Introducción

En la sección anterior vimos dos criterios de convergencia para las series, el criterio de la divergencia y el criterio de acotación, en esta sección veremos otros dos criterios de convergencia para las series que son los criterios de comparación y el criterio del límite.

Criterio de comparación

Teorema. (Criterio de comparación)

Sea $\left\{a_n\right\}$ y $\left\{b_n\right\}$ tal que $0\le a_n\le b_n$ $\mathrm{\forall }nϵ\mathbb{N}$ y supón que $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ converge, entonces $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge.

Mientras que si $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ diverge, entonces $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ diverge.

Demostración:

Sea $0\le a_n\le b_n$ y supón que $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ converge.

Sea $\left\{S_n\right\}$ la sucesión de sumas parciales de $\left\{b_n\right\}$, y sea $\left\{t_n\right\}$ las sumas parciales de $\left\{a_n\right\}$.

Por demostrar que $\left\{t_n\right\}$ esta acotada.

Observemos que $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ converge, entonces $\left\{S_n\right\}$ esta acotada por el criterio de acotación, por lo que, $\mathrm{\exists }Mϵ\mathbb{R}$ tal que $|S_n|\le M\mathrm{\forall }nϵ\mathbb{N}$.

Pero $a_i\le b_i\mathrm{\forall }iϵ\mathbb{N}$.

$$\Rightarrow a_1+a_2+\dots .+a_n\le b_1+b_2+\dots .+b_m$$

$$\Rightarrow t_n\le S_n\le M$$

$$\Rightarrow t_n\le M\mathrm{\forall }nϵ\mathbb{N}$$

Por lo cual $t_n$ está acotado, nuevamente, por el criterio de acotación como $t_n$ está acotado, entonces $a_n$ también lo está.

$\therefore \left\{t_n\right\}$ esta acotado $\Rightarrow \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge.

Ahora la demostración de sí $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ diverge entonces $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ diverge, lo podemos demostrar por contradicción:

Por hipótesis $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ diverge, pero supongamos que $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ converge, entonces por lo que acabamos de ver, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge, lo cual con lleva a una contradicción, ya que $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ diverge.

$\therefore \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ diverge.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Los que nos dice este teorema es que podemos acotar una serie $\left\{a_n\right\}$ por otra serie $\left\{b_n\right\}$ y conocer su convergencia o divergencia, para posteriormente, saber la convergencia o divergencia de la serie $\left\{a_n\right\}$.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

• $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}$$

Sabemos que para $n>2:\sqrt[n]{n}<\sqrt{n}nϵ\mathbb{N}$, así que $\frac{1}{\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt[n]{n}}$.

Pero sabemos que $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge. Por el criterio de comparación, entonces se tiene que $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}$ diverge.

Ahora veamos el criterio de comparación del límite.

Criterio de comparación del límite

Teorema. (Comparación del límite)

Sea $a_n>0$ y $b_n>0$ tal que:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=C>0.$$

$\Rightarrow \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge $\iff \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ converge.

En otras palabras:

$\Rightarrow \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ diverge $\iff \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ diverge.

Demostración:

$\Leftarrow ⌟$

Supón que $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ converge, tratemos de acotar $a_n$ por algo convergente.

Tomemos $\epsilon =C$.

Como $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=C$, por definición del limite se tiene que:

$\mathrm{\exists }kϵ\mathbb{N}$ tal que si $n\ge k$ entonces:

$$|\frac{a_n}{b_n}-C|<ϵ=C$$

$$\Rightarrow -C<\frac{a_n}{b_n}-C<C$$

$$\Rightarrow 0<\frac{a_n}{b_n}<2C$$

$$\Rightarrow a_n<2C{b}_n$$

Pero por hipótesis tenemos que:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ converge $\Rightarrow \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}2b_n$ converge $\Rightarrow \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}2C{b}_n$ converge.

ya que, por la propiedades de las series:

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}2C{b}_n=2C\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{n}y\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{n}converge$$

$$\therefore Porelcriteriodecomparación\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}converge.$$

Ahora demostremos el de ida:

$\Rightarrow ⌟$

Supón que $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge, consideremos $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{b_n}{a_n}=\frac{1}{C}$, como:

$$C>0\Rightarrow \frac{1}{C}>0$$

Tomemos $ϵ=\frac{1}{C}$. Por definición del límite $\mathrm{\exists }Nϵ\mathbb{N}$ tal que:

$$\mathrm{\forall }n\ge N\Rightarrow |\frac{b_n}{a_n}-\frac{1}{C}|<ϵ=\frac{1}{C}$$

$$\Rightarrow -\frac{1}{C}<\frac{b_n}{a_n}-\frac{1}{C}<\frac{1}{C}$$

$$\Rightarrow 0<\frac{b_n}{a_n}<\frac{2}{C}$$

$\Rightarrow b_n<\frac{2}{C}{a}_n$ por lo que acotamos $b_n$, así:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge $\Rightarrow \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}2a_n$ converge $\Rightarrow \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{C}{a}_n$ converge.

$$\therefore Porelcriteriodecomparación\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{n}converge.$$

La demostración para el caso cuando divergen es muy similar a la demostración anterior, solo cambiamos la desigualdad en la definición del límite y aplicamos nuevamente el criterio de comparación.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Ejemplo

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

• $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a\sqrt{n}+b}$$

Donde $a$ y $b$ son constantes y $a\ne 0$.

Sea $\left\{b_n\right\}=\frac{1}{a\sqrt{n}+b}$, tomemos a la sucesión $\left\{a_n\right\}=\frac{1}{\sqrt{n}}$ entonces tomando el límite tenemos que:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{a\sqrt{n}+b}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a\sqrt{n}+b}{\sqrt{n}}\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a+\frac{b}{\sqrt{n}})=a$$

Con $a\ne 0$

Pero como $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge, por el criterio de comparación del límite:

$$\Rightarrow \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a\sqrt{n}+b}diverge$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

1. $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{ln(n)}{n}$$
2. $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n-1}$$
3. $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{5}{5n-1}$$
4. $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2n^2+3n}{\sqrt{5+n^5}}$$
5. $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n-1}$$

Más adelante…

En esta sección vimos dos criterios más de convergencia, el criterio de comparación, el cual se acota una sucesión con otra sucesión para estudiar si diverge o no converge la sucesión que está acotando, lo cual nos dice la convergencia o divergencia de la sucesión que está acotada; y el criterio de comparación del límite que nos dice que si la división entre dos sucesiones positivas, da como resultado una constante entonces las sucesiones convergen o divergen. En la siguiente sección veremos el criterio de la raíz y el criterio de la razón.

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