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Variable Compleja I: Continuidad en $\mathbb{C}$

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

En esta entrada abordaremos de manera formal el concepto de continuidad en el sentido complejo. El concepto de continuidad en el ámbito matemático se remonta hace cientos de años atrás, aunque fue hasta mediados del siglo XIX cuando matemáticos como Augustin Louis Cauchy comienzan a dar una formulación precisa de dicho concepto. Desde entonces el concepto de continuidad ha sido refinado, abstraído y generalizado para muchas de las ramas de las matemáticas, en particular en el Cálculo y el Análisis.

En el caso real, solíamos asociar la idea intuitiva de que una función real continua era aquella cuya gráfica no tenía «huecos» o «saltos». Sin embargo, como hemos mencionado antes, en el caso complejo nos será imposible visualizar la gráfica de una función compleja, por lo que resulta interesante cuestionarnos sobre cómo podríamos pensar de forma intuitiva dicho concepto en el caso complejo.

Aunque tendremos definiciones similares a las del caso real, no debemos dar por hecho que el comportamiento de las funciones complejas será necesariamente el mismo que el de las funciones reales, de hecho veremos que las funciones complejas extienden ciertas propiedades de las funciones reales de dos variables continuas, pero veremos que en general las funciones complejas se comportan distinto a las funciones vectoriales de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$, pues resultan ser más restrictivas en ciertas propiedades.

Continuidad de funciones complejas

Definición 15.1. (Continuidad de una función compleja.)
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Diremos que $f$ es continua en un punto $z_0\in S$ si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces $|\,f(z)-f(z_0)\,|<\varepsilon$. Si $f$ es continua en todo punto $z_0 \in S$, entonces diremos que $f$ es continua en $S$. Si $f$ no es continua en $z_0\in S$, entonces diremos que es discontinua en $z_0$.

Ejemplo 15.1
a) Veamos que las funciones $f(z) = \operatorname{Re}(z)$ y $g(z) = \operatorname{Im}(z)$ son continuas para todo $z_0\in\mathbb{C}$.
Solución. Sea $z_0 \in \mathbb{C}$. De acuerdo con la observación 3.1 tenemos que: \begin{equation*} |\,\operatorname{Re}(z) – \operatorname{Re}(z_0)\,| \leq |\,z – z_0\,|,\end{equation*} \begin{equation*}|\,\operatorname{Im}(z) – \operatorname{Im}(z_0)\,| \leq |\,z – z_0\,|. \end{equation*} Por lo que para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta = \varepsilon >0$ tal que si $z\in\mathbb{C}$ y $|\,z – z_0\,| < \delta$, entonces:
\begin{equation*}|\,f(z) – f(z_0)\,| = |\,\operatorname{Re}(z) – \operatorname{Re}(z_0)\,| < \varepsilon, \end{equation*} \begin{equation*}|\,g(z) – g(z_0)\,| = |\,\operatorname{Im}(z) – \operatorname{Im}(z_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} De donde se sigue el resultado.

b) Veamos que la función $h(z)=|\,z\,|$ es continua para todo $z_0 \in\mathbb{C}$.
Solución. Sean $z, z_0\in\mathbb{C}$, con $z_0$ fijo. Por la proposición 3.3 sabemos que: \begin{equation*}|\,|\,z\,| – |\,z_0\,| \,| \leq |\,z – z_0\,|. \end{equation*} Entonces, para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta = \varepsilon>0$ tal que si $z\in\mathbb{C}$ y $|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} |\,h(z) – h(z_0)\,| = |\,|\,z\,| – |\,z_0\,| \,| < \varepsilon. \end{equation*} Por lo que $f$ es continua para todo $z_0\in\mathbb{C}$.

Observación 15.1.
Al igual que con el límite, podemos ver que la continuidad de una función compleja $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$, se puede garantizar a través de la continuidad de las funciones reales $u(x,y)$ y $v(x,y)$, correspondientes con la parte real y la parte imaginaria de $f$. Para ello recordemos la definición de continuidad para una función real de dos variables, vista en nuestros cursos de Cálculo.

Definición 15.2. (Continuidad de una función real de dos variables.)
Sean $U\subset\mathbb{R}^2$ y $u:U\to\mathbb{R}$ una función real de dos variables, digamos $x$ e $y$. Para $(x_0, y_0)\in U$ diremos que $u$ es contninua en $(x_0, y_0)$ si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $(x,y)\in U$ y $\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta$, entonces: \begin{equation*} |u(x,y) – u(x_0,y_0)| < \varepsilon. \end{equation*}

Proposición 15.1.
Toda función compleja es continua si y solo si su parte real y su parte imaginaria son continuas.

Demostración. Sean $S \subset \mathbb{C}$ y $f: S \to \mathbb{C}$ una función compleja arbitraria y sea $z = x+iy \in S$.

De acuerdo con la proposición 12.1 sabemos que toda función compleja $f$ puede escribirse de la forma:\begin{equation*} f(z) = u(x,y) + i v(x,y), \end{equation*} donde las funciones reales $u(x,y)$ y $v(x,y)$ son su parte real y su parte imaginaria, respectivamente.

Para $z_0 = x_0 + iy_0\in S$ fijo tenemos por la observación 3.1 que: \begin{equation*} |\,u(x,y) – u(x_0, y_0)\,| \leq |\,f(z) – f(z_0)\,| \leq |\,u(x,y) – u(x_0, y_0)\,| + |\,v(x,y) – v(x_0, y_0)\,|, \end{equation*} \begin{equation*} |\,v(x,y) – v(x_0, y_0)\,| \leq |\,f(z) – f(z_0)\,| \leq |\,u(x,y) – u(x_0, y_0)\,| + |\,v(x,y) – v(x_0, y_0)\,|, \end{equation*} por lo que considerando las definiciones 15.1, 15.2 y las desigualdades anteriores se sigue el resultado.

$\blacksquare$

Observación 15.2.
Notemos que en la definición 15.1 se tiene implícita la condición de que:

  1. existe $f(z_0)$.

De acuerdo con la proposición 9.4 de la entrada 9, sabemos que para $z_0 \in S\subset\mathbb{C}$ pueden suceder dos casos:

  • $z_0$ es un punto aislado de $S$, es decir que $z_0 \in S \setminus S’$,
  • $z_0$ es un punto de acumulación de $S$, es decir que $z_0 \in S \cap S’$.

Debe ser claro que si $z_0$ es un punto aislado, entonces existe alguna $\delta$-vecindad de $z_0$, digamos $B(z_0,\delta)$, tal que no contiene otros puntos de $S$ aparte de $z_0$, es decir para todo $z\in S$: \begin{equation*} |\,z-z_0\,|<\delta \quad \Longrightarrow \quad z=z_0, \end{equation*} por lo que $|\,f(z) – f(z_0)\,|=0<\varepsilon$. Entonces, de acuerdo con la definición 15.1, una función compleja $f$ es siempre continua en un punto aislado.

Mientras que si $z_0 \in S\cap S’$ también debe cumplirse que:

  1. existe $\lim\limits_{z \to z_0} f(z)$,
  2. y $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$.

Por lo que basta con que no se cumpla alguna de estas tres condiciones para que una función $f\in\mathcal{F}(S)$ sea discontinua en $z_0\in S\subset\mathbb{C}$.

Ejemplo 15.2.
Sea $c\in\mathbb{C}$ una constante y $n\in\mathbb{N}^+$. Consideremos a la función $f(z) = c z^n$. Veamos que $f$ es continua en $\mathbb{C}$.

Solución. De acuerdo con la observación 14.5 de la entrada anterior, para toda $n\in\mathbb{N}^+$ tenemos que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = c z_0^n. \end{equation*} Por otra parte, tenemos que $f(z_0) = cz_0^n$ para todo $n\in\mathbb{N}^+$, por lo que $f$ es una función continua en $\mathbb{C}$.

Ejemplo 15.3.
a) Verificar si la función $f(z) = z^2 – iz + 2$ es continua en $z_0 = 1 – i \in \mathbb{C}$.
Solución. De acuerdo con la observación 15.2 para ver si la función $f$ es continua en el punto $z_0 \in \mathbb{C}$ basta con ver que se cumplan las tres condiciones establecidas en dicha observación.

  1. Es claro que $f$ está definida en $z_0$, y es tal que: \begin{equation*} f(z_0) = (1-i)^2 – i(1-i) + 2 = 1 – 3i. \end{equation*}
  2. Considerando la observación 14.6 tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) &= \left(\lim_{z \to z_0} z\right)^2 – i \left( \lim_{z \to z_0} z\right) + 2\\ & = \left(1-i\right)^2 – i \left(1-i\right) + 2\\ & = 1-3i. \end{align*}
  3. Tenemos que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0). \end{equation*}

Por lo tanto $f$ es continua en $z_0 = 1-i \in \mathbb{C}$.

b) Consideremos a la siguiente función: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} z^2 & \text{si} & z \neq i, \\ 0 & si & z = i. \end{array} \right. \end{equation*} Probar que $f$ no es continua en $z_0 = i$.
Solución. Notemos que:

  1. $f$ está definida en $z_0$, y es tal que: \begin{equation*} f(z_0) = 0. \end{equation*}
  2. De acuerdo con la observación 14.6 tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) &= \left(\lim_{z \to i} z\right)^2\ & = (i)^2 = -1. \end{align*}
  3. Es claro que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = -1 \neq 0 = f(z_0). \end{equation*}

Por lo tanto, tenemos que $f$ no es continua en $z_0 = i$.

Observación 15.3.
Dado que $\mathbb{C}$ dotado con el módulo es un espacio métrico, entonces son válidas las propiedades de continuidad para espacios métricos probadas en la entrada 9, en particular establecemos la siguiente caracterización.

Proposición 15.2.
Sean $S\subset \mathbb{C}$, $z_0 \in S$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Las siguientes condiciones son equivalentes:

  1. $f$ es continua en $z_0$ de acuerdo con la definición 15.1,
  2. para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que: \begin{equation*} B(z_0,\delta) \cap S \subset f^{-1}\left[ B(f(z_0),\varepsilon)\right]. \end{equation*}
  3. $\lim\limits_{n\to\infty} f(z_n) = f(z_0)$, para toda sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1} \subset S$ que converge a $z_0$.

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Proposición 15.3.
Sean $S\subset \mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Las siguientes condiciones son equivalentes:

  1. $f$ es continua en $S$ de acuerdo con la definición 15.1,
  2. si $U\subset \mathbb{C}$ es abierto en $\mathbb{C}$, entonces $f^{-1}(U)$ es también abierto en $S$,
  3. si $F\subset \mathbb{C}$ es cerrado en $\mathbb{C}$, entonces $f^{-1}(F)$ es también cerrado en $S$.

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Proposición 15.4.
Sea $H\subset \mathbb{C}$, $g\in\mathcal{F}(H)$ una función tal que $g(H) \subset S \subset\mathbb{C}$ y sea $f\in\mathcal{F}(S)$. Supongamos que $z_0$ es un punto de acumulación de $H$, que $\lim\limits_{z \to z_0} g(z) = w_0 \in S$ y que $f$ es continua en $w_0$. Entonces $\lim\limits_{z \to z_0} f(g(z)) = f(w_0)$, es decir: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(g(z)) = f\left(\lim_{z \to z_0} g(z) \right). \end{equation*}

Demostración. Dadas las hipótesis, tenemos que dado $\varepsilon>0$ existe $\eta>0$ tal que si $w\in S$ y $|\,w – w_0\,| < \eta $ entonces: \begin{equation*} |\,f(w) – f(w_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} Más aún, tenemos que para dicha $\eta>0$ existe un $\delta>0$ tal que si $z\in H$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$ entonces: \begin{equation*} |\,g(z) – w_0\,| < \eta. \end{equation*} Por lo que considerando estas dos implicaciones se sigue que si $z\in H$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$ entonces: \begin{equation*} |\,f(g(z)) – f(w_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} Por lo tanto $\lim\limits_{z \to z_0} f(g(z)) = f(w_0)$.

$\blacksquare$

Proposición 15.5.
Sean $S\subset \mathbb{C}$ y $f,g\in\mathcal{F}(S)$ dos funciones continuas en $S$, entonces:

  1. $f \pm g$ es continua en $S$.
  2. $fg$ es continua en $S$. Si $g$ es constante, es decir si $g(z) = c\in\mathbb{C}$ para todo $z\in S$, entonces $cf$ es continua en $S$.
  3. Si $g(z) \neq 0$ para todo $z\in S$, entonces $\dfrac{f}{g}$ es continua en $S$.
  4. Si $z_0 \in S$ y $h$ es una función definida en un conjunto $U \subset f(S)$ tal que $h$ es continua en $f(z_0)$, entonces la composición $h\circ f$ es continua en $z_0$.

Demostración. Utilizando la definición 15.1 y la proposición 14.3 de la entrada anterior es fácil probar el resultado, por lo que se deja como ejercicio al lector.

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Corolario 15.1.
Los polinomios son continuos en $\mathbb{C}$. Las funciones racionales son continuas en su dominio de definición.

Demostración. Sea $p(z) = c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + \cdots + c_n z^n$, con $z\in\mathbb{C}$, un polinomio de coeficientes complejos, es decir $c_i \in\mathbb{C}$ para toda $i\in{0,1,\ldots, n}$, con $c_n\neq 0$.

Procedemos a realizar la prueba por inducción sobre $n$. Notemos que para $n=0$ se tiene que $p(z) = c_0\neq 0$ es una función constante, entonces considerando el ejemplo 14.1(c) de la entrada anterior, tenemos que: \begin{equation*} \lim_{z\to z_0} p(z) = \lim_{z\to z_0} c_0= c_0 = p(z_0), \end{equation*} por lo que en dicho caso $p(z)$ es continuo para todo $z_0\in\mathbb{C}$.

Para $n=1$, tenemos que $p(z) = c_0 + c_1 z$, por lo que considerando la proposición 15.5(1), al ser $c_0$ y $c_1 z$ funciones continuas en $\mathbb{C}$, entonces $p(z) = c_0 + c_1 z$ es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$. Supongamos que el polinomio $q(z) = c_0 + \sum_{i = 1}^{k}c_i z^i$, para algún $k\in\mathbb{N}$ fijo, es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$.

Para $n=k+1$ tenemos que: \begin{align*} p(z) & = c_0 + \sum_{i = 1}^{k+1}c_i z^i\\ & = c_0 + \sum_{i = 1}^{k}c_i z^i + c_{k+1} z^{k+1}\\ & = q(z) + c_{k+1} z^{k+1}, \end{align*} por hipótesis de inducción tenemos que $q(z)$ es un polinomio continuo y al ser $c_{k+1} z^{k+1}$ una función continua, entonces por la proposición 15.5(1), es claro que para $n=k+1$ el polinomio $p(z)$ es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$, por lo que el resultado es válido para todo $n\in\mathbb{N}$.

Por otra parte, consideremos a $f(z) = \dfrac{p(z)}{q(z)}$, la cual es una función racional definida como el cociente de dos polinomios. De acuerdo con la proposición 15.5(3), considerando que todo polinomio es continuo en $\mathbb{C}$ se sigue que $f$ es continua en todo su dominio de definición, es decir en $S =\{z\in\mathbb{C} \, : \, q(z)\neq 0\}$.

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Ejemplo 15.4.
Considera la siguiente función y determina dónde es continua. \begin{equation*} f(z) = \frac{z-i}{z^2 + 1}. \end{equation*}

Solución. Tenemos que $z^2 + 1 = 0$ si y solo si $z=i$ o $z=-i$, por lo que el dominio natural de $f$ es el conjunto $S = \mathbb{C}\setminus\{i, -i\}$. De acuerdo con el corolario 15.1, dado que $f$ es una función racional entonces $f$ es continua en $S$.

Una pregunta que podemos hacernos es ¿se puede asignar un valor a la función $f$ de tal modo que sea continua en $z=i$?

Notemos que: \begin{equation*} f(z) = \frac{z-i}{z^2 + 1} = \frac{z-i}{(z-i)(z+i)}. \end{equation*} Para $z\neq i$ tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to i} f(z) & = \lim_{z \to i} \frac{z-i}{z^2 + 1}\\ & = \lim_{z \to i} \frac{z-i}{(z-i)(z+i)}\\ & = \lim_{z \to i} \frac{1}{z+i}\\ & = \frac{1}{2i} = -\frac{i}{2}. \end{align*} Por lo que podemos definir a la función:
\begin{equation*} g(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{z-i}{z^2 + 1} & \text{si} & z \neq -i, \\ -\dfrac{i}{2} & si & z = i, \end{array} \right. \end{equation*} la cual claramente es una función continua en $z=i$, por lo que la discontinuidad de la función $f(z)$ en el punto $z=i$ pudo removerse.

Definición. 15.3. (Discontinuidad removible.)
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función discontinua en un punto $z_0\in S$. Se dice que $f(z)$ tiene una {\bf discontinuidad removible} en $z_0$ si existe el límite de $f(z)$ en dicho punto y la función no está definida en $z_0$ o tiene asignado un valor distinto al del límite, en tal caso la función $f(z)$ puede hacerse continua definiendo el valor de la función en $z_0$ como el valor del límite.

Si un punto $z_0 \in S$ no es una discontinuidad removible, diremos que es una discontinuidad irremovible.

Ejemplo 15.5.
Veamos que la función $f(z) = \dfrac{\operatorname{Re}(z)}{z}$ tiene una discontinuidad irremovible en $z=0$.

Solución. De acuerdo con el corolario 15.1, es claro que la función $f(z)$ no es continua en $z=0$. Veamos que el límite de la función $f(z)$ cuando $z$ tiende a $0$ no existe.

Sea $z=x+iy \neq 0$. Si nos aproximamos a $0$ a lo largo del eje real, es decir si $y=0$ y $z=x$, entonces: \begin{align*} \lim_{z\to 0 } f(z) & = \lim_{z\to 0 } \frac{\operatorname{Re}(z)}{z}\\ & = \lim_{x\to 0 } \frac{x}{x}\\ & = \lim_{x\to 0 } 1\\ & = 1. \end{align*} Por otra parte, si nos aproximamos a $0$ a lo largo del eje imaginario, es decir si $x=0$ y $z=iy$, entonces: \begin{align*} \lim_{z\to 0 } f(z) & = \lim_{z\to 0 } \frac{\operatorname{Re}(z)}{z}\\ & = \lim_{x\to 0 } \frac{0}{iy}\\ & = \lim_{x\to 0 } 0\\ & = 0. \end{align*} Por lo que el $\lim\limits_{z \to 0} f(z)$ no existe. Entonces la función tiene una discontinuidad irremovible en $z=0$.

Ejemplo 15.6.
Veamos que la función $f(z) =\operatorname{Arg}(z)$ tiene una discontinuidad irremovible en $z=0$. Más aún, veamos que todo $z$ en el eje real negativo es una discontinuidad irremovible y por tanto que $f$ solo es continua en el dominio $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$.

Solución. Sabemos que para $z=0$ la función argumento principal no está definida, por lo que en $z=0$ dicha función no es continua. Veamos que dicho valor es una discontinuidad irremovible mostrando que el límite en dicho punto no existe.

Sabemos que:

  1. si $z=x>0$, entonces $\operatorname{Arg}(z) = 0$,
  2. si $z=x<0$, entonces $\operatorname{Arg}(z) = \pi$.

Por lo que:

  1. para $x>0$ se tiene que $\lim\limits_{z \to 0} \operatorname{Arg}(z) = \lim\limits_{x \to 0^+} \operatorname{Arg}(z) = 0$,
  2. mientras que para $x<0$ se tiene que $\lim\limits_{z \to 0} \operatorname{Arg}(z) = \lim\limits_{x \to 0^-} \operatorname{Arg}(z) = \pi$.

Por la unicidad del límite concluimos que no existe $\lim\limits_{z \to 0} \operatorname{Arg}(z)$, por lo que $z=0$ es una discontinuidad irremovible.

Sea $z_0\in \mathbb{C}\setminus\{0\}$, tal que $z_0 = x_0 < 0$, fijo, entonces $\operatorname{Arg}(z_0) = \pi$. De acuerdo con la definición de la función $\operatorname{Arg}(z)$ dada en la entrada 13, es claro que para $z=x+iy\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, se tiene que:

  1. si $x<0$ y $y\geq0$, entonces $\operatorname{Arg}(z) = \operatorname{arc\,tan}\left( \frac{y}{x} \right) + \pi$,
  2. si $x<0$ y $y <0$, entonces $\operatorname{Arg}(z) = \operatorname{arc \,tan}\left( \frac{y}{x} \right) – \pi$.

Por lo que, si nos aproximamos a $z_0$ mediante $z = z_0 + iy$ tenemos:
\begin{align*} \lim\limits_{z \to z_0} \operatorname{Arg}(z) = \lim\limits_{y \to 0^+} \operatorname{Arg}(z) = \pi,\\ \lim\limits_{z \to z_0} \operatorname{Arg}(z) = \lim\limits_{y \to 0^-} \operatorname{Arg}(z) = -\pi. \end{align*}

Entonces la función $\operatorname{Arg}(z)$ es discontinua en $z_0 = x_0<0$ y desde que no existe $ \lim\limits_{z \to z_0} \operatorname{Arg}(z)$ tenemos que $z_0$ es una discontinuidad irremovible. Como $z_0 = x_0<0$ era arbitrario, entonces todo $z_0 \in (-\infty, 0)$ es una discontinuidad irremovible.

Procedemos a verificar que $f$ es continua en el dominio $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$.

Por la proposición 13.1, entrada 13, sabemos que para $z\neq 0$ si $z \in \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0)$ entonces: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z) = 2 \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{|\,z\,| + x}\right), \end{equation*} de donde $u(x,y) = 2 \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{|\,z\,| + x}\right)$ y $v(x,y) =0$, las cuales son funciones reales continuas, entonces de la proposición 15.1 se sigue que la función $\operatorname{Arg}(z)$ es continua en $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$.

Observación 15.4.
Debe ser claro que la función $f(z) = \operatorname{Arg}(z) = \operatorname{Arg}_{(-\pi, \pi]}(z)$ corresponde con una rama de la función multivaluada $G(z) = \operatorname{arg}(z)$ desde que $f$ es continua en $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] = \left\{ z\in\mathbb{C} : |\,z\,|>0, -\pi < \operatorname{arg} z < \pi \right\}$, dicha rama es llamada la rama principal del argumento.

Más aún, para $\alpha \in \mathbb{R}$ fijo e $I=(\alpha, \alpha+2\pi]$, tenemos por la proposición 13.3 que la función $g(z) = \operatorname{Arg}_I(z)$ está dada por: \begin{equation*} \operatorname{Arg}_I(z) = \operatorname{Arg}\left(-z\operatorname{cis}(-\alpha)\right) + \alpha + \pi, \end{equation*} por lo que podemos verificar que $g$ será continua dónde lo sea $f$.

Veamos entonces que $g$ es continua en $\mathbb{C}\setminus L_\alpha$, donde $L_\alpha = \left\{ r\operatorname{cis}(\alpha) : r \geq 0 \right\}$, figura 69.

Notemos que si $z \in L_\alpha$, entonces $z = r\operatorname{cis}(\alpha)$, con $r = |\,z\,|$ y $\alpha = \operatorname{arg} z$. Claramente $r>0$ pues en $z=0$ la función $f$ no está definida. Entonces, por la prueba de la proposición 13.3 tenemos que: \begin{equation*} -z \operatorname{cis}(-\alpha) = -r\operatorname{cis}(\alpha)\operatorname{cis}(-\alpha) = -r\operatorname{cis}(\alpha – \alpha) = -r(1) = -r, \end{equation*} de donde $-r < 0$, por lo que $-r \in (-\infty, 0)$, pero en dicho conjunto $f$ no es continua, por lo que para $z \in L_\alpha$ la función $g(z) = \operatorname{Arg}_I(z) $ no es continua.

Por otra parte, si $z \in \mathbb{C}\setminus L_\alpha$ tenemos que $z = \rho \operatorname{cis}(\theta)$, con $\rho = |\,z\,|>0$ y $\theta = \operatorname{Arg}_I(z)$, entonces: \begin{equation*} \alpha < \theta < \alpha + 2\pi \quad \Longleftrightarrow \quad -\pi < \theta – \alpha – \pi < \pi, \end{equation*} pues $\operatorname{cis}(\alpha + 2\pi) = \operatorname{cis}(\alpha) \operatorname{cis}(2\pi) = \operatorname{cis}(\alpha)$.

Tenemos que:
\begin{equation*} -z \operatorname{cis}(-\alpha) = \operatorname{cis}(-\pi) \, \rho \operatorname{cis}(\theta)\operatorname{cis}(-\alpha) = \rho \operatorname{cis}(\theta – \alpha – \pi ), \end{equation*} por lo que $ -z \operatorname{cis}(-\alpha) \in \mathbb{C}\setminus(-\infty, 0]$, donde $f$ es continua.

Entonces la función $g(z) = \operatorname{Arg}_I(z)$ solo es continua en $\mathbb{C}\setminus L_\alpha$. Por lo tanto, la función $g$ determina una rama de la función multivaluada $G(z) = \operatorname{arg}(z)$, siempre que se defina en el dominio, figura 69: \begin{equation*} D = \mathbb{C}\setminus L_\alpha = \left\{ z\in\mathbb{C} : |\,z\,|>0, \alpha < \operatorname{arg} z < \alpha + 2\pi \right\}. \end{equation*}

Figura 69: Dominio de continuidad $D$ de la rama del argumento $g(z) = \operatorname{Arg}_I(z)$.

Ejemplo 15.7.
Veamos que la función $f(z) = z^{1/2}$, correspondiente con la raíz cuadrada principal, definición 13.5, tiene una discontinuidad irremovible en $z=-1$. Más aún, veamos que todo $z$ en el eje real negativo es una discontinuidad irremovible, aún cuando esta función solo asigna una única raíz. Concluyamos que la raíz cuadrada principal es una rama, la rama principal de la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$, solo si se restringe al dominio $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$.

Solución. Sea $z =r\operatorname{cis}(\theta)\neq 0$. De acuerdo con la definición 13.5, la raíz cuadrada principal está dada por: \begin{equation*} f(z) = z^{1/2} = \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right), \end{equation*} donde $r=|\,z\,|$ y $\theta =\operatorname{Arg}(z)$.

Sea $z_0 = -1$, veamos que no existe $\lim\limits_{z\to z_0} f(z) = \lim\limits_{z\to -1} z^{1/2}$. Para ello consideremos a la circunferencia unitaria $C(0,1)$, es decir la circunferencia centrada en $z=0$ y de radio $1$, figura 70.

Figura 70: Punto $z\in C(0,1)$ que se aproxima a $z_0=-1$ por dos trayectorias distintas, dadas por la circunferencia $C(0,1)$.

Si $z \in C(0,1)$, entonces podemos aproximarnos a $z_0 = -1$ mediante la trayectoria dada por el cuarto de circunferencia en el segundo cuadrante, es decir $\pi/2 < \operatorname{Arg}(z) < \pi$, con $\operatorname{Arg}(z) \to \pi$, entonces: \begin{align*} \lim_{z\to -1} z^{1/2} & = \lim_{z\to -1} \sqrt{|\,z\,|}\operatorname{cis}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\\ & = \lim_{\operatorname{Arg}(z) \to \pi} \sqrt{1}\operatorname{cis}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\\ & = \lim_{\operatorname{Arg}(z) \to \pi} \left[ \operatorname{cos}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right) + i \operatorname{sen}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\right]\\ & = \operatorname{cos}\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)\\ & = 0 + i(1)\\ & = i. \end{align*}

Si ahora nos aproximamos a $z_0=-1$ con $z\in C(0,1)$ a través de la trayectoria dada por el cuarto de circunferencia en el tercer cuadrante, es decir $-\pi < \operatorname{Arg}(z) < -\pi/$, con $\operatorname{Arg}(z) \to -\pi$, entonces: \begin{align*} \lim_{z\to -1} z^{1/2} & = \lim_{z\to -1} \sqrt{|\,z\,|}\operatorname{cis}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\\ & = \lim_{\operatorname{Arg}(z) \to -\pi} \sqrt{1}\operatorname{cis}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\\ & = \lim_{\operatorname{Arg}(z) \to -\pi} \left[ \operatorname{cos}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right) + i \operatorname{sen}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\right]\\ & = \operatorname{cos}\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{2}\right)\\ & = 0 + i(-1)\\ & = -i. \end{align*}

Dado que estos dos límites son distintos, concluimos que $\lim\limits_{z\to -1} z^{1/2}$ no existe, por tanto $z_0 = -1$ es una discontinuidad irremovible.

De manera similar podemos probar que cualquier punto en el eje real negativo es una discontinuidad irremovible. Sin embargo, desde que la función $\operatorname{Arg}(z)$ es discontinua en $(-\infty, 0]$ y la función $f$ está dada en términos de dicha función, debe ser claro que $f$ será discontinua en el mismo conjunto.

Procedemos a verificar que $f$ es continua en el dominio $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$, es decir que bajo esa restricción obtenemos una rama de la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$, a la cual llamamos la rama principal $f_0$, es decir: \begin{equation*} f_0(z) = z^{1/2} = \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right), \end{equation*} donde $r=|\,z\,|$ y $\theta =\operatorname{Arg}(z)$ y $z \in \mathbb{C} \setminus(-\infty,0] = \left\{ w\in\mathbb{C} : |\,w\,|>0, -\pi < \operatorname{Arg}(w) <\pi \right\}$.

Sea $z = x+iy \in \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$. Por la proposición 13.1 tenemos que: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z) = 2 \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{|\,z\,| + x}\right). \end{equation*}

Entonces, para $r=|\,z\,|$ y $\theta =\operatorname{Arg}(z)$ tenemos que: \begin{align*} f_0(z) & = \sqrt{|\,z\,|} \operatorname{cis}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\\ & = \sqrt[4]{x^2+y^2} \operatorname{cis}\left(\frac{2 \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2} + x}\right)}{2}\right)\\ & = \sqrt[4]{x^2+y^2} \operatorname{cos}\left(\operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2} + x}\right)\right) + i \sqrt[4]{x^2+y^2} \operatorname{sen}\left(\operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2} + x}\right)\right)\\ & := u(x,y) + iv(x,y). \end{align*}

Como las funciones $u(x,y)$ y $v(x,y)$ son funciones reales continuas, entonces por la proposición 15.1 concluimos que la función $f_0$ es continua en $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$ y por tanto que es una rama de la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$.

Observación 15.5.
Considerando la definición 14.2 y la proposición 14.4 de la entrada anterior, notemos que podemos extender el concepto de continuidad para funciones definidas sobre el plano complejo extendido, es decir, diremos que una función $f: \mathbb{C}_\infty \to \mathbb{C}_\infty$ es continua en $\infty$ si \begin{equation*} f(\infty) = \lim_{z\to \infty} f(z) \end{equation*} y si $f(a) = \infty$, entonces $f$ es continua en $a$ si \begin{equation*} f(a) = \infty =\lim_{z\to a} f(z). \end{equation*}

Ejemplo 15.8.
Consideremos a la siguiente función:
\begin{equation*} f(z) = \frac{z+i}{z-i}. \end{equation*} Es claro que dicha función no está definida en $z=i$. Sin embargo, dado que: \begin{equation*} f(i) = \infty = \lim_{z\to i} f(z) \end{equation*} y \begin{equation*} f(\infty) = 1 = \lim_{z\to \infty} f(z), \end{equation*} entonces definiendo: \begin{equation*} g(z)= \left\{ \begin{array}{lcc}
\dfrac{z+i}{z-i} & \text{si} & z \neq i, \\ 1 & \text{si} & z = \infty, \\ \infty & \text{si} & z = i, \end{array} \right. \end{equation*} es claro que $g$ es una función continua de $\mathbb{C}_\infty$ en $\mathbb{C}_\infty$.

De acuerdo con los resultados de la entrada 10 para funciones continuas entre espacios métricos, tenemos que son válidas las siguientes afirmaciones para funciones complejas continuas.

Proposición 15.6. (Funciones continuas sobre conjuntos conexos y compactos.)
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función continua en $S$.

  1. Si $S$ es un conjunto conexo, entonces $f(S)$ es también conexo.
  2. Si $S$ es un conjunto compacto, entonces $f(S)$ es también compacto.

$\blacksquare$

Cerraremos esta entrada con el siguiente concepto.

Definición 15.4. (Continuidad uniforme.)
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Diremos que $f$ es uniformemente continua en $S$, si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ (que depende solo de $\varepsilon$) tal que si $z, w \in S$ y $|\,z-w\,|<\delta$ entonces $|\,f(z) – f(w)\,|<\varepsilon$.

Ejemplo 15.9.
Sea $f(z) = \overline{z}$ definida en $\mathbb{C}$. Veamos que $f$ es uniformemente continua en $\mathbb{C}$.

Solución. Para $z,w\in\mathbb{C}$ tenemos que: \begin{equation*} |\,f(z) – f(w)\,| = |\,\overline{z} – \overline{w}\,| = |\,\overline{\overline{z} – \overline{w}}\,| = |\,z-w\,| < \varepsilon, \end{equation*} por lo que tomando $\delta=\varepsilon>0$ se cumple la definición.

Observación 15.6.
De acuerdo con la definición 15.4, notamos que el concepto de continuidad uniforme es más restrictivo que el de continuidad de una función, por lo que la continuidad uniforme estará sujeta al conjunto $S$ en el que la función esté definida, para ver esto consideremos el siguiente:

Ejemplo 15.10.
a) Sea $f(z) = z^2$ definida en $S = B(0,1)$. Veamos que $f$ es uniformemente continua en $S$.

Solución. Notemos que para $z,w\in S$ se tiene que $|\,z\,|<1$ y $|\,w\,|<1$. Entonces: \begin{align*} |\,f(z) – f(w)\,| & = |\,z^2 – w^2\,|\\ & = |\,z – w\,| |\,z + w\,|\\ & < \left( |\,z\,| + |\,w\,|\right) \delta\\ & < 2\delta <\varepsilon, \end{align*} por lo que basta con tomar $\delta = \frac{\varepsilon}{2}>0$ para que se cumpla la definición.

b) Sea $f(z) = z^2$ definida en $\mathbb{C}$. Veamos que $f$ no es uniformemente continua en $\mathbb{C}$.

Solución. Sea $\varepsilon=1$, entonces dado $\delta>0$, por la propiedad arquimediana existe $n\in\mathbb{N}^+$ tal que $n\delta >1$. Sean $z = n$ y $w=n+\frac{\delta}{2}$, entonces se tiene que $|\,z-w\,|=\frac{\delta}{2} < \delta$, pero:
\begin{align*} |\,f(z) – f(w)\,| & = |\,z^2 – w^2\,|\\ & = n^2 + n\delta +\frac{\delta^2}{4} – n^2\\ & = n\delta +\frac{\delta^2}{4} > n\delta > 1 = \varepsilon, \end{align*} por lo que $f$ no es uniformemente continua en $\mathbb{C}$.

Proposición 15.7.
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes.

  1. $f$ es uniformemente continua en $S$,
  2. $\operatorname{Re} f$ e $\operatorname{Im} f$ son uniformemente continuas en $S$,
  3. para cualesquiera sucesiones $\{z_n\}_{n\geq 1}$ y $\{w_n\}_{n\geq 1}$ en $S$ tales que $\lim\limits_{n\to\infty} |\,z_n – w_n\,| = 0$, se cumple que $\lim\limits_{n\to\infty} |\,f(z_n) – f(w_n)\,| = 0$.

Dadas las hipótesis, tenemos que:
$1. \Leftrightarrow 2.$ Su prueba es análoga a la de la proposición 15.1, por lo que se deja como ejercicio al lector.

$1. \Rightarrow 3. $
Sean $\{z_n\}_{n\geq 1}$ y $\{w_n\}_{n\geq 1}$ dos sucesiones en $S$ tales que $\lim\limits_{n\to\infty} |\,z_n – w_n\,| = 0$ y supongamos que $f$ es uniformemente continua en $S$.

Sea $\varepsilon>0$, entonces existe $\delta>0$ tal que si $z,w\in S$ y $|\,z-w\,|<\delta$, entonces $|\,f(z) – f(w)\,|<\varepsilon$. Como $\lim\limits_{n\to\infty} |\,z_n – w_n\,| = 0$, entonces para el $\delta>0$ se tiene que existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*} |\,|\,z_n – w_n\,| – 0 \,| = |\,z_n – w_n\,| < \delta, \quad \forall n\geq N, \end{equation*} por lo que para toda $n\geq N$ se cumple que: \begin{equation*} |\,|\,f(z_n) – f(w_n)\,| – 0 \,| = |\,f(z_n) – f(w_n)\,| < \varepsilon, \end{equation*} es decir que $\lim\limits_{n\to\infty} |\,f(z_n) – f(w_n)\,| = 0$.

$3. \Rightarrow 1.$
Sean $\{z_n\}_{n\geq 1}$ y $\{w_n\}_{n\geq 1}$ dos sucesiones en $S$ tales que si $\lim\limits_{n\to\infty} |\,z_n – w_n\,| = 0$, entonces $\lim\limits_{n\to\infty} |\,f(z_n) – f(w_n)\,| = 0$.

Por reducción al absurdo, supongamos que $f$ no es uniformemente continua en $S$, entonces existe $\varepsilon>0$ tal que para todo $\delta>0$ existen $z,w\in S$ tales que $|\,z-w\,|<\delta$ y $|\,f(z) – f(w)\,|\geq \varepsilon$.

Tenemos que para todo $n\in\mathbb{N}^+$ se tiene que $z_n, w_n \in S$ y $\frac{1}{n}>0$, por lo que: \begin{equation*} |\,z_n – w_n\,|<\frac{1}{n} \quad \text{y} \quad |\,f(z_n) – f(w_n)\,|\geq \varepsilon, \end{equation*} lo cual contradice nuestra hipótesis, por lo que $f$ es uniformemente convergente.

Tarea moral

  1. Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Prueba que $f$ es continua en $z_0 \in S$ si y solo si $\overline{f}$ es continua en $z_0 \in S$.
  2. Sea $S = [a,b] = \{ x\in\mathbb{R} \, : \, a\leq x \leq b\}$. Considera a $S\subset \mathbb{C}$ y sea $f: S \to \mathbb{C}$ una función compleja de variable real. Tomando $z=x+i0$ podemos escribir $f(z) = u(x) + i v(x)$. Prueba que $f$ es continua si y solo si $u$ y $v$ son continuas.
  3. Analiza la continuidad de la función: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{z^3 – 1}{z-1} & \text{si} & |\,z\,| \neq 1, \\ 3 & \text{si} & |\,z\,| = 1, \end{array} \right. \end{equation*} en los puntos $z_0 = 1$, $z_1 = -1$, $z_2 = i$ y $z_3 = -i$.
  4. Analiza la continuidad de las siguientes funciones y determina el valor de $f(z)$ en el punto $z_0$ de tal forma que la función sea continua en dicho punto.
    a) $f(z) = \dfrac{z^3 – z_0}{z – z_0}$.
    b) $f(z) = \left(\dfrac{1}{z – z_0}\right)\left( \dfrac{1}{z} – \dfrac{1}{z_0}\right)$.
    c) $f(z) = \dfrac{\operatorname{Re}(z) \operatorname{Im}(z)}{|\,z\,|^2}$.
    d) $f(z) = \dfrac{\left(\operatorname{Re}(z)\right)^2 – \left(\operatorname{Im}(z)\right)^2}{|\,z\,|^2}$.
  5. Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Prueba que si $f$ es continua en $z_0 \in S$, entonces $|\,f\,|$ es continua en $z_0 \in S$. ¿Es cierto el recíproco?
  6. Considera la siguiente función definida en $\mathbb{C}_\infty$: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{z+1}{4z+3} & \text{si} & z \neq \frac{-3}{4}, \\ \infty & \text{si} & z = \frac{-3}{4}. \end{array} \right. \end{equation*} Analiza la continuidad de $f$ en $z = -\frac{3}{4}$.
  7. Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Prueba que si $f$ es uniformemente continua en $S$, entonces $f$ es continua en $S$. ¿Es cierto el recíproco?
  8. Sea $f(z)=\dfrac{1}{z^2}$, prueba que:
    a) $f$ es uniformemente continua en $S = \left\{z\in\mathbb{C} : \frac{1}{2} \leq |\,z\,| \leq 1\right\}$,
    b) $f$ no es uniformemente continua en $S = \{z\in\mathbb{C} : |\,z\,| \leq 1\}$.

Más adelante…

En esta entrada hemos abordado de manera formal el concepto de continuidad y continuidad uniforme para funciones complejas. Caracterizamos la continuidad (y la continuidad uniforme) de las funciones complejas a través de la continuidad (y la continuidad uniforme) de su parte real e imaginaria, en particular vimos que toda función compleja continua es de la forma $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$.

Aunque las definiciones que hemos dado en esta entrada son muy similares a las de las funciones reales, veremos en la siguiente entrada que al trabajar con funciones complejas algunos conceptos se vuelven más restrictivos para estas funciones, el cual es el caso de la diferenciabilidad compleja.

La siguiente entrada abordaremos la diferenciabilidad en el sentido complejo y veremos que la diferenciabilidad para $\mathbb{R}^2$, que hemos estudiado en nuestros cursos de Cálculo, no bastará para garantizar la diferenciabilidad en el sentido complejo.

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Variable Compleja I: El plano complejo extendido $\mathbb{C}_{\infty}$

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

Al estudiar matemáticas un concepto que no puede pasar desapercibido es el del infinito. Intuitivamente cuando pensamos en el infinito estamos considerando a algo que no tiene fin, algo sin límites. Aunque dicho concepto aparece en diversas ramas de las matemáticas como el cálculo, el análisis, la geometría, la teoría de conjuntos, entre otras, es claro que la idea que tenemos sobre él es equivalente entre todas estas ramas y su importancia radica en que nos permite entender y describir mejor alguna problemática puntual. Por ejemplo cuando queremos hablar sobre el comportamiento de una sucesión conforme está crece cada vez más y más hacemos uso del límite al infinito de nuestra variable, o cuando hablamos de la cardinalidad de un conjunto que tiene una cantidad de elementos numerable, intuitivamente pensamos en que dicho conjunto tiene una infinidad de elementos.

Lo anterior no es la excepción al estudiar Variable Compleja. Dado que el campo de los números complejos $\mathbb{C}$ no puede ordenarse bajo la relación de ser positivo, la idea de que un número complejo $z = a + ib$ crezca o decrezca no tiene sentido. Sin embargo podemos preguntarnos en qué sucede con su módulo $|\,z\,|$, ya que conforme crece $|\,z\,|$ de manera arbitraria tendremos que el número complejo $z$ se alejará más del origen. Entonces, al pensar en que $z \rightarrow \infty$ no tendremos que distinguir entre las direcciones de los ejes, sino simplemente recordar que estamos pensando en que el módulo $|\,z\,|$ crece sin límite a lo largo de los ejes real e imaginario, por lo que la notación $|\,z\,| \rightarrow \infty$ será lo mismo que $a^2+b^2 \rightarrow \infty$.

En su momento veremos que es necesario estudiar funciones de variable compleja para las que el módulo de la variable crezca de manera arbitraria, por lo que resulta conveniente agregar al plano complejo un punto ideal, llamado el punto al infinito, denotado por $\infty$.

Definición 11.1. (El plano complejo extendido.)
Se define al plano complejo extendido como el conjunto dotado con el punto $z_\infty=\infty$ como: \begin{equation*}
\mathbb{C}_{\infty} := \mathbb{C}\cup \{\infty\}.
\end{equation*}

Observación 11.1.
Es claro que en el plano complejo $\mathbb{C}$ no existe un lugar destinado para el punto al infinito. Sin embargo, ¿qué pasa con aquellos puntos $z\in\mathbb{C}$ tales que $|\,z\,|>\frac{1}{\varepsilon}$ para todo $\varepsilon>0$ suficientemente pequeño? El punto al infinito nos permite responder esta pregunta, ya que a los puntos con dicha propiedad los podemos pensar como un $\varepsilon$-vecindario del punto al infinito.

Primeramente debemos establecer las siguientes reglas aritméticas para poder operar con este nuevo punto del plano complejo extendido: \begin{align*}
z \pm \infty = \infty \pm z = \infty, \quad \forall z \in \mathbb{C}.\\
z \cdot \infty = \infty \cdot z = \infty, \quad \text{si}\,\,\, z \neq 0.\\
\frac{z}{0} = \infty, \quad \text{si}\,\,\, z \neq 0.\\
\frac{z}{\infty} = 0, \quad \text{si}\,\,\, z \neq \infty.\
\end{align*}

Un módelo que nos permite representar al plano complejo extendido es la esfera unitaria en $\mathbb{R}^3$, cuyo centro es el punto $(0,0,1)$, situada sobre el plano complejo $\mathbb{C}$, figura 52, es decir el conjunto: \begin{equation*}
\mathbb{S} = \{ (x,y,u) \in \mathbb{R}^3 \, : \, x^2 + y^2 + (u-1)^2 = 1 \},
\end{equation*} dotada con los puntos $N=(0,0,2)$, llamado el polo norte o el punto al infinito y $O=(0,0,0)$ llamado el polo sur o el origen. A dicho modelo se le denomina la esfera de Riemann.

Es posible identificar a $\mathbb{S}\setminus\{N\}$ con el plano complejo si consideramos a $\mathbb{C}$ como el plano: \begin{equation*}
\Pi = \{(a,b,0)\in\mathbb{R}^3 \, : \, a,b \in \mathbb{R}\}, \tag{11.1}
\end{equation*} y al punto $N$ con el punto al infinito.

Figura 52: La esfera de Riemann $\mathbb{S}$, dada por $x^2 + y^2 + (u-1)^2 = 1$, y el plano complejo $\mathbb{C}$, dado por (11.1), relacionados mediante la proyección estereográfica.

De acuerdo con la gráfica, tenemos que un número complejo $z=a+ib$ con un módulo demasiado grande se aleja del origen $(0,0,0)$ conforme el punto $P=(x_0,y_0,u_0)$ está más cerca del punto al infinito $N$.

Notemos que si trazamos una recta desde $N$ hasta el número complejo $z=a+ib$ en el plano complejo, al cual le corresponde el punto $(a,b,0)$ en $\mathbb{R}^3$, entonces existe un único punto $P=(x_0, y_0, u_0)$ en la esfera de Riemann tal que pertenece a dicha recta. Por otra parte, para un punto $P=(x_0, y_0, u_0)\in\mathbb{S}$, distinto de $N$, es posible extender el segmento de recta que une a $N$ con dicho punto $P$ hasta intersecar al plano complejo $\mathbb{C}$ en un único punto $z=a+ib$, figura 52.

Lo anterior nos deja ver que existe una relación biunívoca entre $\mathbb{S}\setminus\{N\}$ y $\mathbb{C}$, pensado como el plano (11.1), descrita a continuación.

Podemos escribir a la recta que pasa por los puntos $N=(0,0,2)$ y $P=(x_0,y_0,u_0)$ en su forma paramétrica como:
\begin{equation*}
N + (P-N)t, \quad t\in\mathbb{R}.
\tag{11.2} \end{equation*} Dado que la recta (11.2) interseca al plano $\mathbb{C}$, dado por (11.1), en el número complejo $z=a+ib$, es decir el punto $(a,b,0)$, entonces se tiene que para algún $t\in\mathbb{R}$: \begin{align*}
(a,b,0) &= N + (P-N)t\\
& = (tx_0,ty_0, 2 + t(u_0-2)).
\end{align*} De lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: \begin{align*}
a = t x_0,\tag{11.3.1} \\
b = t y_0,\tag{11.3.2} \\
2(t-1) = t u_0. \tag{11.3.3}
\end{align*} Además de (11.3.3) es claro que: \begin{equation*}
t = \frac{2}{2-u_0}. \tag{11.3.4}
\end{equation*} Sustituyendo (11.3.4) en (11.3.1) y (11.3.2) tenemos: \begin{align*}
a = \frac{2x_0}{2-u_0},\\
b = \frac{2y_0}{2-u_0}. \tag{11.4}
\end{align*}

Por otra parte, sabemos que $P=(x_0,y_0,u_0) \in \mathbb{S}$, por lo que satisface: \begin{equation*}
x_0^2 + y_0^2 + (u_0 – 1)^2 = 1.
\end{equation*}

Multiplicando ésta última expresión por $t^2$ obtenemos: \begin{align*}(tx_0)^2 + (ty_0)^2 + (tu_0 -t)^2 = t^2\\
\\
\Longrightarrow \quad (tx_0)^2 + (ty_0)^2 + (tu_0)^2 = 2t^2 u_0. \tag{11.5.1} \end{align*}

Dado que $z=a+ib\in\mathbb{C}$, sabemos que $|\,z\,|^2 = a^2 + b^2 $, por lo que sustituyendo (11.3.1), (11.3.2) y (11.3.3) en (11.5.1) tenemos:
\begin{align*}
a^2 + b^2 + 4(t-1)^2 = 4t(t-1).\\
\\
\Longrightarrow \quad t = \frac{|\,z\,|^2 + 4}{4}\tag{11.5.2}
\end{align*}

De (11.3.1), (11.3.2), (11.3.3) y (11.5.2) se sigue que: \begin{align*}
x_0 = \frac{a}{t} = \frac{4a}{|\,z\,|^2 + 4},\\
y_0 = \frac{b}{t} = \frac{4b}{|\,z\,|^2 + 4}, \tag{11.6}
\end{align*} \begin{equation*}
u_0 = \frac{2(t-1)}{t} = \frac{2\,|\,z\,|^2}{|\,z\,|^2 + 4}.
\end{equation*}

Esta forma de asociar o hacer corresponder a los putos $z$ de $\mathbb{C}$ con la esfera de Riemann $\mathbb{S}$, dotada con $N=(0,0,2)$ y $O=(0,0,0)$, se le conoce como la proyección estereográfica.

Definición 11.2. (La proyección estereográfica.)
Definimos a la proyección estereográfica como la función $\varphi:\mathbb{S} \to \mathbb{C}_{\infty}$ tal que para $P=(x,y,u)\in \mathbb{S}$: \begin{equation*}
\varphi(P) = \left\{\begin{array}{lcc}
\infty, & \text{si} & P=N=(0,0,2),\\
\\ z= a+ib, & \text{si} & P \neq N,
\end{array}
\right.
\end{equation*} donde $z=a+ib\in\mathbb{C}$ representa al punto $(a,b,0)$ de $\mathbb{R}^3$ tal que $a = \dfrac{2x}{2-u}$, $b=\dfrac{2y}{2-u}$.

Proposición 11.1.
Sea $\mathbb{S}^* = \mathbb{S}\setminus{N}$. La proyección estereográfica es un homeomorfismo entre $(\mathbb{S}^*,d_{\mathbb{R}^3})$ y $(\mathbb{C},d)$, donde $d_{\mathbb{R}^3}$ es la distancia usual de $\mathbb{R}^3$ y $d$ la métrica euclidiana en $\mathbb{C}$.

Demostración. Veamos que está función es biyectiva. Es claro que si $P,Q\in\mathbb{S}^*$, entonces para algún $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ se tiene:
\begin{align*}
\varphi(P) = \varphi(Q) \quad & \Longrightarrow \quad z_1 = z_2\\
& \Longrightarrow \quad \operatorname{Re}(z_1) = \operatorname{Re}(z_2)\\
& \quad \quad \quad \, \operatorname{Im}(z_1) =\operatorname{Im}(z_2)\\
& \quad \quad \quad \, \, \text{y} \,\, |\,z_1\,| = |\,z_2\,|. \end{align*} Por lo que $P=Q$, entonces $\varphi$ es inyectiva.

Consideremos a $z=a+ib \in\mathbb{C}$, notemos que si $P=(x_0,y_0,u_0)\in\mathbb{S}^*$, con $x_0$, $y_0$ y $u_0$ dados como en (11.6) entonces: \begin{align*}
\varphi(P) & = \varphi\left(\frac{4a}{|\,z\,|^2+4}, \frac{4b}{|\,z\,|^2+4}, \frac{2\,|\,z\,|^2}{|\,z\,|^2+4}\right)\\
& = \frac{2\left(\frac{4a}{|\,z\,|^2+4}\right)}{2-\frac{2\,|\,z\,|^2}{|\,z\,|^2+4}} + i\, \frac{2\left(\frac{4b}{|\,z\,|^2+4}\right)}{2-\frac{2\,|\,z\,|^2}{|\,z\,|^2+4}}\\
& = a + ib\\
& = z.
\end{align*} Por lo tanto, como $z\in\mathbb{C}$ era arbitrario se sigue que para todo número complejo $z$ existe un punto $P\in\mathbb{S}^*$ tal que $\varphi(P) = z$. Por lo tanto $\varphi$ es sobreyectiva.

Dado que la proyección estereográfica es una función biyectiva, entonces existe la función inversa de $\varphi$, digamos $\varphi^{-1}$, la cual es una función que va de $\mathbb{C}_\infty$ a $\mathbb{S}$ tal que para $z\in\mathbb{C}_\infty$: \begin{equation*}
\varphi^{-1}(z) = \left\{\begin{array}{lll}
N=(0,0,2), & \text{si} & z = \infty,\\
P= \left( \dfrac{4a}{|\,z\,|^2 + 4}, \dfrac{4b}{|\,z\,|^2 + 4}, \dfrac{2\,|\,z\,|^2}{|\,z\,|^2 + 4}\right), & \text{si} & z = a+ib \in\mathbb{C}.
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Considerando las ecuaciones que definen a las funciones $\varphi$ y $\varphi^{-1}$, dadas en (11.4) y en (11.6), no es difícil verificar que ambas funciones son continuas en su respectivo dominio, por lo que se deja como ejercicio.

$\blacksquare$

Observación 11.2.
Consideremos la ecuación general de un plano, es decir: \begin{equation*}
Ax+By+Cu+D=0.
\end{equation*} Si dicho plano pasa por el centro de la esfera $\mathbb{S}$, es decir por el punto $(0,0,1)$, entonces dicho plano es de la forma: \begin{equation*}
Ax+By+C(u-1)=0. \tag{11.7}
\end{equation*} Más aún, al intersecar a la esfera $\mathbb{S}$ con un plano de la forma (11.7) se obtiene una circunferencia máxima.

Observación 11.3.
Notemos que bajo la proyección estereográfica los lugares geométricos del plano complejo $\mathbb{C}$ corresponden con lugares geométricos de la esfera de Riemann $\mathbb{S}$ y viceversa. Es importante recordar que no existe un punto en el plano complejo destinado para el punto al infinito, sin embargo no es difícil observar de manera geométrica que líneas longitudinales que pasan por el polo norte $N$, como el meridiano 0 o meridiano de Greenwich, corresponden con rectas en el plano complejo $\mathbb{C}$ que pasan por el origen $z=0$. Por otra parte, en la esfera de Riemann las líneas de latitud, como el ecuador, corresponden con circunferencias en el plano complejo $\mathbb{C}$ centradas en el origen $z=0$, mientras que una circunferencia arbitraria en la esfera de Riemann, que no pase por el polo norte $N$, corresponde con una circunferencia en el plano complejo $\mathbb{C}$. No debe ser difícil notar que conforme el radio de las circunferencias tiende a infinito, las líneas de latitud en la esfera tienden al polo norte $N$ que corresponde con el punto al infinito.

Figura 53: La proyección estereográfica manda circunferencias que pasan por el polo norte en rectas.
Figura 54: La proyección estereográfica manda circunferencias que no pasan por el polo norte en circunferencias.

Proposición 11.2.
Bajo la proyección esterográfica, circunferencias en la esfera de Riemann, $\mathbb{S}$, corresponden con circunferencias o rectas en el plano complejo $\mathbb{C}$, figuras 53 y 54.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Observación 11.4.
De nuestros cursos de Geometría Analítica y Cálculo sabemos que una trayectoria o camino en $\mathbb{R}^n$ es una función continua $\gamma:(c,d)\rightarrow \mathbb{R}^n$, y al conjunto $\Gamma = \{ \gamma(t) \, : \, t\in(c,d)\}$ lo llamamos la curva descrita por $\gamma$. Además sabemos que podemos expresar a una trayectoria $\gamma$ por medio de sus funciones componentes, por ejemplo en $\mathbb{R}^3$ tenemos que $\gamma(t) = \left(x(t),y(t),z(t)\right)$ donde $x(t),y(t),z(t)$ son funciones reales continuas llamadas las componentes de $\gamma$. Por otra parte, decimos que una curva es suave en $(c,d)$ si es diferenciable en $(c,d)$, es decir si sus funciones componentes son derivables en $(c,d)$ y sus derivadas no se anulan simultáneamente en $(c,d)$, excepto quizás en $c$ o $d$.

Observación 11.5.
Por otra parte, sabemos que el ángulo $\theta$ entre dos vectores $u,v$ en $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$ se puede obtener mediante: \begin{equation*}
\operatorname{cos}(\theta) = \frac{u \cdot v}{\left\lVert u \right\rVert \left\lVert v \right\rVert},
\end{equation*} donde «$\cdot$» representa el producto interior entre $u$ y $v$, mientras que $\left\lVert \cdot \right\rVert$ la norma de cada vector.

Dadas dos curvas suaves, descritas por $\gamma_1$ y $\gamma_2$, podemos definir el ángulo entre ellas como el ángulo que se forma entre las rectas tangentes a cada curva en un punto de intersección. Es claro que dadas dos rectas tangentes, que se intersecan entre sí, se obtienen dos ángulos distintos, digamos $\theta_1$ y $\theta_2$ cuya relación entre ellos está dada por $\theta_1 + \theta_2 = \pi$, por lo que para evitar confusión sobre cuál de los dos ángulos obtenidos se está considerando, diremos que el ángulo $\theta$ que se forma entre dos curvas suaves será tal que $\theta\in(0,\pi/2)$. Con esta consideración tenemos que $\operatorname{cos}(\theta)>0$.

Una pregunta interesante que podemos hacernos es ¿qué pasa con los ángulos entre cualesquiera dos curvas suaves en el plano complejo $\mathbb{C}$ o en la esfera de Riemann $\mathbb{S}$?, es decir, ¿bajo la proyección estereográfica se conserva el ángulo entre dos curvas suaves? Para responder esta pregunta primeramente podemos realizar un análisis geométrico.

De acuerdo con nuestros cursos de Cálculo y Geometría sabemos que es posible encontrar el plano tangente a la esfera $\mathbb{S}$ en el punto $P$, digamos $\Pi_P$. Consideremos al plano $u=2$, es decir el plano tangente a $\mathbb{S}$ en el polo norte $N$, digamos $\Pi_N$ y consideremos al plano que pasa por el centro de $\mathbb{S}$, por el polo norte $N$ y por el punto $P$, digamos $\Pi_{CNP}$. No es difícil convencerse de que la intersección de dicho plano con la esfera $\mathbb{S}$ determina una circunferencia máxima, digamos $\mathcal{C}$, además la intersección del plano $\Pi_{CNP}$ con los planos $\Pi_P$, $\Pi_N$ y $\mathbb{C}$ determina tres rectas, digamos $\mathcal{L}_P$, $\mathcal{L}_N$ y $\mathcal{L}_O$, la primera recta es tangente a $\mathcal{C}$ en $P$ y la segunda recta es tangente a $\mathcal{C}$ en $N$, mientras que la tercera recta es tangente a $\mathbb{S}$ en el origen y pasa por el punto $z_0=\varphi(P)$. Notemos que $\mathcal{L}_P$ y $\mathcal{L}_N$ se intersecan en un punto $Q\in\mathbb{R}^3$ y las rectas $\mathcal{L}_P$ y $\mathcal{L}_O$ se intersecan en un punto $w\in\mathbb{C}$. Por otra parte la intersección de los planos $\Pi_N$ y $\mathbb{C}$ con el plano $\Pi_P$ determinan otras dos rectas, digamos $\mathcal{L}_Q$ y $\mathcal{L}_w$, la primera pasa por $Q$ y la segunda pasa por $w$. Por construcción es claro que la recta $\mathcal{L}_N$ pasa por el punto $Q$, figura 55.

Dada la perfecta simetría de la esfera, es fácil concluir que los planos $\Pi_N$ y $\Pi_P$ forman los mismos ángulos con la recta que pasa por $N$ y $P$, digamos $\mathcal{L}_{NP}$, y que la recta $\mathcal{L}_Q$ es perpendicular a la recta $\mathcal{L}_{NP}$. Para ver esto más claro consideremos el corte transversal hecho sobre la esfera $\mathbb{S}$ con el plano $\Pi_{CNP}$. Más aún, como el plano $\Pi_N$ es paralelo al plano complejo $\mathbb{C}$, es claro que los planos $\Pi_P$ y $\mathbb{C}$ forman los mismos ángulos con la recta $\mathcal{L}_{NP}$ en el punto $z_0\in\mathbb{C}$ dado por la proyección estereográfica, figura 55. De acuerdo con la figura 56 es claro que los triángulos $NQP$ y $Pwz_0$ son semejantes.

Supongamos que dos curvas suaves en $\mathbb{S}$, digamos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$, se intersecan en un punto $P\in\mathbb{S}$ con $P\neq N$. Sean $\mathcal{L}_{1T}$ y $\mathcal{L}_{2T}$ las respectivas rectas tangentes a las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el punto $P$ y sea $\beta$ el ángulo entre ellas, es decir $\beta\in(0,\pi/2)$.

Sin perder generalidad consideremos a la recta tangente $\mathcal{L}_{2T}$ en el punto $P\in\mathbb{S}$. Es fácil convencerse que la recta tangente bajo la proyección estereográfica en el punto $z_0=\varphi(P)\in\mathbb{C}$, digamos $\varphi\left(\mathcal{L}_{2T}\right)$, está dada por la intersección de un plano que contiene a $\mathcal{L}_{2T}$ y $\mathcal{L}_{NP}$, digamos $\pi$, con el plano complejo $\mathbb{C}$. Considerando lo anterior tenemos que las rectas tangentes $\mathcal{L}_{2T}$ y $\varphi\left(\mathcal{L}_{2T}\right)$ forman los mismos ángulos con $\mathcal{L}_{NP}$. Más aún, dado que la intersección del plano $\Pi_P$ con $\mathbb{C}$ determina a la recta $\mathcal{L}_w$ entonces es fácil concluir que las rectas tangentes $\mathcal{L}_{2T}$ y $\varphi\left(\mathcal{L}_{2T}\right)$ forman los mismos ángulos con $\mathcal{L}_w$, figura 57.

Haciendo lo mismo con la recta tangente $\mathcal{L}_{1T}$ concluimos que los ángulos que forman las dos rectas tangentes a las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el punto de intersección $P\in\mathbb{S}$, es decir $\mathcal{L}_{1T}$ y $\mathcal{L}_{2T}$ forman los mismos ángulos que las rectas tangentes a las imágenes de las curvas, digamos $\varphi\left(\Gamma_1\right)$ y $\varphi\left(\Gamma_2\right)$, dadas por la proyección estereográfica en el punto de intersección $z_0=\varphi(P)\in\mathbb{C}$, figura 58.

Figura 55: Intersección de los planos tangentes, $\Pi_{N}$, $\Pi_{P}$ y $\mathbb{C}$, a $\mathbb{S}$ en los puntos $N$, $P$ y $O$, con el plano $\Pi_{CNP}$.
Figura 56: Circunferencia máxima $\mathcal{C}$ dada por la intersección de la esfera $\mathbb{S}$ con el plano $\Pi_{CNP}$. Las líneas $\mathcal{L}_P$ y $\mathcal{L}_{N}$ forman los mismos ángulos con la línea $\mathcal{L}_{NP}$.
Figura 57: Rectas tangentes $\mathcal{L}_{2T}$ y $\varphi\left(\mathcal{L}_{2T}\right)$, dadas por las intersecciones de los planos $\pi$ con $\Pi_P$ y $\pi$ con $\mathbb{C}$ respectivamente, forman los mismos ángulos con las rectas $\mathcal{L}_w$ y $\mathcal{L}_{NP}$.
Figura 58: Las rectas tangentes $\mathcal{L}_{1T}$ y $\mathcal{L}_{2T}$ forman el mismo ángulo, que sus imágenes bajo la proyección estereográfica.

Hasta ahora hemos argumentado de manera geométrica que bajo la proyección estereográfica el ángulo que se forma entre dos curvas suaves $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se conserva, ahora haremos una prueba analítica de esta propiedad, para ello consideremos lo siguiente.

Observación 11.6.
Notemos que para cualesquiera dos curvas suaves en la esfera de Riemann $\mathbb{S}$, al hablar del ángulo $\alpha$ que se forma entre ellas en un punto de intersección $P\in\mathbb{S}$ necesitamos pensar en el ángulo $0<\theta<\pi/2$ que se forma entre sus rectas tangentes en dicho punto, pero ¿cómo obtenemos una recta tangente a una curva suave en un punto $P\in\mathbb{S}$? Supongamos que una curva suave en $\mathbb{S}$ está descrita por la trayectoria $\gamma:(c,d)\rightarrow\mathbb{S}\subset\mathbb{R}^3$ cuyas funciones componentes son $x(t)$, $y(t)$ y $z(t)$, es decir $\gamma(t) = (x(t), y(t), z(t))$. Dado que la curva es suave en $(c,d)$ tenemos que existe $\gamma'(t)=(x'(t), y'(t), z'(t)) \neq 0$ para toda $t\in(c,d)$. Considerando que la curva descrita por $\gamma$ pasa por el punto $P=(x_0,y_0,u_0)\in\mathbb{S}$, entonces para algún $t_0\in(c,d)$ se cumple que $\gamma(t_0) = P$, por lo que podemos determinar a la recta tangente a dicha curva en el punto $P$, digamos $\mathcal{L}_{T}$, de forma paramétrica como: \begin{equation*}
\mathcal{L}_T: \quad P + \gamma'(t_0) \lambda, \quad \lambda\in\mathbb{R}.
\end{equation*}

Observación 11.7.
De manera geométrica es claro que $\mathcal{L}_T$ se puede obtener mediante la intersección de un plano tangente a la esfera $\mathbb{S}$ en el punto $P$, digamos $\Pi_T$, y un plano que pasa por el centro de la esfera y por $P$, digamos $\Pi_{CP}$. Considerando el plano $\Pi_{CP}$, por la observación 11.2 tenemos que existe una circunferencia máxima que que cae en dicho plano y que además pasa por el punto $P\in\mathbb{S}$. Entonces podemos concluir que para una recta tangente a la esfera en un punto $P$ existe una circunferencia máxima que pasa por dicho punto y que cae en el plano $\Pi_{CP}$.

De acuerdo con lo anterior, ver qué pasa con el ángulo $0<\theta<\pi/2$ que forman las rectas tangentes a dos curvas suaves en un punto de intersección $P\in\mathbb{S}$ bajo la proyección estereográfica, es equivalente a ver qué sucede con el ángulo que se forma entre dos circunferencias máximas de la esfera $\mathbb{S}$ bajo la proyección estereográfica, el cual está dado por el ángulo que se forma entre los planos en los que caen dichas circunferencias.

Proposición 11.3.
La proyección estereográfica es conforme o isogonal, es decir preserva ángulos.

Este resultado nos dice que el ángulo $\theta\in(0,\pi/2)$ que forman dos curvas suaves en la esfera $\mathbb{S}$, en un punto de intersección $P\in\mathbb{S}$, se preserva bajo la proyección estereográfica, es decir que en el plano complejo $\mathbb{C}$ las rectas tangentes de las imágenes de dichas curvas bajo la proyección estereográfica, en la imagen del punto de intersección, formarán nuevamente un ángulo $\theta$.
Recíprocamente para dos curvas suaves que se intersecan en el plano complejo $\mathbb{C}$, es decir en el plano $\Pi$ dado por (11.1), el ángulo $\theta\in(0,\pi/2)$ formado por sus rectas tangentes en el punto de intersección se preserva bajo la proyección estereográfica.

Figura 57: El ángulo $\theta$ que se forma entre las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el punto $P\in\mathbb{S}$ se preserva bajo la proyección estereográfica.

Demostración. Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ dos curvas suaves en $\mathbb{S}$, descritas por $\gamma_1:(c,d)\rightarrow\mathbb{R}^3$ y $\gamma_2:(e,f)\rightarrow\mathbb{R}^3$, las cuales se pueden escribir considerando sus funciones componentes como: \begin{align*}
\gamma_1(t) = (x_1(t),y_1(t),u_1(t)),\\
\gamma_2(t) = (x_2(t),y_2(t),u_2(t)).
\end{align*} Para probar este resultado consideremos los siguientes casos:

  1. El ángulo $\theta\in(0,\pi/2)$ que se forma entre $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ que se intersecan en el polo norte $N$ (o en el polo sur $O$) se preserva bajo la proyección estereográfica.
  2. El ángulo $\theta\in(0,\pi/2)$ que se forma entre $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ que se intersecan en un punto $P\neq N$ se preserva bajo la proyección estereográfica.

Caso 1. Dado que el polo norte $N$ y el polo sur $O$ son puntos antipodales en $\mathbb{S}$, una circunferencia máxima que pase por el polo norte también pasa por el polo sur. Entonces, considerando la observación 11.7, tenemos que es indistinto si las dos curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se intersecan en el polo norte o en el polo sur, pues el ángulo que forman sus rectas tangentes en cualquiera de dichos puntos será el mismo que forman las dos circunferencias máximas que pasan por dichos puntos, es decir, el ángulo que se forma entre los dos planos que contienen a cada una de las circunferencias máximas.

Entonces, sin pérdida de generalidad supongamos que $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se intersecan en el polo norte $N=(0,0,2)$. Por la observación 11.7 sabemos que cada recta tangente a cada curva, en el punto $N=(0,0,2)$, se obtiene mediante la intersección de un plano tangente a la esfera $\mathbb{S}$ en el polo norte, es decir el plano $u=2$, y un plano que pasa por el centro de la esfera y por el punto $N=(0,0,2)$, digamos $\Pi_{CN}$. De acuerdo con la observación 11.2 dichos planos son de la forma: \begin{align*}
\Pi_{1CN}: \quad A_1x+B_1y=0,\\
\Pi_{2CN}: \quad A_2x+B_2y=0.
\end{align*} Más aún, sabemos que en cada uno de estos planos cae una circunferencia máxima que pasa por $N=(0,0,2)$ y por $O=(0,0,0)$. Por lo que considerando las observaciones 11.5 y 11.7 tenemos que el ángulo $0<\theta<\pi/2$ que forman dichas circunferencias es tal que: \begin{align*}
\operatorname{cos}(\theta) & = \frac{(A_1,B_1,0) \cdot (A_2,B_2,0)}{\left\lVert (A_1,B_1,0) \right\rVert \left\lVert (A_2,B_2,0) \right\rVert}\\
& = \frac{A_1 A_2 + B_1 B_2}{\left\lVert (A_1,B_1,0) \right\rVert \left\lVert (A_2,B_2,0) \right\rVert}.
\end{align*} De acuerdo con la proposición 11.1, tenemos que bajo la proyección estereográfica las dos circunferencias máximas en la esfera $\mathbb{S}$, que pasan por el polo norte $N$, corresponden con dos rectas en el plano complejo $\mathbb{C}$ que pasan por el origen (¿por qué?), cuyas ecuaciones están dadas por: \begin{align*}
A_1x + B_1y =0, \quad u=0,\\
A_2x + B_2y =0,\quad u=0.
\end{align*} Es claro que el ángulo $0<\beta<\pi/2$ que forman estas rectas tangentes a las imágenes de las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ bajo la proyección estereográfica, en el punto de intersección $z=0$, es tal que: \begin{align*}
\operatorname{cos}(\beta) & = \frac{(A_1,B_1,0) \cdot (A_2,B_2,0)}{\left\lVert (A_1,B_1,0) \right\rVert \left\lVert (A_2,B_2,0) \right\rVert}\\
& = \frac{A_1 A_2 + B_1 B_2}{\left\lVert (A_1,B_1,0) \right\rVert \left\lVert (A_2,B_2,0) \right\rVert}.
\end{align*} Por lo que, el ángulo $\alpha$ que forman las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el polo norte o en el polo sur se conserva bajo la proyección estereográfica.

Caso 2. Supongamos que $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se intersecan en un punto $P\in\mathbb{S}$ con $P=(x_0,y_0,u_0)\neq N$.

Dado que dichas curvas se intersecan en el punto $P=(x_0,y_0,u_0)\in\mathbb{S}\setminus\{N\}$, entonces existen $t_0\in(c,d)$ y $t_0^*\in(e,f)$ tales que: \begin{align*}
\gamma_1(t_0) = (x_1(t_0),y_1(t_0),u_1(t_0)) = P,\\
\gamma_2(t_0^*) = (x_2(t_0^*),y_2(t_0^*),u_2(t_0^*)) = P. \tag{11.8.1}
\end{align*} Como $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ son suaves, tenemos que $\gamma_1$ es diferenciable en $(c,d)$ y $\gamma_2$ es diferenciable en $(e,f)$, por lo que: \begin{align*}
\gamma_1′(t_0) \neq 0,\quad \text{para}\,\, t_0\in(c,d),\\
\gamma_2′(t_0^*) \neq 0, \quad \text{para}\,\, t_0^*\in(e,f). \tag{11.8.2} \end{align*} Así, por la observación 11.6, las rectas tangentes a cada curva son respectivamente: \begin{align*}
\mathcal{L}_{1T}: \quad P + \gamma_1′(t_0) \lambda_1, \quad \lambda_1\in\mathbb{R},\\
\mathcal{L}_{2T}: \quad P + \gamma_2′(t_0^*) \lambda_2, \quad \lambda_2\in\mathbb{R}.
\end{align*} Entonces, considerando la observación 11.5, tenemos que el ángulo $0<\theta<\pi/2$ que se forma entre $\mathcal{L}_{1T}$ y $\mathcal{L}_{2T}$ en el punto de intersección $P\in\mathbb{S}$ es tal que: \begin{align*}
\operatorname{cos}(\theta) & = \frac{\gamma_1′(t_0) \cdot \gamma_2′(t_0^*)}{\left\lVert\gamma_1′(t_0)\right\rVert\left\lVert\gamma_2′(t_0^*) \right\rVert}\\
&=\frac{x_1′(t_0)\,x_2′(t_0^*) + y_1′(t_0)\,y_2′(t_0^*) + u_1′(t_0)\,u_2′(t_0^*)}{\sqrt{x_1′(t_0)^2 + y_1′(t_0)^2 + u_1′(t_0)^2} \sqrt{x_2′(t_0^*)^2 + y_2′(t_0^*)^2 + u_2′(t_0^*)^2}}. \tag{11.9}
\end{align*} Dado que las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ están en $\mathbb{S}$ se cumple que: \begin{align*}
x_1(t)^2 + y_1(t)^2 + (u_1(t)-1)^2 = 1, \quad \forall t\in(c,d),\\
x_2(t)^2 + y_2(t)^2 + (u_2(t)-1)^2 = 1, \quad \forall t\in(e,f). \tag{11.10.1} \end{align*} Y considerando (11.8.1) tenemos que: \begin{align*}
x_1′(t)^2 + y_1′(t)^2 + u_1′(t)^2 \neq 0, \quad \forall t\in(c,d),\\
x_2′(t)^2 + y_2′(t)^2 + u_2′(t)^2 \neq 0, \quad \forall t\in(e,f). \tag{11.10.2}
\end{align*}

Por otra parte, el punto de intersección $P\in\mathbb{S}\setminus\{N\}$ de las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ bajo la proyección estreográfica corresponde con el punto $z_0=a_0+ib_0\in\mathbb{C}$, donde: \begin{align*}
a_0 = \frac{2x_0}{2-u_0},\\
b_0 = \frac{2y_0}{2-u_0}.
\end{align*} Considerando a $\mathbb{C}$ como el plano dado por (11.1), tenemos que dicho punto $z_0$ lo podemos asociar con el punto $(a_0,b_0,0)$ de $\mathbb{R}^3$.

Mientras que bajo la proyección estereográfica las imágenes de las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$, digamos $\varphi(\Gamma_1)$ y $\varphi(\Gamma_2)$, están descritas por las funciones $\alpha_1:(c,d)\to\mathbb{R}^3$ y $\alpha_2:(e,f)\to\mathbb{R}^3$ en el plano complejo $\mathbb{C}$ y se pueden escribir considerando sus funciones componentes como: \begin{align*}
\alpha_1(t) = (a_1(t),b_1(t),0),\\
\alpha_2(t) = (a_2(t),b_2(t),0),
\end{align*} donde para cada $i=1,2$ se tiene que: \begin{align*}
a_i(t) = \frac{2x_i(t)}{2-u_i(t)},\\
b_i(t) = \frac{2y_i(t)}{2-u_i(t)}. \tag{11.11}
\end{align*}

De acuerdo con lo anterior, es claro que las curvas $\varphi(\Gamma_1)$ y $\varphi(\Gamma_2)$ obtenidas bajo la proyección estereográfica son también curvas suaves en sus respectivos dominios $(c,d)$ y $(e,f)$, por lo que considerando el punto de intersección $z_0$ tenemos que para los valores $t_0\in(c,d)$ y $t_0^*\in(e,f)$ dados se cumple que: \begin{align*}
\alpha_1(t_0) = (a_1(t_0),b_1(t_0),0) = z_0,\\
\alpha_2(t_0^*) = (a_2(t_0^*),b_2(t_0^*),0) = z_0. \tag{11.12.1}
\end{align*} Más aún, como las funciones $\alpha_1$ y $\alpha_2$ son diferenciables en $(c,d)$ y $(e,f)$ respectivamente, entonces tenemos que para $t_0\in(c,d)$ y $t_0^*\in(e,f)$ se cumple: \begin{align*}
\alpha_1′(t_0) = (a_1′(t_0),b_1′(t_0),0) \neq 0,\\
\alpha_2′(t_0^*) = (a_2′(t_0^*),b_2′(t_0^*),0) \neq 0. \tag{11.12.2}
\end{align*} Por lo que las rectas tangentes a las curvas $\varphi(\Gamma_1)$ y $\varphi(\Gamma_2)$ en el punto de intersección $z_0$ tienen como ecuaciones: \begin{align*}
\ell_{1T}: \quad z_0 + \alpha_1′(t_0) \delta_1, \quad \delta_1\in\mathbb{R},\\ \ell_{2T}: \quad z_0 + \alpha_2′(t_0^*) \delta_2, \quad \delta_2\in\mathbb{R}.
\end{align*} Entonces, considerando la observación 11.5, tenemos que el ángulo $0<\beta<\pi/2$ que se forma entre $\ell_{1T}$ y $\ell_{2T}$ en el punto de intersección $z_0\in\mathbb{C}$ es tal que: \begin{align*}
\operatorname{cos}(\beta) & = \frac{ \alpha_1′(t_0) \cdot \alpha_2′(t_0^*)}{\left\lVert \alpha_1′(t_0) \right\rVert \left\lVert \alpha_2′(t_0^*) \right\rVert}\\
& = \frac{a_1′(t_0) \, a_2′(t_0^*) + b_1′(t_0)\,b_2′(t_0^*)}{\sqrt{a_1′(t_0)^2 + b_1′(t_0)^2} \sqrt{a_2′(t_0^*)^2 + b_2′(t_0^*)^2}}.\tag{11.13}
\end{align*}

Para probar que el ángulo $\theta$, que forman las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el punto de intersección $P\in\mathbb{S}\setminus\{N\}$, se preserva bajo la proyección estereográfica veamos que las ecuaciones (11.9) y (11.13) son iguales.

Derivando las ecuaciones dadas en (11.11) tenemos para cada $i=1,2$ que: \begin{align*}
a_i'(t) = \frac{2}{(2-u_i(t))^2}\left[u_i'(t)\,x_i(t)+x_i'(t)\,(2-u_i(t))\right],\\
b_i'(t) = \frac{2}{(2-u_i(t))^2}\left[u_i'(t)\,y_i(t)+y_i'(t)\,(2-u_i(t))\right]. \tag{11.14}
\end{align*} Considerando las ecuaciones dadas en (11.6), obtenemos la relación inversa entre las curvas suaves $\varphi(\Gamma_1)$ y $\varphi(\Gamma_2)$ en el plano complejo $\mathbb{C}$ con las curvas suaves $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en la esfera $\mathbb{S}$. Considerando dicha relación es fácil verificar que para $i=1,2$ se cumple: \begin{equation*}
x_i'(t) \, x_i(t) + y_i'(t)\,y_i(t) + u_i'(t)\left[u_i(t)-1\right] = 0. \tag{11.15}
\end{equation*}

Considerando (11.8.1), (11.10.1), (11.12.1), (11.14) y (11.15) es fácil verificar que para $t_0\in(c,d)$ y para $t_0^*\in(e,f)$ se cumple respectivamente: \begin{align*}
a_1′(t_0)^2 &+ b_1′(t_0)^2\\
&=\frac{4}{(2-u_1(t_0))^4}\Bigg(\left[x_1′(t_0)^2+y_1′(t_0)^2+u_1′(t_0)^2\right](2-u_1(t_0))^2\Bigg),\\
&=\frac{4}{(2-u_0)^4}\Bigg(\left[x_1′(t_0)^2+y_1′(t_0)^2+u_1′(t_0)^2\right](2-u_0)^2\Bigg), \tag{11.16.1}
\end{align*} \begin{align*}
a_2′(t_0^*)^2 &+ b_2′(t_0^*)^2\\
&=\frac{4}{(2-u_2(t_0^*))^4} \Bigg( \left[x_2′(t_0^*)^2 + y_2′(t_0^*)^2 + u_2′(t_0^*)^2\right] (2-u_2(t_0^*))^2 \Bigg),\\
&=\frac{4}{(2-u_0)^4} \Bigg( \left[x_2′(t_0^*)^2 + y_2′(t_0^*)^2 + u_2′(t_0^*)^2\right] (2-u_0)^2 \Bigg). \tag{11.16.2}
\end{align*} Dado que el punto $P=(x_0,y_0,u_0)\neq N$, entonces $u_0 \neq 2$, por lo que podemos simplificar (11.16.1) y (11.16.2) como: \begin{equation*}
a_1′(t_0)^2 + b_1′(t_0)^2 = \frac{4}{(2-u_0)^2} \Bigg( x_1′(t_0)^2 + y_1′(t_0)^2 + + u_1′(t_0)^2 \Bigg), \tag{11.17.1}
\end{equation*} \begin{equation*}
a_2′(t_0^*)^2 + b_2′(t_0^*)^2 = \frac{4}{(2-u_0)^2} \Bigg(x_2′(t_0^*)^2 + y_2′(t_0^*)^2 + u_2′(t_0^*)^2 \Bigg). \tag{11.17.2}
\end{equation*} Además como $P\in\mathbb{S}$ se cumple que: \begin{equation*}
x_0^2+y_0^2=u_0(2-u_0). \tag{11.18}
\end{equation*}

Considerando (11.12.2), (11.14), (11.15), (11.18) y que $u_0\neq2$ es fácil verificar que: \begin{align*}
\alpha_1′(t_0) \cdot \alpha_2′(t_0^*) & = a_1′(t_0)\,a_2′(t_0^*) + b_1′(t_0)\,b_2′(t_0^*)\\
& = \frac{4}{(2-u_0)^2}\Bigg(x_1′(t_0)\,x_2′(t_0^*) + y_1′(t_0)\,y_2′(t_0^*) + u_1′(t_0)\,u_2′(t_0^*)\Bigg) \tag{11.19}
\end{align*}

Sustituyendo (11.17.1), (11.17.2) y (11.19) en (11.13) tenemos que: \begin{align*}
\operatorname{cos}(\beta) & = \frac{x_1′(t_0)\,x_2′(t_0^*) + y_1′(t_0)\,y_2′(t_0^*) + u_1′(t_0)\,u_2′(t_0^*)}{\sqrt{x_1′(t_0)^2 + y_1′(t_0)^2 + u_1′(t_0)^2} \sqrt{x_2′(t_0^*)^2 + y_2′(t_0^*)^2 + u_2′(t_0^*)^2}}\\
& = \operatorname{cos}(\theta).
\end{align*}
Por lo tanto el ángulo $\theta$ que se forma entre las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en un punto de intersección $P\in\mathbb{S}$, distinto del polo norte (o del polo sur), se preserva bajo la proyección estereográfica.

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Del mismo modo en que introducimos una métrica en $\mathbb{C}$, es posible definir una métrica en $\mathbb{C}_\infty$, la cual nos permitirá caracterizar y analizar las propiedades de este nuevo conjunto.

Dados dos puntos $z,w\in\mathbb{C}_\infty$ debemos definir una forma de medir distancia entre ellos, es decir una métrica $d:\mathbb{C}_\infty \times \mathbb{C}_\infty \to [0, \infty)$. Desde que la proyección estereográfica nos da una biyección entre el plano complejo extendido $\mathbb{C}_\infty$ y la esfera de Riemann $\mathbb{S}$, podemos definir la métrica de $\mathbb{C}_\infty$ considerando la distancia usual entre dos puntos $P,Q\in\mathbb{R}^3$, es decir la métrica euclidiana de $\mathbb{R}^3$. Tenemos que si $P=(x_1,y_1,u_1)$ y $Q=(x_2,y_2,u_2)$ son dos puntos de $\mathbb{R}^3$ entonces: \begin{equation*}
d_{\mathbb{R}^3}(P,Q) = \sqrt{(x_1 \,-\, x_2)^2 + (y_1 \,-\, y_2)^2 + (u_1 \,-\, u_2)^2}. \tag{11.20}
\end{equation*}
Considerando la proyección estereográfica, podemos hacer corresponder los puntos $z=a+ib$ y $w=\alpha+i\beta$ en $\mathbb{C}_\infty$ con los puntos $P,Q\in\mathbb{S}$ respectivamente, entonces de acuerdo con (11.20) podemos definir la distancia entre $z$ y $w$ como: \begin{equation*} \chi(z,w) = \sqrt{(x_1 \,-\, x_2)^2 + (y_1 \,-\, y_2)^2 + (u_1 \,-\, u_2)^2}. \tag{11.21} \end{equation*}
Dado que $P$ y $Q$ son puntos de $\mathbb{S}$, entonces se cumple que: \begin{align*}
x_1^2 + y_1^2 +(u_1 -1)^2 = 1,\\
x_2^2 + y_2^2 +(u_2 -1)^2 = 1. \tag{11.22}
\end{align*} De acuerdo con (11.22) y considerando (11.8), es fácil ver que:
\begin{align*}
(x_1 \,-\, x_2)^2 + (y_1 \,-\, y_2)^2 + (u_1 \,-\, u_2)^2 & = 2\left(u_1 + u_2 \,-\, x_1 x_2 \,-\, y_1 y_2 \,-\, u_1 u_2\right)\\
& = \frac{16 |\, z \,-\, w \,|^2}{\left(|\,z\,|^2 + 4\right)\left(|\,w\,|^2 + 4\right)}. \tag{11.23}
\end{align*} Entonces por (11.21) y (11.23) tenemos que: \begin{equation*}
\chi(z,w) = \frac{4 |\, z \,-\, w \,|}{\sqrt{\left(|\,z\,|^2 + 4\right)\left(|\,w\,|^2 + 4\right)}}. \tag{11.24}
\end{equation*}
Notemos que los puntos $z\neq \infty$ y $w=\infty$ de $\mathbb{C}_\infty$ corresponden con los puntos $P=(x,y,u)$ y $N=(0,0,2)$ de $\mathbb{S} \subset \mathbb{R}^3$, por lo que considerando (11.20) es fácil ver que: \begin{equation*}
\chi(z,\infty) = \frac{4}{\sqrt{|\,z\,|^2 + 4}}. \tag{11.25}
\end{equation*}

Considerando (11.24) y (11.25) tenemos que: \begin{equation*}
\chi(z,w)= \left\{ \begin{array}{lcc}
\dfrac{4 |\, z \,-\, w \,|}{\sqrt{|\,z\,|^2 + 4} \,\sqrt{|\,w\,|^2 + 4}}, & \text{si} & z,w\in\mathbb{C}\\
\dfrac{4}{\sqrt{|\,z\,|^2 + 4}}, & \text{si} & z\in\mathbb{C}, w=\infty,\\
0, & \text{si} & z=\infty, w=\infty.\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}
A esta métrica en $\mathbb{C}_\infty$, inducida por la métrica euclidiana de $\mathbb{R}^3$, se le conoce como la métrica cordal.

Notemos que $\mathbb{C}_\infty$ dotado con la métrica cordal forman un espacio métrico, ver ejercicio 4. Considerando la entrada anterior podemos verificar algunas propiedades para este espacio métrico.

Primeramente, dado que la métrica cordal es inducida por la distancia usual de $\mathbb{R}^3$, debe ser claro que si $z,w\in\mathbb{C}_\infty$, entonces: \begin{equation*}
\chi(z,w) \leq 2,
\end{equation*} ya que 2 es el diámetro de $\mathbb{S}\subset\mathbb{R}^3$. Por lo que la métrica cordal es acotada.

Proposición 11.4.
El espacio métrico $(\mathbb{C}_\infty, d)$, donde $d$ es la métrica cordal, es compacto.

Demostración. Dado que $\mathbb{S} \subset \mathbb{R}^3$ es cerrado y acotado, tenemos por el teorema de Heine – Borel que $\mathbb{S}$ es compacto en $\mathbb{R}^3$. Dado que la proyección estereográfica $\varphi$ define un homeomorfismo de $\mathbb{S}$ en $\mathbb{C}_\infty$, entonces se sigue que $\mathbb{C}_\infty$ es también compacto.

$\blacksquare$

Proposición 11.5.
El espacio métrico $(\mathbb{C}_\infty, d)$, donde $d$ es la métrica cordal, es completo.

Demostración. Ejercicio.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. Considera la proposición 11.1. Argumenta porqué la proyección estereográfica y su inversa, es decir las funciones $\varphi$ y $\varphi^{-1}$ son continuas. Hint: Consulta la entrada 9.
  2. Demuestra la proposición 11.2. Hint: Utiliza la observación 11.2.
  3. ¿Por qué una circunferencia en $\mathbb{S}$ que pasa por $N=(0,0,2)$ y por $O=(0,0,0)$ corresponde a una recta que pasa por el origen en el plano complejo $\mathbb{C}$?
  4. Muestra que las igualdades del caso 2 de la proposición 11.2 son ciertas. Argumenta tus desarrollos.
  5. Verifica que la igualdad dada por (11.23) es cierta.
  6. Demuestra que la métrica cordal satisface las condiciones de métrica, es decir, demuestra que para cualesquiera $z_1, z_2, z_3\in\mathbb{C}_\infty$ se cumple:
    i) $\chi(z_2, z_1) \geq 0$.
    ii) $\chi(z_2, z_1) = 0$ si y solo si $z_1=z_2$.
    iii) Simetría: $\chi(z_1, z_2) = \chi(z_2, z_1)$.
    iv) Desigualdad del triángulo: $\chi(z_2, z_1) \leq \chi(z_2, z_3) + \chi(z_3, z_1)$. Hint: Utiliza los ejercicios 8 y 9 de la entrada 3, sección de tarea moral, para probar la desigualdad del triángulo.
  7. Considera a la función: \begin{equation*}
    \chi(z,w) = \frac{4 \, |\,z\,-\,w\,|}{\sqrt{|\,z\,|^2 + 4} \, \sqrt{|\,w\,|^2 + 4}}, \quad \forall z,w\in\mathbb{C},
    \end{equation*} de acuerdo con el ejercicio anterior es claro que dicha función es un métrica en $\mathbb{C}$. Prueba que dicha métrica $\chi$ y la métrica euclidiana $d(z,w) = |\,z\,-\,w\,|$ son equivalentes.
  8. De acuerdo con la entrada anterior, sea $z_0\in\mathbb{C}_\infty$ y sea $d$ la métrica cordal, una pregunta que puede resultar es, dado $\rho>0$, ¿cómo se define un $\rho$-vecindario de $z_0$ en $\mathbb{C}_\infty$? Describe a dicho conjunto.
  9. Demuestra la proposición 11.5.

Más adelante…

En esta entrada hemos hecho una compactificación del plano complejo agregándole un punto ideal, llamado el punto al infinito, obteniendo así el plano complejo extendido $\mathbb{C}_\infty$ el cual representamos mediante el módelo de la esfera de Riemann.

Hemos visto que existe una relación biunívoca entre el plano complejo extendido y la esfera de Riemann dada por la proyección estreográfica, la cual resulto tener propiedades interesantes que aparecerán más adelante para caracterizar a algunas funciones.

Además dotamos al plano complejo extendido con una métrica, llamada la métrica cordal, la cual nos permite tratar a $\mathbb{C}_\infty$ como un espacio métrico, por lo que podemos considerar algunas propiedades de la entrada anterior para caracterizar la topología de este espacio métrico.

La importancia de trabajar con esta extensión se verá a lo largo del curso cuando requiramos trabajar con funciones complejas para las cuales el módulo de la variable crezca de manera arbitraria.

Con esta entrada finalizamos la primera unidad de este curso: Introducción y preliminares. La siguiente entrada comenzaremos la segunda unidad titulada: Analicidad y funciones de variable compleja.

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