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Nota 39. Ejemplos de sistemas de ecuaciones

Por Julio César Soria Ramírez

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la nota anterior comenzamos el estudio de los sistemas de ecuaciones, ahora veremos cómo determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene o no solución. y cómo encontrar sus soluciones en caso de que existan.

La resolución de sistemas de ecuaciones lineales es un problema fundamental en matemáticas y en diversas áreas de la ingeniería y las ciencias aplicadas. Una técnica comúnmente utilizada para resolver estos sistemas es la eliminación de Gauss-Jordan, que consiste en aplicar operaciones elementales a la matriz aumentada asociada al sistema, que como vimos en la nota anterior no modifica las soluciones del sistema, para obtener una matriz equivalente que sea escalonada reducida por renglones. En esta nueva matriz la solución del sistema asociado se puede obtener fácilmente. En esta nota se explicará paso a paso cómo realizar este proceso, a partir de ejemplos concretos.

Ejemplos

1.

ExpresiónExplicación
4x8y=123x6y=92x+4y=6Inicia con un sistema de ecuaciones lineales.
(4812369246)Considera la matriz aumentada asociada al sistema
y efectúa las operaciones elementales:
14R1,13R2,12R3
(123123123)Efectúa las operaciones elementales:
R2R2R1
R3R3+R1
(123000000)

El sistema se reduce a la ecuación x2y=3 y dos ecuaciones iguales a 0x+0y=0, pero esto último se cumple para todas x,yR, así que debemos analizar sólo qué valores x y y cumplen la ecuación x2y=3.

Observemos que x2y=3 si y sólo si x=3+2y. En este caso podemos dar a y cualquier valor real λ y entonces x queda determinado por el valor que dimos a y. Decimos entonces que y está funcionando como un parámetro.

Las soluciones son:

x=3+2λ,y=λ con λR.

El conjunto de soluciones es :

{(x,y)R2x=3+2λ,y=λ,λR}={(3+2λ,λ)λR)}={(2λ,λ)+(3,0)λR)}={λ(2,1)+(3,0)λR)}

2.

ExpresiónExplicación
5x+2y19z+0w32t=246x+30y21z+30w21t=21x+5y4z+0w7t=53x+15y11z+w14t=12Inicia con un sistema de ecuaciones lineales.
(525190322463021321211540753151111412)Considera la matriz aumentada asociada al sistema
y efectúa las operaciones elementales:
R1R3
13R2
(154075210717752519032243151111412)Efectúa las operaciones elementales:
R2R22R1
R3R35R1
R4R43R1
(154075001173001031001173)Efectúa las operaciones elementales:
R3R32R2
R4R4R2
(154075001173000142000000)Efectúa la operación elemental:
R2R2+R3
(154075001031000142000000)Efectúa las operaciones elementales:
R1R1+4R2
(1)R3
(150051001031000142000000)
x+5y+0z+0w+5t=10x+0y+z+0w+3t=10x+0y+0z+w+4t=2Este sistema es equivalente al sistema con el que empezamos, por lo tanto sus soluciones son las mismas.
x+5y++5t=1+z+3t=1w+4t=2El sistema se puede simplificar omitiendo los términos con coeficiente cero.

Observemos que en el sistema anterior, debido a la forma que tiene, es muy sencillo despejar a x, a z y a w, y al hacerlo quedan en términos de y y de t (las indeterminadas que no tienen como coeficiente al primer elemento no nulo de algún renglón en la matriz escalonada reducida por renglones). Éstas nos servirán entonces como parámetros, ya que eligiendo y y t como cualesquiera números reales, x, z y w quedan determinados por ellos.

Sean entonces α,βR, si t=α y y=β, tenemos que:

x=5β5α1

z=13α

w=4α+2.

Así, el conjunto solución es:

={(5β5α1,β,3α+1,4α+2,α)α,βR}={β(5,1,0,0,0)+α(5,0,3,4,1)+(1,0,1,2,0)α,βR}.

3.

ExpresiónExplicación
x+y+z=32x3y+4z=13x+2y+5z=8Inicia con un sistema de ecuaciones lineales.
(111323413258)Considera la matriz aumentada asociada al sistema
y efectúa las operaciones elementales:
R2R22R1
R3R33R1
(111305250121)Efectúa la operación elemental:
R2R3
(111301210525)Efectúa las operaciones elementales:
R1R1+R2
R3R35R2
(103201210080)Efectúa las operaciones elementales:
18R3
(1)R2
(103201210010)Efectúa las operaciones elementales:
R1R13R3
R2R2+2R3
(100201010010)
x=2y=1z=0Este sistema es equivalente al inicial, por tanto su solución es la misma. Hay una única solución:
{(2,1,0)}.

4.

ExpresiónExplicación
6x+12y6z=243x+9y2z=145x+4y7z=21Inicia con un sistema de ecuaciones lineales.
(6126243921454721)Considera la matriz aumentada asociada al sistema
y efectúa la operación elemental:
16R1
(12143921454721)Efectúa la operaciones elementales:
R2R23R1
R3R35R1
(121403120621)Efectúa la operación elemental:
R3R3+2R2
(121403120005)La última ecuación es:
0x+0y+0z=5 que no tiene solución. Por lo tanto el sistema no tiene solución.

Definición

Decimos que un sistema es incompatible si no tiene solución. Decimos que un sistema es compatible si tiene solución; en este caso decimos que es compatible determinado si tiene una única solución, si hay más de una solución decimos que es compatible indeterminado.

Como se comentó en la nota anterior, el rango de una matriz es la dimensión del espacio generado por sus renglones, pero también coincide con la dimensión del espacio generado por sus columnas. No probaremos este resultado porque va más allá de los objetivos de este curso pero lo enunciaremos y usaremos:

Nota

Sean n y m naturales positivos y AMm×n(R) con A1,,An sus columnas. Tenemos que rkA=dimA1,,An=rkAt.

Teorema

Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución si y sólo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz aumentada.

Demostración

Sean n y m naturales positivos, AMm×n(R) y BMm×1(R).

AX=B tiene solución SRn tal que AS=B

BA1,,An

B,A1,,An=A1,,An

dimB,A1,,An=dimA1,,An

El rango de la matriz aumentada es igual al rango de la matriz de coeficientes.

Tarea Moral

1. En cada inciso encuentra el conjunto solución del sistema

i)

5x+2y3z=253x+y+4z=72x+3y+2z=16

ii)

3x+2y+4z=12xy+5z=85x+y+9z=11

iii)

2x1+x2+x3+x4=0x1+2x2+x3+x4=0x1+x2+2x3+x4=16x1+x2+x3+2x4=0

iv)

x+2yz+3w=73x+6y14z+11w=20

2. ¿Qué ocurre con la última columna de la matriz aumentada de un sistema homogéneo al escalonar la matriz? ¿Es necesario escribir esa última columna al realizar el procedimiento que estudiamos para resolver un sistema homogéneo?

3. En una tienda se venden 23 baterías eléctricas por un total de $79.2. Si el tipo A cuesta $5 el tipo B $2.80 y el tipo C $1.60 por pieza. ¿Cuántas baterías de cada tipo se vendieron?

Más adelante

En la siguiente nota definiremos lo que es el determinante de una matriz.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 38. Sistemas de ecuaciones.

Enlace a la nota siguiente. Nota 40. Determinantes.

Entrada 1. Sistemas numéricos. Naturales y enteros.

Por Julio César Soria Ramírez

Introducción

Como las capas de una cebolla, los sistemas numéricos se contienen unos a otros, ya en la prehistoria tuvimos la necesidad de contar, de llevar un registro de los días transcurridos, o del número de lunas llenas. Hubo pronto la necesidad de partir esos números, y tomarse la mitad, la tercera parte de una cierta medida, por ejemplo del mes lunar; esto dio origen a los números fraccionarios. Nuestro sistema numérico es posicional y de base 10, es decir tenemos 10 símbolos, que son los números 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0, que colocamos en las distintas posiciones: unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc.

Con el desarrollo de nuestra civilización también se ampliaron los sistemas numéricos, y posiblemente derivado del manejo de la finanzas se concibieron los números negativos, esos números que tienen signo y que localizamos a la izquierda del cero en la recta numérica.

Todos estos números, los naturales, los enteros, las fracciones, los números decimales, se encuentran en la recta numérica, y juntos todos se dice que son los números reales.

Los números naturales.

Los primeros números concebidos por la humanidad son los números naturales, y con ellos las 4 operaciones fundamentales:

  • Sumar, que significa agregar a una cantidad otra.

    7+5=12
  • Restar, que significa quitar a una cantidad otra.

    75=2
  • Multiplicar, que se significa amplificar una cantidad por otra.

    75=5
  • Dividir, que significa repartir una cantidad entre otra, o compararla.

    8÷4=2

Estas operaciones nos permiten resolver gran cantidad de problemas de la vida cotidiana, identifica con que operación se resolverían las siguientes situaciones en el huerto:

  1. Las donaciones al huerto este mes fueron de 1500 pesos de Andrés, 400 de Pedro y 350 de Ana. ¿Cuánto lograron juntar?.
  2. De lo juntado en el huerto ese mes, se decidió invertir 300 pesos para comprar semillas de lechuga, ¿Cuánto quedo?.
  3. Si cada sobre de semillas de lechuga cuesta 20 pesos, ¿Cuántos compraron?.
  4. Se decide cultivar una parcela con 500 lechugas, esperando vender cada pieza en promedio en 10 pesos, ¿Cuánto se obtendría?.

En el siguiente recurso de geogebra mueve el deslizador para cambiar la posición del punto, los números naturales avanzan de uno en uno en un proceso sin fin.

Los números enteros.

Vamos a considerar la siguiente situación: Juan decide comprar un nuevo teléfono, tiene 3500 pesos y el teléfono que le gusta cuesta 2800 pesos, efectúa la compra, ¿Cuánto le quedó?. Es claro que tenemos que restar a 3500 los 2800.

35002800=700

Pero y si la situación fuese al revés, si Juan solo tuviera 2800 pesos y se compra un teléfono que vale 3500, la pregunta es: ¿Cómo le hizo?. Si uno se detiene a pensar está situación, la única manera de que Juan comprara su teléfono, ¡es pidiendo prestado!.

Vamos a interpretar de ahora en adelante, la resta de 2800 menos 3500, con la deuda que se tuvo que adquirir, es decir 700, añadiremos el signo negativo al resultado y escribiremos:

28003500=700

Estos números con signo negativo los vamos a situar a la izquierda del número cero, y avanzaran en saltos a la izquierda de uno en uno, creando el conjunto de los números negativos.

En el siguiente recurso de geogebra mueve el deslizador para cambiar la posición del punto. Observa que los números negativos se encuentran a la izquierda del cero.

Juntos, el conjunto de los números negativos y el conjunto de los números naturales, forman el conjunto de los números enteros.

Efectúa las siguientes restas:

74=?

47=?

255=?

525=?

25100=?

Reflexiona:
¿En que otras situaciones se usan los números enteros además de la deuda?

Así como se hizo con los números naturales, aprenderemos las operaciones fundamentales con enteros, suma, resta, multiplicación y división.

La suma se traga a la resta


Sumar es añadir, cuando sumamos dos números enteros positivos, a la primera cantidad le agregamos la segunda. En la recta numérica nos situamos en el entero correspondiente a la primera cantidad y avanzamos a la derecha saltos de tamaño uno tantas veces como lo indique la segunda cantidad, para obtener el resultado.

5+7=12

Pero ahora tenemos estos nuevos números negativos, puedo ahora a un número positivo sumarle un número negativo, y lo voy a interpretar en la recta numérica de la siguiente manera:

Me situó en la primera cantidad (la positiva), y como el número que le voy a sumar es negativo, avanzamos a la izquierda saltos de tamaño uno tantas veces como lo indique la segunda cantidad, para obtener el resultado.

5+(7)=2

Nota que el resultado es lo mismo que la resta de 5 menos 7:

57=2

Observa que: las restas de números positivos se pueden ver como la suma de un positivo con un número negativo, y viceversa también, las sumas de un positivo con un negativo se pueden ver como la resta de dos positivos.

Transforma las siguientes sumas en restas:

9+(3)
7+(8)
8+(12)

Transforma las siguientes restas en sumas:

913
178
812

Inversos aditivos


Para cada número entero, existe otro de tal forma que al sumarse entre si el resultado es cero:
7+(7)=017+(17)=0177+(177)=0

Observa que a cada número se le suma su inverso, es decir el mismo número pero con signo negativo.

Reflexiona lo siguiente:

¿Cuál es el inverso aditivo de 5?

Después de meditarlo te das cuenta que es el mismo número pero precedido del signo , es decir 5, así:

5+(5)=0

Piensa ahora en lo siguiente: ¿Cuál es el inverso aditivo del número negativo 10?, recuerda que es un número que sumado con 10 te de como resultado cero.

¿Qué número se tiene que poner en el espacio faltante para que el resultado sea cero?
10+10=0

Después de pensarlo un momento uno se da cuenta que ese número es el 10, pero por otra parte como es el inverso de 10, es el mismo número 10 pero precedido del signo , es decir (10).

Por lo que acabamos de obtener que:

10+10=10+(10)=0

De está forma acabamos de ver que 10=(10), es decir el inverso del inverso de 10, es el número positivo 10.

Como todas las restas se pueden ver como sumas y gracias a los inversos aditivos, ahora tendrá sentido restar números negativos.

Si tenemos la resta de un número positivo con uno negativo:

9(3)

Primero la transformaremos en una suma, sumándole el inverso aditivo del segundo número:

9(3)=9+((3))

Pero como el inverso aditivo de un negativo es un positivo concluimos que:

9(3)=9+((3))=9+3

Efectúa las siguientes restas:

7(17)=11(10)=177(1)=

Más adelante

El hecho de que toda resta se puede ver como suma, y que el inverso aditivo de un número negativo es un número positivo será el motivo de las llamadas leyes de los signos, que daremos en la siguiente nota.

Nota 33. Matrices.

Por Julio César Soria Ramírez

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Una matriz es un objeto matemático que se compone de una colección ordenada de números, llamados elementos, dispuestos en filas y columnas. Las matrices se utilizan en numerosas áreas de las matemáticas, la física, la informática, la ingeniería y otras disciplinas para manipular y analizar datos, realizar cálculos y resolver problemas. Bajo las condiciones adecuadas las matrices se pueden sumar, multiplicar, transformar mediante operaciones matriciales, etc. para obtener información relevante. Las matrices también se utilizan en la representación de sistemas lineales de ecuaciones.

Ve el siguiente video:

Definición

Sean n y m naturales positivos y K un conjunto. Una matriz A con entradas en K de m renglones y n columnas es una función:

A:{1,2,,m}×{1,2,,n}K.

Decimos en este caso que A es una matriz de tamaño m×n o simplemente una matriz m×n.

Al elemento de K A(i,j) se le llama la entrada ij de A.

Decimos que A es una matriz cuadrada si m=n, que es una matriz renglón si m=1 y que es una matriz columna si n=1.

Notación

A(i,j) se denotará por Aij o por aij

A se describirá mediante una tabla con m renglones y n columnas o de forma abreviada como (aij):

A=(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn)=(aij)

Nota: Usualmente consideraremos K=R o de modo más general K un campo.

Ejemplos

1. Considera la siguiente matriz de tamaño 3×2:

A=(0124π70).

A11=0,A12=12,A21=4,A22=π,A31=7,A32=0.

2. Considera la siguiente matriz cuadrada de tamaño 2×2:

B=(1552).

B11=1,B12=5,B21=5,B22=2.

3. Considera la siguiente matriz columna de tamaño 3×1:

C=(395).

C11=3,C21=9,C31=5.

4. Considera la siguiente matriz renglón de tamaño 1×4:

D=(1234).

D11=1,D12=2,D13=3,D14=4.

Definición

Sean n,m,r y s naturales positivos y K un conjunto. Sea A una matriz m×n con entradas en K y B una matriz r×s con entradas en K.

Decimos que A es igual a B si:

m=r,n=s y Aij=Biji{1,,n},j{1,,n}.

Es decir dos matrices son iguales si tienen la misma cantidad de renglones, la misma cantidad de columnas, y coinciden entrada a entrada.

Definición

Sean n y m naturales positivos, A y B matrices m×n con entradas en R. La suma de A y B es la matriz A+B de m×n tal que (A+B)ij=Aij+Bij.

Dado λR el producto escalar de λ por A es la matriz λA de m×n tal que (λA)ij=λAij.

Notación.

Dados n y m naturales positivos Mm×n(R)={AAesunamatrizm×nconentradasreales}.

Ejemplos

1. A=(120431215), B=(203571142).

A+B=(32311032543).

Si λ=2

λA=2A=(240861210).

2. C=(112013), D=(2048).

C+D=(3124253).

Si λ=14

λD=14D=(12012).

Proposición

Sean n y m naturales positivos, A,B,CMm×n(R),λ,μR.

Se cumplen las siguientes propiedades:

1. (A+B)+C=A+(B+C)

2. A+B=B+A

3. Existe θMm×n(R) tal que:

A+θ=θ+A=AAMm×n(R).

4. Para cada AMm×n(R) existe A~Mm×n(R) tal que:

A+A~=A~+A=θ

5. 1A=AAMm×n(R)

6. λ(μA)=(λμ)A

7. (λ+μ)A=λA+μA

8. λ(A+B)=λA+λB

Demostración

Vamos a probar las propiedades 1,3 y 7. Las demás se dejan al lector. Recuerda no confundir las operaciones entre matrices, con las operaciones en los números reales.

Sean n y m naturales positivos, A,B,CMm×n(R),λ,μR.

Demostración de la propiedad 1

Por demostrar que (A+B)+C=A+(B+C).

Como A+BMm×n(R) y CMm×n(R) entonces (A+B)+CMm×n(R).

Como AMm×n(R) y B+CMm×n(R) entonces A+(B+C)Mm×n(R).

Considera a i{1,,m},j{1,,n}

Explicación de las igualdades
(A+(B+C))ij=Partimos de un elemento arbitrario ij
de la matriz A+(B+C).
=Aij+(B+C)ijPor definición de suma de matrices.
=Aij+(Bij+Cij)Por definición de suma de matrices.
=(Aij+Bij)+CijPor asociatividad en R.
=(A+B)ij+CijPor definición de suma de matrices.
=((A+B)+C)ijPor definición de suma de matrices.

Por lo tanto A+(B+C) y (A+B)+C son matrices del mismo tamaño y para toda i y para toda j tenemos que (A+(B+C))ij=((A+B)+C)ij. Así, A+(B+C)=(A+B)+C.

Demostración de la propiedad 3

Sea θMm×n(R) tal que θij=0i,j. Sea AMm×n(R).

Por demostrar que A+θ=θ+A=A.

Sabemos que A+θMm×n(R). Sean i{1,,m},j{1,,n}.

Explicación de las igualdades
(A+θ)ij=Partimos de un elemento arbitrario ij
de la matriz A+θ.
=Aij+θijPor definición de suma de matrices.
=Aij+0Por definición de θ: θij=0,i,j.
=Aij0 es el neutro en R.

Por lo tanto A+θ y A son matrices del mismo tamaño y para toda i y para toda j tenemos que (A+θ)ij=Aij. Así, A+θ=A. Análogamente θ+A=A.

Demostración de la propiedad 7

Por demostrar que (λ+μ)A=λA+μA.

Sabemos que (λ+μ)AMm×n(R). También λAMm×n(R) y μAMm×n(R) por lo que λA+μAMm×n(R). Sean i{1,,m},j{1,,n}.

Explicación de las igualdades
((λ+μ)A)ij=Partimos un elemento arbitrario ij
de la matriz (λ+μ)A.
=(λ+μ)AijPor definición del producto por escalar de matrices.
=λAij+μAijPor la distributividad en R.
=(λA)ij+(μA)ijPor definición del producto por escalar de matrices.
=(λA+μA)ijPor definición de suma de matrices.

Por lo tanto (λ+μ)A y λA+μA son matrices del mismo tamaño y para toda i y para toda j tenemos que ((λ+μ)A)ij=(λA+μA)ij. Así, (λ+μ)A=λA+μA.

◻

Observa que Mm×n(R) cumple entonces propiedades análogas a las que cumple Rn con las operaciones de suma y producto por escalar. Debido a ello se le llama también un R-espacio vectorial.

Se cumplen diversas propiedades que se desprenden de las anteriores, cuya pruebas son análogas a las que se realizaron en la unidad anterior para Rn, como por ejemplo:

El neutro aditivo θ es único y es la matriz de ceros. La prueba de la unicidad se deja de tarea moral.

El inverso aditivo de A es único y es (1)A, se denota por A. Esta prueba se deja de tarea moral.

Tarea Moral

1. Considera la matriz:

A=(439712334012211π)

i) Encuentra el tamaño de A.

ii) Determina cuál es la entrada A24.

iii) Expresa al primer renglón de A como una matriz renglón y a la tercera columna de A como una matriz columna, indicando en cada caso el tamaño de ambas matrices.

2. Considera las siguientes matrices:

A=(3527411) y B=(6340415)

Obtén 7A+B y encuentra la matriz X tal que 15B+4X=A.

3. Compara las propiedades de suma y producto por escalar de matrices con las de Rn.

4. Sean n y m naturales positivos. Prueba que el neutro aditivo de Mm×n(R) es único.

5. Sean n y m naturales positivos. Prueba que cada AMm×n(R) tiene un único inverso aditivo.

6. Sean n y m naturales positivos,. Sean A,B,CMm×n(R) y λR. Prueba o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones.

i) Si A+C=B+C, entonces A=B.

ii) Si λA es la matriz nula, entonces λ=0.

iii) Si λA=A, entonces λ=1.

iv) (1)A es el inverso aditivo de A.

7. Sean n y m naturales positivos y AMm×n(R). Sea tN. ¿Podremos sumar A t veces, sin importar qué tan grande sea t?, ¿podremos sumar A una infinidad de veces?

Más adelante

En la siguiente nota definiremos la multiplicación de matrices, así como la matriz identidad, las matrices inversas y las transpuestas.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 32. Dimensión de un Respacio vectorial

Enlace a la nota siguiente. Nota 34. Multiplicación de matrices, identidad, inversas y transpuesta.

Nota 32. Dimensión de un Respacio vectorial

Por Julio César Soria Ramírez

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la presente entrada entenderemos lo que es la dimensión de un espacio vectorial. Ésta será la cardinalidad de cualquiera de sus bases y estará bien definida ya que como hemos visto todas las bases tienen la misma cantidad de elementos. Así como podemos completar un conjunto linealmente independiente de V agregando vectores hasta obtener una base de V, también podemos, a partir de un conjunto generador γ de V, obtener una base de V quitando vectores.

Definición

Sea V un subespacio de Rn. La dimensión de V es la cardinalidad de cualquiera de sus bases.

Notación: dimRV o simplemente dimV.

Ejemplos

1. dimRn=n ya que {e1,,en} es una base de Rn.

2. Considera el subespacio de R2 dado por V={(x,y)R2x+3y=0}. Notemos que

V={(x,y)R2x+3y=0}={(x,y)R2x=3y}={(3y,y)R2yR}={y(3,1)R2yR}=(3,1).

Así, {(3,1)} genera a V. Se deja al lector verificar que además {(3,1)} es l.i, entonces es una base de V. Por lo tanto dimV=1.

3. Considera el subespacio de R4 dado por W={(x,y,z,w)R43x+2yz+4w=0}. Observemos que

W={(x,y,z,w)R43x+2yz+4w=0}={(x,y,z,w)R4x=23y+13z43w}={(23y+13z43w,y,z,w)R4y,z,wR}={y(23,1,0,0)+z(13,0,1,0)+w(43,0,0,1)R4y,z,wR}=(23,1,0,0),(13,0,1,0),(43,0,0,1).

Así, {(23,1,0,0),(13,0,1,0),(43,0,0,1)} genera a W. Se deja al lector verificar que además {(23,1,0,0),(13,0,1,0),(43,0,0,1)} es l.i, entonces es una base de W y por lo tanto dimW=3.

Lema

Sea V un subespacio de Rn, m un natural positivo y v1,,vmV vectores distintos tales que {v1,,vm} es l.d. Entonces existe vj{v1,,vm} tal que v1,,vj,,vm=v1,,vj1,vj+1,,vm.

Demostración

Sean VRn, m un natural positivo y v1,,vmV distintos tales que {v1,,vm} es l.d. Existen entonces λ1,,λmR no todos nulos tales que:

λ1v1++λmvm=0¯.

Como λ1,,λm no son todos nulos, podemos considerar j{1,2,,m} tal que λj0. Así:

(1)vj=λ1λjv1λj1λjvj1λj+1λjvj+1λmλjvm(2)=i{1,,m},ijλiλjvi.

Sabemos que v1,,vj1,vj+1,,vmv1,,vj,,vm.

Ahora si wv1,,vj,,vm existen μ1,,μmR tales que:

w=μ1v1++μjvj++μmvm

y sustituyendo vj de acuerdo a su expresión en 2

w=μ1v1++μj(i{1,,m},ijλiλjvi)++μmvm.

Entonces w es una combinación lineal del conjunto {v1,,vj1,vj+1,,vm} y por lo tanto wv1,,vj1,vj+1,,vm, probando con ello que v1,,vj,,vmv1,,vj1,vj+1,,vm. Así, tenemos la igualdad buscada:

v1,,vj,,vm=v1,,vj1,vj+1,,vm.

◻

Teorema

Sea V un subespacio de Rn. Todo conjunto generador finito de V se puede reducir a una base de V, es decir, si S es un conjunto generador finito de V, existe βS tal que β es una base de V.

Demostración

Sea VRn, m un natural positivo y v1,,vmV distintos tales que S={v1,,vm} genera a V.

Si S es l.i., entonces es una base de V.

Si S es l.d., por el lema existe vjS tal que v1,,vj,,vm=v1,,vj1,vj+1,,vm=V.

Si {v1,,vj1,vj+1,,vm} es l.i., entonces es una base de V.

Si {v1,,vj1,vj+1,,vm} es l.d. continuamos con este procedimiento (usando el lema) hasta obtener un subconjunto β de {v1,,vm} l.i. y tal que β=V. β será entonces una base de V contenida en S.

◻

Corolario

Sean mN y V un subespacio de Rn de dimensión m. Tenemos que:

a) Cualquier conjunto generador de V con m elementos es una base de V.

b) Cualquier conjunto linealmente independiente en V con m elementos es una base de V.

Demostración

La demostración se deja como tarea moral.

Teorema

Sean V y W subespacios de Rn con WV.

a) Toda base de W se puede completar a una base de V.

b) dimWdimV.

c) Si dimW=dimV, entonces W=V.

Demostración

Demostración de a)

Se deja al lector realizar la demostración adaptando el procedimiento mediante el que se probó que todo subespacio de Rn tiene una base en la nota anterior.

Demostración de b)

Sean γ una base de W y β una base de V. Como γ es l.i. en V y β es un generador de V por la una nota en la entrada anterior se tiene que dimW=#γ#β=dimV.

Demostración de c)

Supongamos que dimW=dimV=m.

Sea γ una base de W. Sabemos que γ es l.i. en V con dimW=m. Por el corolario anterior γ es una base de V y entonces W=γ=V.

◻

Tarea Moral

1. Considera al espacio vectorial R3 sobre el campo de los reales y al subespacio:

W=(1,7,5),(2,10,2),(3,11,1),(1,5,1).

Encuentra una base de W reduciendo el conjunto generador dado.

2. Considera al espacio vectorial R3 sobre el campo de los reales y los subespacios de R3 dados por:

i) W={(x,y,z)R3y=2x,z=3x}

ii) V={(x,y,z)R3x+2y=z}.

En cada inciso encuentra una base para cada subespacio y determina la dimensión del subespacio..

3. Demuestra el corolario de la presente nota.

Más adelante

Con esta nota terminamos la unidad 3, en la siguiente y última unidad haremos un estudio de las matrices y sus determinantes.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 31. Bases de Rn.

Enlace a la nota siguiente. Nota 33. Matrices.

Nota 31. Bases de Rn

Por Julio César Soria Ramírez

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la presente nota veremos el concepto de base de un subespacio vectorial, es decir un conjunto de vectores linealmente independiente, cuyo generado nos da el subespacio vectorial. Este concepto es muy importante pues nos permite describir a los elementos de un subespacio a partir de algunos vectores en el subespacio de forma única.

Definición

Sean V un subespacio de Rn y β un subconjunto de V. Decimos que β es una base de V si genera a V y es linealmente independiente. Decimos que V es de dimensión finita si tiene una base finita.

Ejemplos

1. En este ejemplo obtendremos una base para el espacio vectorial Rn. Considera el vector cuyas entradas son todas cero excepto la i-ésima que es uno:

ei=(0,,1,,0).

Veamos que C={e1,,en} es l.i. Sean λ1,,λnRn tales que:

λ1e1++λnen=0¯.

Entonces tenemos

λ1(1,0,,0)+λ2(0,1,,0)++λn(0,0,,0,1)=(0,0,,0).

Desarrollando resulta que

(λ1,λ2,,λn)=(0,0,,0)

y comparando coordenada a coordenada concluimos que

λ1=λ2==λn=0.

Por lo tanto C={e1,,en} es l.i.

Veamos que C={e1,,en} genera a Rn. Sabemos que CRn ya que e1,,enRn, y por lo tanto toda combinación lineal de ellos es un vector en Rn.

Ahora si (x1,x2,,xn)Rn

(x1,x2,,xn)=x1(1,0,,0)+x2(0,1,,0)++xn(0,0,,1).

Observa que x1(1,0,,0)+x2(0,1,,0)++xn(0,0,,1) es una combinación lineal de los elementos de C={e1,,en}, es decir x1(1,0,,0)+x2(0,1,,0)++xn(0,0,,1)C. Así, cualquier vector en Rn es un elemento en C, es decir RnC.

Concluimos que Rn=C.

Como el conjunto C={e1,,en} es linealmente independiente y genera a Rn, es una base de Rn, se le llama la base canónica de Rn.

2. Consideremos el subespacio de R3 dado por W={(x,y,z)R3xy+2z=0}. Busquemos una base de W.

Notemos que si (x,y,z)W, entonces xy+2z=0, o bien x=y2z. Así,

(x,y,z)=(y2z,y,z)=y(1,1,0)+z(2,0,1).

Entonces

W={y(1,1,0)+z(2,0,1)y,zR}=(1,1,0),(2,0,1).

Con ello hemos probado que el conjunto S={(1,1,0),(2,0,1)} genera a W, así que sólo falta ver que es un conjunto linealmente independiente para verificar que es una base de W.

Para ver que S es linealmente independiente veamos que la única manera de obtener al vector cero como combinación lineal de (1,1,0),(2,0,1)W, es la trivial. Pero esto es cierto pues si λ,μR son tales que

λ(1,1,0)+μ(2,0,1)=(0,0,0),

desarrollando tenemos que:

(λ2μ,λ,μ)=(0,0,0)

y comparando coordenada a coordenada obtenemos que

(3)λ2μ=0(4)λ=0(5)μ=0.

Por lo tanto λ=μ=0.

Así, S={(1,1,0),(2,0,1)} es l.i.

Concluimos que S es un conjunto de vectores l.i y S=W, entonces S es una base de W. Así, S={(1,1,0),(2,0,1)} es una base de W.

Entendamos un poco más quién es W. Observamos que de hecho W es un plano que pasa por el origen, y tanto (1,1,0) como (2,0,1) son vectores en dicho plano. W es entonces el plano definido por estos dos vectores. Notemos que cualquier combinación lineal de (1,1,0) y (2,0,1) será también un vector en el plano W y todo vector en W se puede obtener como una combinación lineal de dichos vectores. Además, como (1,1,0) y (2,0,1) no son colineales, por el lema de la nota previa forman un conjunto linealmente independiente.

Observa en el siguiente recurso que elaboré en Geogebra cómo cualquier combinación lineal de los vectores (1,1,0),(2,0,1), es un elemento del plano que pasa por el origen y la punta de los vectores (1,1,0) y (2,0,1), que son los vectores en color rosa. Este plano está en color azul, mientras que el plano en color gris es el plano xy.

Puedes también mover los puntos A y B para cambiar el par de vectores con los que se construye el plano y ver cómo es el generado de esos vectores. Mueve A y B de manera que sean colineales y constata que el generado en ese caso se limita a una recta.

El siguiente resultado se puede probar usando sistemas de ecuaciones. El lector interesado puede escribir la demostración siguiendo las ideas del Teorema 7 en la página 181del libro de Anton que aparece en la bibliografía del curso.

Nota

Sean V un subespacio de Rn y m un natural positivo. Si {v1,,vm} es un conjunto con m vectores que genera a V, todo conjunto l.i de V tiene a lo más m elementos. En consecuencia todo conjunto l.i de Rn tiene a lo más n elementos.

Lema

Sean m un natural positivo y {v1,,vm} un conjunto l.i con m vectores en Rn. Si wRn es tal que wv1,,vm entonces {v1,,vm,w} es l.i.

Demostración

Sean m un natural positivo y {v1,,vm}Rn un conjunto l.icon m vectores y wRn con wv1,,vm.

Sean λ1,,λm+1R tales que

λ1v1++λmvm+λm+1w=0¯.

Si λm+10 tendríamos que

w=λ1λm+1v1λmλm+1vm,

entonces w sería una combinación lineal de los elementos del conjunto {v1,,vm}, y por lo tanto wv1,,vm. Pero esto es una contradicción a nuestra hipótesis, así λm+1=0, de donde λ1v1++λmvm=0¯ y como {v1,,vm} es l.i. tenemos que λ1=λ1==λm=0. Concluimos que λ1=λ1==λm=λm+1=0 y por lo tanto {v1,,vm,w} es l.i.

◻

Teorema

Sea V un subespacio de Rn. Existe β una base de V.

Demostración

Sea VRn. Si V={0¯}, es l.i y ={0¯}=V.

Si V{0¯} existe v1V tal que v10¯.

Puede suceder que v1=V en cuyo caso {v1} es una base de V.

Si v1V, sea v2Vv1. Por el lema antes probado {v1,v2} es l.i.

Si {v1,v2} genera a V, {v1,v2} es una base de V.

Si v1,v2V, sea v3Vv1,v2. Por el lema antes probado {v1,v2,v3} es l.i.

Continuando de este modo obtenemos conjuntos de la forma {v1,,vt}, l.i. en cada paso. Por la nota anterior, en cada paso tn así que el proceso es finito y en algún momento (a lo mucho después de n pasos), obtenemos un conjunto β={v1,,vm}V, con mn, un conjunto l.i que genera a V y sería entonces una base de V.

Por lo tanto V tiene una base.

◻

Corolario

Sea V un subespacio de Rn. Todo conjunto l.i de V se puede completar a una base de V, es decir, si β es un conjunto l.i de V, existe γ con βγ tal que γ es una base de V.

Demostración

Esta demostración queda como tarea moral.

Teorema

Sea V un subespacio de Rn. Todas las bases de V son finitas y tienen el mismo número de elementos.

Demostración

Sea V un subespacio de Rn y sean β,β bases de V.

Por la nota que aparece en esta entrada β y β son finitas y además como:

β es l.i y β genera a V, entonces #β#β.

β es l.i y β genera a V, entonces #β#β.

Por lo tanto #β=#β.

◻

Tarea Moral

1. Considera al espacio vectorial R3 sobre el campo de los reales y el subconjunto de R3 indicado en cada inciso. Encuentra una base de R3 que contenga a S:

i) S={(1,0,1)}.

ii) S={(2,1,5),(3,0,2)}.

2. Considera al espacio vectorial R3 sobre el campo de los reales. Encuentra al menos tres bases para el subespacio W={(x,y,z)R3x3y+4z=0}. ¿Cuántos elementos tienen estas bases?

3. Encuentra bases para los siguientes subespacios del correspondiente Rn visto como espacio vectorial sobre los reales:

i) {(x,y,z)R33x2y+5z=0}

ii) {(x,y,z,w)R4x=y+w}

Más adelante

En la siguiente nota veremos el concepto de dimensión de un espacio vectorial.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 30. Dependencia e independencia lineal

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