Introducción

En la sección anterior vimos las series de potencias, en esta sección veremos las series de Taylor y de Maclaurin que tienen como base las series de potencias.

Series de Taylor y Maclaurin

Definición. Sea $f$ una función tal que $f^1(a)\dots f^{(k)}(a)$ existen, es decir, la k-esima derivada de la función $f$ existe. Si $p(x)=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a{)}^2+\dots +a_n(x-a{)}^n$ entonces decimos que $p(x)$ es el polinomio de Taylor de grado $n$ alrededor de $a$ para $f$, denotado como:

$$P_{n,a}^{(k)}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$

En el caso cuando $a=0$ la serie es conocida como serie de Maclaurin:

$$P_n^{(k)}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(0)}{n!}(x{)}^n$$

Vemos que estas series aproximan una función $f(x)$ por medio de polinomios, es decir, para $x=a$ los polinomios de Taylor o series de Taylor por medio de polinomios proporcionan un ajuste a $f(x)$.

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

• Calcule el polinomio de Taylor de grado $2n+1$ alrededor de $0$ para la función $\sin (x)$.

Calculando las derivadas, se tiene que:

${\sin }^{\prime }(x)=\cos (x),{\sin }^{\prime \prime }(x)=-\sin (x),{\sin }^{\prime \prime \prime }(x)=-\cos (x),{\sin }^{\prime \prime \prime \prime }(x)=\sin (x)$.

Observación: Vemos que las derivadas de orden impar involucra el término de coseno y las de orden par a los términos de seno, por lo que ${\sin }^{2n+1}(0)=(-1{)}^n$

Asi tenemos que:

$$p_{2n+1,0}\sin (x)=\frac{\sin (0)(x-0)}{0!}+\frac{{\sin }^{\prime }(0)(x-0)}{1!}+\frac{{\sin }^{\prime \prime }(0)(x-0{)}^2}{2!}+\frac{{\sin }^{\prime \prime \prime }(0)(x-0{)}^3}{3!}+\dots$$

$$\dots +\frac{{\sin }^{2n+1}(0)(x-0{)}^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\dots .+\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

• Calcule el polinomio de Taylor de grado $2n+1$ alrededor de $0$ para $\cos (x)$

Tenemos que ${\cos }^{\prime }(x)=-\sin (x),{\cos }^{\prime \prime }(x)=-\cos (x),{\cos }^{\prime \prime \prime \prime }x)=\sin (x),{\cos }^{\prime \prime \prime \prime }(x)=\cos (x)$

Observación: Vemos que las derivadas de orden impar involucra el término de seno y las de orden par al coseno, por lo que ${\cos }^{2n}(0)=(-1{)}^n$.

Así tenemos que:

$$p_{2n,0}\cos (x)=\frac{\cos (0)(x-0)}{0!}+\frac{{\cos }^{\prime }(0)(x-0)}{1!}+\frac{{\cos }^{\prime \prime }(0)(x-0{)}^2}{2!}+\frac{{\cos }^{\prime \prime \prime }(0)(x-0{)}^3}{3!}+\dots$$

$$\dots +\frac{{\cos }^{2n}(0)(x-0{)}^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}+\dots .+\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}$$

Observamos que los polinomios de Taylor se aproxima a una función $f(x)$ mediante sus derivadas hasta el orden enésimo. Veamos el siguiente teorema.

Residuo

Teorema de Taylor:

Supongamos que $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\dots .,f^{n+1}(x)$ existen, es decir, la $n+1$ derivadas existen, definimos en el intervalo cerrado $[a,x]$ al residuo o el resto $R_{n,a,f}(x)$ que está definida por $f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\dots .+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+R_{n,a}(x)$ entonces el residuo se puede definir de 3 maneras distintas:

• Forma de cauchy:

$$R_{n,a,f}(x)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t{)}^n(x-a)$$

Para algún $t$ en $[a,x]$.

• Forma de Lagrange:

$$R_{n,a,f}(x)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}$$

Para algún $t$ en $[a,x]$ y $f^{n+1}$ es integrable en $[a,x]$.

• Forma integral:

$$R_{n,a,f}(x)={\int }_a^x\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(t)(x-t{)}^{n}dt$$

Demostración:

Demostremos la forma de Cauchy, sea $S:[a,x]\to \mathbb{R}$ definida como:

$$\begin{array}{}\text{(3)}& S(t)=f(x)-(f(t)+f^{\prime }(t)(x-t)+\dots .+\frac{f^n(t)(x-t)}{n!})\end{array}$$

La función $S$ es continua en $[a,x]$ y diferenciable en $(a,x)$, por el teorema del valor medio $\mathrm{\exists }{t}^{\ast }ϵ(a,x)$ tal que:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{S(x)-S(a)}{x-a}=S^{\prime }(t^{\ast })\end{array}$$

Sea $S(x)$ definida anteriormente como:

$$S(x)=f(x)-(f(x)+f^{\prime }(x)(x-x)+\dots .+\frac{f^n(x)(x-x{)}^n}{n!})=0$$

y $S(a)$:

$$S(a)=f(x)-(f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\dots .+\frac{f^n(a)(x-a{)}^n}{n!}=f(x)-p_{n,a,f}(x))=R_{n,a,f}(x)$$

Entonces por $(1)$:

$$S^{\prime }(t^{\ast })=\frac{0-R_{n,a,f}(x)}{x-a}$$

Con $t^{\ast }ϵ(a,x)$, por otro lado, derivamos la relación $(3)$ con respecto a $t$ como:

$$S^{\prime }(t)=0-(f^{\prime }(t)+f^{\prime }(t)(-1)+f^{\prime \prime }(t)(x-t)+\frac{f^{\prime \prime }(t{)}^2}{2!}(x-t)(-1))+\frac{f^{\prime \prime }(t{)}^2}{2!}(x-t{)}^2\dots .)$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& =-\frac{f^{(n+1)}(t^{})(x-t{)}^n}{n!}\mathrm{\forall }tϵ(0,x)\end{array}$$

$$\Rightarrow S^{\prime }(t^{\ast })=\frac{0-R_{n,a,f}(x)}{x-a}=\frac{-S(a)}{x-a}$$

Pero:

$$S^{\prime }(t)=-\frac{f^{(n+1)}(t^{})(x-t{)}^n}{n!}$$

$$\Rightarrow -S(a)=-\frac{f^{(n+1)}(t)(x-t{)}^n}{n!}(x-a)$$

$$\therefore R_{n,a,f(x)}=\frac{f^{(n+1)}(t)(x-t{)}^n}{n!}(x-a)$$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Ahora demostremos la forma de Lagrange.

Apliquemos el teorema de valor medio de Cauchy a las funciones $S:[a,x]\to \mathbb{R}$ y $g(x)=(x-t{)}^{n+1}$, observemos que $g$ es continua en el intervalo $[a,x]$ y diferenciable en $(a,x),\mathrm{\exists }{t}^{\ast }ϵ(a,b)$ tal que:

$$\frac{S^{\prime }(t^{\ast })}{g^{\prime }(x)}=\frac{S(x)-S(a)}{(g(x)-g(a))}$$

$$\Rightarrow (g(x)-g(a))S^{\prime }(t^{\ast })=(S(x)-S(a))g^{\prime }(x)$$

$$\Rightarrow (g(x)-g(a))S^{\prime }(t^{\ast })=(S(x)-S(a))(n+1)(x-t{)}^n$$

Donde:

$$g(x)=(x-x{)}^{n+1}=0$$

$$\Rightarrow (0-g(a))S^{\prime }(t^{\ast })=(0-S(a))(n+1)(x-t{)}^n$$

Utilizando la relación $(2)$, la evaluación correspondiente de $g(a)$ y $S(a)$, se tiene que:

$$\Rightarrow -(x-a{)}^{n+1}\frac{f^{(n+1)}(t^{})(x-t{)}^n}{n!}=R_{n,a,f(x)}(n+1)(x-t{)}^n(-1)$$

$$\therefore R_{n,a,f(x)}=\frac{f^{(n+1)}(t^{})(x-a{)}^{n+1}}{(n+1)!}$$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Demostremos la última forma que es la forma de la integral. Tenemos que:

$${\int }_a^x{S}^{\prime }(t)dt=S(x)-S(a)=0-R_{n,a,f(x)}$$

Donde $s(x)=0$ y nuevamente utilizamos la relación $(2)$, por tanto:

$$\therefore R_{n,a,f(x)}={\int }_x^a\frac{f^{n+1}(x)}{n!}(x-t{)}^{n}dt$$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Una de las aplicaciones de las series de Taylor y Maclaurin es en la resolución de la ecuación diferencial para un péndulo no lineal, que viene dada como:

$$\ddot{\theta }=-\frac{g}{l}\sin (\theta )$$

Esta ecuación diferencial no se resuelve tan fácil y no hay solución que se pueda escribir en términos de funciones elementales, se puede solucionar esta ecuación para valores pequeños de $\theta$ con $\theta <<1$, aproximamos la función $\sin (\theta )$ en términos de una serie de Taylor:

$$\sin (\theta )\approx \theta -\frac{{\theta }^3}{3}+\frac{{\theta }^5}{5}+\dots .+\frac{(-1{)}^n{\theta }^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

Como queremos solamente valores pequeños de $\theta$, entonces:

$$\sin (\theta )\approx \theta$$

Así la ecuación diferencial se reescribe como:

$$\ddot{\theta }=-\frac{g}{l}\theta$$

Y la solución a esta ecuación diferencial está dada como:

$$\theta (t)={\theta }_0\cos \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Aproxime las siguientes funciones con serie de Taylor.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

1. $f(x)=e^x$ al grado $n$ y alrededor de $0$.
2. $f(x)=log(x)$ al grado $n$ y alrededor de $1$.
3. Escriba la serie de Maclaurin de la función $f(x)=log(x+1)$ hasta grado $n$.
4. $f(x)=x^5$ al grado $n$ alrededor de $1$ y calcule su residuo.
5. $f(x)=\sqrt{x}$ al grado $n=3$ alrededor de $0$ y calcule su residuo.

Más adelante…

En esta sección vimos la definición de las series de Taylor y las series de Maclaurin que es un caso particular de las series de Taylor, también vimos los residuos en el caso de las series de Taylor. Con esta entrada acabamos con la unidad 7, en la siguiente entrada veremos las series de Fourier con el cual comenzaremos la unidad 8.

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