos de los cuales o todos ellos pueden coincidir entre si. Dada una sucesión $\overline{x_{1}},\overline{x_{2}},…,\overline{x_{k}},…$ se define de manera natural una función de los enteros positivos $\mathbb{N}$ en $\mathbb{R}^{n}$ tal que a cada entero positivo $k$ se le asigna un vector $\overline{x_{k}}\in \mathbb{R}^{n}$
A la colección ordenada de los elementos de una sucesión la denotaremos

$$\left\{ \overline{x}_{k}\right\} _{k=1}^{\infty },\left\{\overline{x}_{k}\right\}$$

$\textbf{Ejemplos}$ Considerando el espacio $\mathbb{R}^{2}$ sea la sucesión $\left\{\overline{x_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}$ dada por $\overline{x_{k}}=\left(k,\frac{1}{k}\right)$ cuyos elementos podemos listar como sigue:

$$\left\{(1,1),\left(2,\frac{1}{2}\right),\left(3,\frac{1}{3}\right),…\right\}$$

Considerando la sucesión $\left\{\overline{x_{k}}\right\}\in \mathbb{R}^{n}$. Cada vector $\overline{x_{k}}\in \left\{\overline{x_{k}}\right\}$ esta dado de la siguiente manera:

$$\overline{x_{k}}=\left(x_{1,k},x_{2,k},…,x_{n,k}\right)$$

Es decir, dicho vector define de manera natural $n$ sucesiones $\left\{\overline{x}\right\}$ en $\mathbb{R}$ , las cuales, llamaremos sucesiones componentes o sucesiones proyección, así, la primera sucesión componente del ejemplo anterior es: $\left\{x_{1,k}\right\}=k$ y la segunda sucesión proyección del ejemplo anterior es $\left\{x_{2,k}\right\}=\frac{1}{k}$

$\textbf{Ejemplo}$ Sea la sucesión $\left\{\overline{x_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}$ dada por $\overline{x_{k}}=\left(\frac{k+1}{k+2},\frac{1}{2^{k}}\right)$ cuyas sucesiones componentes son:

$$\overline{x_{1_{k}}}=\left(\frac{k+1}{k+2}\right)\quad \overline{x_{2_{k}}}=\left(\frac{1}{2^{k}}\right)$$

$\textbf{Ejemplo}$ Sea la sucesión $\left\{\overline{x_{k}}\right\}_{1}^{\infty}$ dada por $\overline{x_{k}}=\left(\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k},\sqrt[k]{k},\sqrt[k]{\frac{1}{k}}\right)$ cuyas sucesiones componentes son:

$$\overline{x_{1_{k}}}=\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}\quad \overline{x_{2_{k}}}=\sqrt[k]{k}\quad \overline{x_{3_{k}}}=\sqrt[k]{\frac{1}{k}}$$

$\textcolor{Red}{\textbf{Convergencia de Sucesiones en $\mathbb{R}^{n}$}}$

$\textbf{Definición.}$ Una sucesión $\left\{\overline{x_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}$ en $\mathbb{R}^{n}$ se dice que converge a un vector $\overline{x}$ en $\mathbb{R}^{n}$ si $$\forall\quad \epsilon>0\quad \exists\quad N_{0}\in\mathbb{N}\quad tal\quad que \quad |\overline{x_{k}}-\overline{x}|<\epsilon\quad \forall k>N_{0}$$
En este caso diremos que la sucesión es convergente y que $\overline{x}$ es el limite de la sucesión y escribimos $$\lim_{k\rightarrow\infty}\overline{x_{k}}=\overline{x}$$

$\textbf{Proposición.}$ Unicidad del Limite: Consideremos una sucesión $\left\{\overline{x_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}$ en $\mathbb{R}^{n}$ y sean $\overline{x},\overline{y}\in \mathbb{R}^{n}$ tal que $$\overline{x}=\lim_{k\rightarrow\infty}\overline{x_{k}}\quad y \quad \overline{y}=\lim_{k\rightarrow\infty}\overline{x_{k}}$$ entonces $\overline{x}=\overline{y}$

$\small{Demostración}$ Supongamos que $\overline{x}\neq\overline{y}$ y tomemos $\epsilon=\frac{1}{2}|\overline{x}-\overline{y}|>0$.Por definición $\overline{x}=\lim_{k\rightarrow\infty}\overline{x_{k}}$ por lo que $\exists N_{0_{x}} \in \mathbb{N}$ tal que $|\overline{x_{k}}-\overline{x}|<\epsilon$ para $k>N_{0_{x}}$ y analogamente se tiene que $\overline{y}=\lim_{k\rightarrow\infty}\overline{x_{k}}$ por lo que $\exists N_{0_{y}} \in \mathbb{N}$ tal que $|\overline{x_{k}}-\overline{y}|<\epsilon$ para $k>N_{0_{y}}$. Sea ahora $N_{0}=m\acute{a}x\left\{N_{0_{x}},N_{0_{y}}\right\}$ entonces se cumple simultaneamente que $|\overline{x_{k}}-\overline{x}|<\epsilon$ y $|\overline{x_{k}}-\overline{y}|<\epsilon$ para $k>N_{0}$ $\therefore$ $$|\overline{x}-\overline{y}|=|\overline{x}-\overline{x_{k}}+\overline{x_{k}}-\overline{y}|\leq |\overline{x}-\overline{x_{k}}|+|\overline{x_{k}}-\overline{y}|<2\epsilon=2\left(\frac{1}{2}|\overline{x}-\overline{y}|\right)=|\overline{x}-\overline{y}|(falso)$$ $\square$

$\textbf{Proposición.}$ Sea $\left\{\overline{x_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}$ una sucesión en $\mathbb{R}^{n}$ y sean $${\overline{x_{1_{k}}}}_{1}^{\infty}=(x_{1_{1}},x_{1_{2}},…)$$ $${\overline{x_{2_{k}}}}_{1}^{\infty}=(x_{2_{1}},x_{2_{2}},…)$$ $$\vdots$$ $${\overline{x_{n_{k}}}}_{1}^{\infty}=(x_{n_{1}},x_{n_{2}},…)$$ las sucesiones componentes de la sucesión ${\overline{x_{k}}}_{1}^{\infty}$. Entonces la sucesión ${\overline{x_{k}}}_{1}^{\infty}$ converge a $\overline{x}=(x_{1},x_{2},…)$ en $\mathbb{R}^{n}$ si y solo si para cada $j=1,2,…$ se tiene que $x_{n_{j}}$ converge a $x_{j}$.

$\small{Demostración.}$ Supóngase que la sucesión $\left\{\overline{x_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}$ converge a $\overline{x}=(x_{1},x_{2},…)$ esto quiere decir que $\exists N_{0}\in \mathbb{N}$ tal que $|\overline{x_{k}}-\overline{x}|<\epsilon$ para $k>N_{0}$ y dado que $$0\leq|x_{j_{k}}-x_{j}|\leq|\overline{x_{k}}-\overline{x}|<\epsilon$$ entonces se tiene que $$0\leq|x_{j_{k}}-x_{j}|<\epsilon$$ lo que significa que $$\lim_{k\rightarrow\infty}x_{j_{k}}=x_{j}$$
Reciprocamente, supongamos que para cada j $$\lim_{k\rightarrow\infty}x_{j_{k}}=x_{j}$$ lo que significa que
$$|x_{j_{k}}-x_{j}|<\frac{\epsilon}{n}$$
$$\therefore\quad 0\leq|\overline{x_{k}}-\overline{x}|\leq |x_{1_{k}}-x_{1}|+|x_{2_{k}}-x_{2}|+…+|x_{n_{k}}-x_{n}|<\frac{\epsilon}{n}+\frac{\epsilon}{n}+…+\frac{\epsilon}{n}=\epsilon$$
$$\therefore \quad \lim_{k\rightarrow\infty}\overline{x_{j_{k}}}=\overline{x}$$

$\square$

$\textbf{Ejemplo.}$

Consideremos la sucesión $\overline{x_{k}}=\left(\frac{1}{k},\frac{k}{k+1}\right)$ tenemos que $$\lim_{k\rightarrow\infty}\overline{x_{1_{k}}}=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}=0$$ $$\lim_{k\rightarrow\infty}\overline{x_{2_{k}}}=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{k}{k+1}= \lim_{k\rightarrow\infty}\frac{\frac{k}{k}}{\frac{k}{k}+\frac{1}{k}}=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{k}}=1$$
$\therefore$ $\lim_{k\rightarrow\infty}\overline{x_{k}}=(0,1)=\overline{x}$

Ahora para comprobarlo tenemos que $$\left\|\overline{x_{k}}-\overline{x}\right\|=\left\|\left(\frac{1}{k},\frac{k}{k+1}\right)-(0,1)\right\|=\sqrt{\frac{1}{k^{2}}+\left(\frac{k}{k+1}-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}}}<\sqrt{\frac{2}{k^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{k}$$ $$\therefore\quad \frac{\sqrt{2}}{k}<\epsilon\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{\epsilon}N_{0}\therefore \quad \left|\left(\frac{1}{k},\frac{k}{k+1}\right)-(0,1)\right|<\epsilon$$

$\textbf{Definición.}$ Deciimos que $A\subset \mathbb{R}^{n}$ es un conjunto acotado si y solo si $\exists M>0$ tal que $\forall \overline{a}\in A$ se cumple $|\overline{a}|\leq M$

$\textbf{Proposición.}$ Sea $\left\{\overline{x}_{k}\right\}\subset \mathbb{R}^{n}$, si $\left\{\overline{x}_{k}\right\}$ converge, entonces $\left\{\overline{x}_{k}\right\}$ es acotada.

Si $\left\{\overline{x}_{k}\right\}$ converge entonces $\lim_{k\rightarrow \infty}\overline{x}_{k}=\overline{x}\Rightarrow \lim_{k\rightarrow \infty}x_{k,j}=x_{j} \forall j=1,…,n$ por lo tanto se tiene que $\left\{x_{k,j}\right\}$ es acotada y por tanto $\exists M_{j}>0$ tal que $|x_{k,j}|\leq M_{j}$ $\forall k$ $\therefore$ se tiene que $$\left\|\overline{x_{k}}\right\|\leq|x_{1,k}|+|x_{2,k}|+\cdot\cdot\cdot+|x_{n,k}|\leq n\cdot \max\left\{x_{k,j}\right\}=n \cdot M_{j}=M$$ $\therefore \left\{\overline{x}_{k}\right\}$ es acotada.

$\square$

$\textbf{Teorema}$ Un subconjunto $A\subset \mathbb{R}^{n}$ es cerrado si y solo si contiene a todos sus puntos de acumulación.

$\small{Demostración.}$ ( $\Rightarrow$ ) Suponemos que A es cerrado. Sea $\overline{x}$ un punto de acumulación de A y suponemos que $\overline{x}\notin A$. Como $A^{c}$ es abierto y $\overline{x}\in A^{c}$ existe $r>0$ tal que $B(\overline{x},r)\subset A^{c}$ $\therefore$ $B(\overline{x},r)\cap A=\emptyset$ $\nabla$ pues $\overline{x}$ es punto de acumulaión de A.

( $\Leftarrow$ ) Supongamos que A contiene a todos sus puntos de acumulación. Sea $U=A^{c}$ queremos probar que $U$ es abierto. Sea $\overline{x}\in U$ como $\overline{x}$ no es de acumulación $\exists r>0$ tal que $B(\overline{x},r)\cap A=\emptyset$ $\therefore$ $B(\overline{x},r)\subset A^{c}$ $\therefore$ $A^{c}$ es abierto. $\square$

$\textbf{Teorema.}$ Sea $A\subset \mathbb{R}^{n}$ y $\overline{x}\in \mathbb{R}^{n}$. Entonces, $\overline{x}$ es un punto de acumulación de $A$ si y solo si $\exists\left\{\overline{x}_{k}\right\}\in A$ con $\overline{x_{k}}\neq \overline{x}$ $\forall k$ tal que $\overline{x}_{k}\rightarrow \overline{x}$$

$\small{Demostración.}$ Suponemos que $\overline{x}$ es punto de acumulación de $A$ entonces para cada $k \in \mathbb{N}$ $\exists$ $\overline{x_{k}}\in A\cap B(\overline{x},\frac{1}{k})$ con $\overline{x_{k}}\neq \overline{x}$ $\therefore$ $\overline{x_{k}}\rightarrow \overline{x}$
$\textcolor{Red}{\Leftarrow}$ Sea $B(\overline{x},r)$ como $\overline{x_{k}}\rightarrow \overline{x}$ $\exists k_{0}\in\mathbb{N}$ tal que $\overline{x_{k}}\in B(\overline{x},r)$ $\forall k>k_{0}$ $\therefore$ $\exists$ $\overline{x_{k}}\in A\cap B(\overline{x},r)$ $\therefore$ $\overline{x}$ es punto de acumulación. $\square$

$\textcolor{Red}{\textbf{Criterio de Convergencia de Cauchy}}$

$\textbf{Definición.-}$ Sea ${\overline{x_{k}}}$ una sucesión de puntos de $\mathbb{R}^{n}$. Se dice que ${\overline{x_{k}}}$ es una sucesión de Cauchy si dado $\epsilon>0$ $\exists N_{0}\in \mathbb{N}$ tal que $|\overline{x_{k}}-\overline{x_{l}}|<\epsilon$ $\forall k,l\geq N_{0}$

$\textbf{Teorema.-}$ Una sucesión $\overline{x_{k}}\in \mathbb{R}^{n}$ es convergente si y solo si cumple el criterio de Cauchy

$Demostración$ $\textcolor{Red}{\Rightarrow}$ Suponemos que ${\overline{x_{k}}}\rightarrow \overline{x}$ $\therefore$ $|\overline{x_{k}}-\overline{x}|<\epsilon$ $\forall k>N_{0}$. Se tiene entonces que $$|\overline{x_{k}}-\overline{x_{l}}|=|\overline{x_{k}}-\overline{x}+\overline{x}-\overline{x_{l}}|\leq |\overline{x_{k}}-\overline{x}|+|\overline{x}-\overline{x_{l}}|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ $\forall k,l>N_{0}$ $\therefore$ $\left\{\overline{x_{k}}\right\}$ es convergente. $\square$