(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En la nota anterior comenzamos el estudio de los sistemas de ecuaciones, ahora veremos cómo determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene o no solución. y cómo encontrar sus soluciones en caso de que existan.
La resolución de sistemas de ecuaciones lineales es un problema fundamental en matemáticas y en diversas áreas de la ingeniería y las ciencias aplicadas. Una técnica comúnmente utilizada para resolver estos sistemas es la eliminación de Gauss-Jordan, que consiste en aplicar operaciones elementales a la matriz aumentada asociada al sistema, que como vimos en la nota anterior no modifica las soluciones del sistema, para obtener una matriz equivalente que sea escalonada reducida por renglones. En esta nueva matriz la solución del sistema asociado se puede obtener fácilmente. En esta nota se explicará paso a paso cómo realizar este proceso, a partir de ejemplos concretos.
Ejemplos
Expresión | Explicación |
Inicia con un sistema de ecuaciones lineales. | |
Considera la matriz aumentada asociada al sistema y efectúa las operaciones elementales: | |
Efectúa las operaciones elementales: | |
El sistema se reduce a la ecuación
Observemos que
Las soluciones son:
El conjunto de soluciones es :
Expresión | Explicación |
Inicia con un sistema de ecuaciones lineales. | |
Considera la matriz aumentada asociada al sistema y efectúa las operaciones elementales: | |
Efectúa las operaciones elementales: | |
Efectúa las operaciones elementales: | |
Efectúa la operación elemental: | |
Efectúa las operaciones elementales: | |
Este sistema es equivalente al sistema con el que empezamos, por lo tanto sus soluciones son las mismas. | |
El sistema se puede simplificar omitiendo los términos con coeficiente cero. |
Observemos que en el sistema anterior, debido a la forma que tiene, es muy sencillo despejar a
Sean entonces
Así, el conjunto solución es:
Expresión | Explicación |
Inicia con un sistema de ecuaciones lineales. | |
Considera la matriz aumentada asociada al sistema y efectúa las operaciones elementales: | |
Efectúa la operación elemental: | |
Efectúa las operaciones elementales: | |
Efectúa las operaciones elementales: | |
Efectúa las operaciones elementales: | |
Este sistema es equivalente al inicial, por tanto su solución es la misma. Hay una única solución: |
Expresión | Explicación |
Inicia con un sistema de ecuaciones lineales. | |
Considera la matriz aumentada asociada al sistema y efectúa la operación elemental: | |
Efectúa la operaciones elementales: | |
Efectúa la operación elemental: | |
La última ecuación es: |
Definición
Decimos que un sistema es incompatible si no tiene solución. Decimos que un sistema es compatible si tiene solución; en este caso decimos que es compatible determinado si tiene una única solución, si hay más de una solución decimos que es compatible indeterminado.
Como se comentó en la nota anterior, el rango de una matriz es la dimensión del espacio generado por sus renglones, pero también coincide con la dimensión del espacio generado por sus columnas. No probaremos este resultado porque va más allá de los objetivos de este curso pero lo enunciaremos y usaremos:
Nota
Sean
Teorema
Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución si y sólo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz aumentada.
Demostración
Sean
Tarea Moral
Más adelante
En la siguiente nota definiremos lo que es el determinante de una matriz.
Enlaces relacionados
Enlace a la nota anterior. Nota 38. Sistemas de ecuaciones.
Enlace a la nota siguiente. Nota 40. Determinantes.