En la sección anterior hablamos sobre la métrica que se asigna entre dos puntos de un conjunto. Estamos tan acostumbrados a unir, automáticamente, dos puntos con el segmento que los une, que es natural que asumamos que la longitud de este segmento definirá la distancia entre ellos. No obstante, puede haber situaciones donde sea necesario considerar factores que nos hagan modificar la manera en que definimos esa distancia. Veamos algunos ejemplos.
Métrica del taxista
Supongamos que nos encontramos en un poblado y nos interesa partir del punto $A$ para llegar al punto $B$ usando el camino más corto. No nos es posible caminar sobre la recta que, en la geometría euclideana une a los dos puntos, pues esto implicaría tener que atravesar las casas y las construcciones que se ubiquen sobre ella. En estas circunstancias lo que resta es desplazarse sobre las calles, en la manera en que lo haría un taxista (suponiendo que no hay restricciones adicionales al recorrido, como el tráfico o el sentido de la vialidad).
En la imagen se pueden visualizar algunas posibles rutas.
Si definimos la distancia como el menor número de cuadras que separan al punto $A$ del punto $B$, podemos observar que los caminos verde, azul y naranja representan rutas de distancia mínima. Cada una de estas cuadras se puede proyectar de manera horizontal y vertical sobre la recta horizontal que tiene a $A$ y la recta vertical que tiene a $B$. En consecuencia, definimos la métrica para dos puntos $A=(a_1,a_2)$ y $B=(b_1,b_2)$ en el conjunto $\mathbb{R}^2$ como:
$$d(A,B)=|b_1-a_1|+|b_2-a_2| $$
Métrica del ascensor
Ahora nos encontramos en cierta planta de un edificio y nos interesa movernos a otra planta. Si el punto al que vamos se encuentra en el mismo edificio, simplemente nos dirigimos al ascensor, en la misma planta, hasta recorrer la cantidad de pisos deseados. Esta situación se representa en la siguiente imagen:
Por otra parte, si nos interesa llegar a un piso de otro edificio que está sobre la misma calle, debemos tomar el ascensor del edificio en que nos ubicamos hasta llegar a la planta baja, caminar hasta el otro edificio y, posteriormente, tomar el ascensor ahí hasta llegar a nuestro destino. Este movimiento puede visualizarse a continuación:
A partir de esto se define la métrica para dos puntos $A=(a_1,a_2)$ y $B(b_1,b_2)$ en el conjunto $\mathbb{R}^2$ como:
En el ámbito de la Teoría de la Información interesa contar el número de cambios que se requieren para que una palabra se convierta en otra. Por ejemplo:
Para convertir «casa» en «pasa» se requiere cambiar una letra. Para convertir «casa» en «taza» se requiere el cambio en dos letras. Para convertir «roca» en «flor» se requiere cambiar cuatro letras.
Este número de cambios define la distancia de Hamming.
El tablero de ajedrez
Consideremos las piezas Rey, Reina, Alfil, Caballo y Torre en el juego de ajedrez. De acuerdo a las reglas, cada una de estas piezas tiene un movimiento particular definido. Una pieza ubicada en la casilla A requiere una mínima cantidad de movimientos para llegar a la casilla B. Demuestra que cada pieza define una métrica en el conjunto de puntos dado por las casillas del tablero de ajedrez.
Más adelante
Recordaremos el concepto de espacio normado. Probablemente ya lo has visto en cursos de cálculo o álgebra lineal. Pues bien, estos espacios inducen también una métrica entre sus puntos. ¿Será que todos los espacios métricos son inducidos por una norma?
Tarea moral
Demuestra que cada uno de los ejemplos anteriores es una métrica.
Define la métrica del taxista para puntos en $\mathbb{R}^n$.
Define la métrica del ascensor para edificios que no necesariamente estén sobre la misma calle. Combina con la métrica del taxista.
«Desde un punto de vista intuitivo, un espacio métrico es, simplemente, un conjunto en donde podemos hablar de la distancia entre sus elementos, lo que nos permitirá precisar la noción de «proximidad», una idea que está presente implícitamente en todos los conceptos fundamentales de la Topología y el Análisis.
Como estructura matemática abstracta, el concepto de espacio métrico fue introducido inicialmente por el matemático francés M.Fréchet en 1906. Probó que las ideas de Cantor de subconjuntos abiertos y cerrados podían extenderse de manera natural a los espacios métricos. Más tarde, el concepto fue desarrollado por F. Hasdorff en su Mengenlehre. En parte, su importancia radica en que constituye una interesante generalización de los espacios normados, cuya teoría fue básicamente desarrollada por Stephan Banach como cimiento del Análisis Funcional. El desarrollo posterior de las investigaciones sobre topología métrica ha puesto de manifiesto su extraordinario poder para unificar una amplia variedad de teorías hasta entonces dispersas y aparentemente independientes». (Diaz, 1998).
Cantor
Maurice Fréchet
Stephan Banach
¿Qué es un espacio métrico?
Pensemos en un conjunto de elementos que representamos como puntos. Si para cada par de puntos especificamos qué distancia hay entre ellos entonces tenemos un espacio métrico (cuando se cumplen ciertas condiciones).
En el siguiente esquema se muestran solo algunas de las distancias entre dos puntos. Nota que la distancia del punto $E$ a sí mismo es $0$. Así lo será también la distancia de cualquier punto a sí mismo.
Ejemplo intuitivo de espacio métrico.
La distancia cumplirá lo siguiente:
La distancia de un punto a sí mismo será $0$. La distancia entre puntos distintos será distinta de $0$.
En un espacio métrico la distancia entre dos puntos es simétrica. La distancia entre el punto $x$ y $y$ coincide con la distancia entre el punto $y$ y $x$. ¿Puedes mencionar un ejemplo en tu vida cotidiana en el que tu recorrido de ida no coincida con el de regreso? Donde cambie la longitud del camino, el tiempo, el costo económico o algún otro factor.
Entre tres puntos se satisface la desigualdad del triángulo. La suma de dos de las distancias entre los vértices de un triángulo es mayor o igual que la distancia restante.
De manera formal, tenemos lo siguiente:
Definición espacio métrico. Un espacio métrico $(X,d)$ es un par ordenado donde $X$ es un conjunto no vacío, (cuyos elementos llamaremos puntos) y $d$ es la métrica asociada a este.
Definición métrica. Llamaremos métrica o distancia en $X$ a una relación $d: X \times X \to \mathbb{R}$ que satisface que para cualesquiera $x$, $y$, $z$ $\in X$:
\[ \begin{align} & d(x,y)=0 \quad\text{si y solo si}\quad x = y \\ & d(x,y) = d(y,x) \\ & d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) \end{align} \]
Nota: La distancia nunca es negativa. De estos axiomas se deduce que si $x \neq y$ entonces $0<d(x,y)$ pues: \begin{align*} 0 &= d(x,x)\\ &\leq d(x,y) + d(y,x)\\ &= d(x,y) + d(x,y)\\ &= 2d(x,y) \end{align*}
Luego de multiplicar por $\dfrac{1}{2}$ ambos lados, se deduce que $0 \leq d(x,y)$. Como $x \neq y$ concluimos a partir del axioma $(1)$ que $0<d(x,y)$.
Ejemplos de espacios métricos
La métrica discreta.
Sea $X$ un conjunto no vacío. Para todo $x, y \in X$ definimos $d:X \times X \to \mathbb{R}$ como:
\[ d(x,y)= \left\{\begin{array}{lcc} 0 & si & x = y \\ \\ 1 & si & x \neq y \end {array} \right. \]
En este caso $(X,d)$ recibe el nombre de espacio discreto.
La distancia entre dos puntos distintos siempre es $1$.
Demostración: Sean $x, y, z \in X$. El axioma $(1)$ se cumple por definición.
Para demostrar el axioma $(2)$ veamos que si $x = y$ entonces $d(x,y) = 0 = d(y,x)$. Por otro lado, si $x \neq y$ entonces $d(x,y) = 1 = d(y,x)$. En cualquier caso $d(x,y) = d(y,x)$.
Para demostrar $(3)$ veamos que si $x=y$ entonces $d(x,y)=0$. Como las distancias siempre son mayores o iguales a cero se sigue que $d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y)$. Por otro lado, si $x \neq y$ entonces $d(x,y) = 1$ y tenemos los siguientes casos:
Notemos que $d(x,z) = 1$ o $d(z,y) = 1$, pues de lo contrario tendríamos que $d(x,z) = 0$ y $d(z,y)=0$, lo cual implica que $x = z = y$. Por lo tanto $x = y$, lo cual es una contradicción. De lo anterior se concluye que $d(x,y)=1 \leq d(x,z) + d(z,y)$.
El conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ con la métrica usual
Sean $x,y \in \mathbb{R}$. Se define:
\[ d(x,y) = |x-y| = \left\{ \begin{array}{lcc} x-y & si & x \geq y \\ \\ y-x & si & x < y \end{array} \right. \]
Demostración: $(1)$ Sean $x,y,z \in \mathbb{R}$ entonces $d(x,y)=0 \text{ si y solo si } |x-y|=0 \text{ si y solo si } x=y$.
Este espacio métrico es llamado el «espacio aritmético euclídeo de $n$ dimensiones $\mathbb R^n$»
El conjunto $C_{[a,b]}:=\{f:[a,b] \to \mathbb R: \quad\text{f es función continua}\}$
Considera $f,g \in C_{[a,b]}$. Para cada $t \in [a,b]$ identifiquemos la medida del segmento que une a los puntos$ (t,f(t))$ y $(t,g(t))$. El segmento más grande representará la distancia entre ambas funciones.
Definimos: $$d(f,g) = \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |f(t)-g(t)|$$ Recordemos que este máximo existe, pues al ser $f$ y $g$ funciones continuas, también lo es $|f-g|$ lo que le permite alcanzar su máximo en el compacto [a,b].
$(2)$ Como $\forall t \in [a,b], f(t)$ y $g(t) \in \mathbb{R} $, entonces $|f(t)-g(t)| = |g(t)-f(t)|$. Así: \begin{align*} d(f,g) &= \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |f(t)-g(t)|\\ &= \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |g(t)-f(t)|\\ &= d(g,f)\\ \text{Por lo tanto }\quad d(f,g) &= d(g,f). \end{align*}
$(3)$ Como $f$ y $g$ son funciones continuas en un conjunto compacto entonces la función $f-g$ también es continua en el compacto $[a,b]$ y alcanza su máximo: $\underset{a \leq t \leq b}{max}\,|f(t)-g(t)| = |f(t_{1}) – g(t_{1})|$ para algún $t_{1} \in [a,b]$ Como \begin{align*}|f(t_{1}) – g(t_{1})| &= |f(t_{1})-h(t_{1})+h(t_{1})-g(t_{1})|\\ &\leq |f(t_{1}) – h(t_{1})| + |h(t_{1} – g(t_{1}))|\\ & \leq \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |f(t)-h(t)| + \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |h(t)-g(t)| \end{align*} concluimos $d(f,g) \leq d(f,h) + d(h,g)$.
El conjunto $\mathcal{B}(A,\mathbb{R}):= \{ f:A \to \mathbb{R}: f\text{ es acotada}\}$
Definición función acotada. Sea A un conjunto. Decimos que una función $f:A \to \mathbb{R}$ es acotada si existe $M \in \mathbb{R}$ y $x_0 \in \mathbb{R}$ tales que $\forall \, a \in A$ ocurre que $|x_0-f(a)| \leq M$.
Definición espacio de funciones acotadas. El conjunto $$\mathcal{B}(A,\mathbb{R}):= \{ f:A \to \mathbb{R}: f\text{ es acotada}\}$$ es un espacio métrico pues si dos funciones $f,g \in \mathcal{B}(A, \mathbb{R})$ entonces la función $f-g$ también es acotada, por lo tanto existe el $\underset{z\in A}{sup}\,|f(z)-g(z)|$. Esto permite definir la distancia entre ellas como: $$d_\infty (f,g):= \underset{z\in A}{sup}\,|f(z)-g(z)|$$ Y recibe el nombre de métrica uniforme.
Ejemplo de funciones $f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ acotadas.
Demostración: Sean $f,g,h \in \mathcal{B}$ entonces: $(1)$ \begin{align*} d_\infty(f,g)&=0 \\ \Leftrightarrow \underset{z\in A}{sup}\,|(f(z)-g(z)|&=0 \\ \Leftrightarrow \forall \, z \in A, |f(z)-g(z)|&=0 \\ \Leftrightarrow \forall \, z \in A, f(z)&=g(z) \\ \Leftrightarrow f&=g. \\ \text{Por lo tanto: } d_\infty (f,g)=0 &\Leftrightarrow f=g \end{align*}
Ya que conocemos la definición de espacio métrico y que hemos visto cómo demostrar que satisfacen los axiomas de la métrica, conoceremos otros ejemplos más que nos permitirán notar, otras distancias que ya están incluso, en nuestra vida cotidiana.
Tarea moral
¡Es tu turno de practicar! Demuestra para $x,y \in \mathbb R^2$ con $x=(x_{1},x_{2})$ y $y=(y_{1},y_{2})$ que son métricas para $\mathbb R^2$:
