(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la nota anterior desarrollamos la teoría para la resolución de sistemas de ecuaciones, ahora veremos cómo encontrar dichas soluciones.

La resolución de sistemas de ecuaciones lineales es un problema fundamental en matemáticas y en diversas áreas de la ingeniería y ciencias aplicadas. Una técnica comúnmente utilizada para resolver estos sistemas es la eliminación de Gauss-Jordan, que consiste en aplicar operaciones elementales a las ecuaciones del sistema, que como vimos en la nota anterior no modifica las soluciones del sistema, para obtener una matriz equivalente que sea escalonada reducida por renglones. Esta matriz tiene la ventaja de que la solución del sistema asociado es fácilmente obtenible. En esta nota se explicará paso a paso cómo realizar este proceso, a partir de ejemplos concretos.

Ejemplos

$1.$

Expresión	Explicación
$\begin{array}{rl} 4x-8y &=12\\ 3x-6y &=9\\-2x+4y &=-6 \end{array}$	Inicia con un sistema de ecuaciones lineales.
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr|r} 4 & -8 & 12 \\ 3 & -6 & 9 \\ -2 & 4 & -6 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Considera la matriz aumentada asociada al sistema y efectúa las operaciones elementales: $\frac{1}{4}R_1,\,\frac{1}{3}R_2,\,\frac{1}{2}R_3$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & -2 & 3 \\ 1 & -2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa las operaciones elementales: $R_2\to R_2-R_1$ $R_3\to R_3+R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{equation*}$

El sistema se reduce a $x-2y=3$ y dos ecuaciones iguales a $0x+0y=0$, pero esto último se cumple para todas $x,y\in\mathbb{R}$, así que debemos analizar sólo qué valores $x$ y $y$ cumplen que $x-2y=3$.

Observemos que $x-2y=3$ si y sólo si $x=3+2y$. En este caso podemos dar a $y$ cualquier valor real $\lambda$, y entonces $x$ queda determinado por el valor que dimos a $y$. A $y$ se le llama parámetro.

Las soluciones son:

$x=3+2\lambda,\,y=\lambda$ con $\lambda\in \mathbb R .$

El conjunto de soluciones es :

$\begin{array}{l}\set{(x,y)\in \mathbb R^2\mid x=3+2\lambda,y=\lambda,\,\lambda\in\mathbb R} \\ = \set{(3+2\lambda,\lambda) \mid \lambda\in\mathbb R)} \\ =\set{(2\lambda,\lambda)+(3,0) \mid \lambda\in\mathbb R)} \\ = \set{\lambda(2,1)+(3,0) \mid \lambda\in\mathbb R)} \end{array}$

$2.$

Expresión	Explicación
$\begin{array}{rlr}5x+2y-19z+0w-32t &=&-24\\ 6x+30y-21z+30w-21t &=&-21 \\x+5y-4z+0w-7t &=&5 \\ 3x+15y-11z+w-14t &=&-12 \end{array}$	Inicia con un sistema de ecuaciones lineales.
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc|r} 5 & 25 & -19 & 0 & -32 & -24\\ 6 & 30 & -21 & 3 & -21 & -21 \\ 1 & 5 & -4 & 0 & -7 & -5 \\ 3 & 15 & -11 & 1 & -14 &-12 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Considera la matriz aumentada asociada al sistema y efectúa las operaciones elementales: $R_1\leftrightarrow R_3$ $\frac{1}{3}R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc|r} 1 & 5 & -4 & 0 & -7 & -5\\ 2 & 10 & -7 & 1 & -7 & -7 \\ 5 & 25 & -19 & 0 & -32 & -24 \\ 3 & 15 & -11 & 1 & -14 &-12 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa las operaciones elementales: $R_2\to R_2-2R_1$ $R_3\to R_3-5R_1$ $R_4\to R_4-3R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc|r} 1 & 5 & -4 & 0 & -7 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 7 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 7 &3 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa las operaciones elementales: $R_3\to R_3-2R_2$ $R_4\to R_4-R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc|r} 1 & 5 & -4 & 0 & -7 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 7 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa la operación elemental: $R_2\to R_2+R_3$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc|r} 1 & 5 & -4 & 0 & -7 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa las operaciones elementales: $R_1\to R_1+4R_2$ $(-1)R_3$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc|r} 1 & 5 & 0 & 0 & 5 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 \end{array}\right) \end{equation*}$
$\begin{array}{rlr}x+5y+0z+0w+5t &=&-1\\ 0x+0y+z+0w+3t &=&1 \\0x+0y+0z+w+4t &=&2 \end{array}$	Este sistema es equivalente al sistema con el que empezamos, por lo tanto sus soluciones son las mismas.
$\begin{array}{llllllr}x&+5y+&&&+5t &=&-1\\ &&+z&&+3t &=&1 \\&&&w&+4t &=&2 \end{array}$	El sistema se puede simplificar omitiendo los términos con coeficiente cero.

Observemos que en el sistema anterior, debido a la forma que tiene, es muy sencillo despejar a $x$, a $z$ y a $w$, y al hacerlo quedan en términos de $y$ y de $t$ (las indeterminadas que no tienen como coeficiente al primer elemento no nulo de algún renglón en la matriz escalonada reducida por renglones). Éstas nos servirán entonces como parámetros, ya que eligiendo $y$ y $t$ como cualesquiera números reales, $x$, $z$ y $w$ quedan determinados por ellos.

Sean entonces $\alpha,\beta\in \mathbb R$, si $t=\alpha$ y $y=\beta$, tenemos que:

$x=-5\beta-5\alpha-1$

$z=1-3\alpha$

$w=-4\alpha +2.$

Así, el conjunto solución es:

$\begin{align*}\phantom{=}&\set{(-5\beta-5\alpha-1,\beta,-3\alpha+1,-4\alpha+2,\alpha)\mid \alpha,\beta \in\mathbb R} \\ =& \set{\beta(-5,1,0,0,0)+\alpha(-5,0,-3,-4,1)+(-1,0,1,2,0)\mid \alpha,\beta \in\mathbb R } .\end{align*}$

$3.$

Expresión	Explicación
$\begin{array}{rlr} x+y+z &=-3\\ 2x-3y+4z &=1 \\3x+2y+5z &=8 \end{array}$	Inicia con un sistema de ecuaciones lineales.
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\ 2 & -3 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 5 & 8 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Considera la matriz aumentada asociada al sistema y efectúa las operaciones elementales: $R_2\to R_2-2R_1$ $R_3\to R_3-3R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\ 0 & -5 & 2 & -5 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa la operación elemental: $R_2\leftrightarrow R_3$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\ 0 & -1 & 2 & -1\\ 0 & -5 & 2 & -5 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa las operaciones elementales: $R_1\to R_1+R_2$ $R_3\to R_3-5R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 2\\ 0 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & -8 & 0 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa las operaciones elementales: $\frac{1}{8} R_3$ $(-1) R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa las operaciones elementales: $R_1\to R_1-3R_3$ $R_2\to R_2+2 R_3$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{equation*}$
$\begin{array}{rrrr} x& &&=2\\&y &&=1 \\&&z &=0 \end{array}$	Este sistema es equivalente al inicial, por tanto su solución es la misma. Hay una única solución: $\set{(2,1,0)}.$

$4.$

Expresión	Explicación
$\begin{array}{rlr}6x+12y-6z &=24\\ 3x+9y-2z &=14 \\5x+4y-7z &=21 \end{array}$	Inicia con un sistema de ecuaciones lineales.
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 6 & 12 & -6 & 24\\ 3 & 9 & -2 & 14 \\ 5 & 4 & -7 & 21 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Considera la matriz aumentada asociada al sistema y efectúa la operación elemental: $\frac{1}{6}R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4\\ 3 & 9 & -2 & 14 \\ 5 & 4 & -7 & 21 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa la operaciones elementales: $R_2\to R_2-3R_1$ $R_3\to R_3-5R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4\\ 0 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -6 & -2 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	Efectúa la operación elemental: $R_3\to R_3+2 R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4\\ 0 & 3 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}\right) \end{equation*}\sim$	La última ecuación es: $0x+0y+0z=5$ que no tiene solución. Por lo tanto el sistema no tiene solución.

Definición

Decimos que un sistema es incompatible si no tiene solución. Decimos que un sistema es compatible si tiene solución; en este caso decimos que es compatible determinado si tiene una única solución, si hay más de una solución decimos que es compatible indeterminado.

Nota

Sea $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R), \,\,A^1,\dotsc,A^n$ sus columnas entonces $rk\, A=dim\langle A^1,\dotsc,A^n \rangle = rk\,A^t.$

Teorema

Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución si y sólo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz aumentada.

Demostración

Sea $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R),\, B\in \mathscr M_{m\times 1}(\mathbb R)$

$AX=B$ tiene solución $\Longleftrightarrow $ $\exists S\in \mathbb R^n$ tal que $AS=B$

$\Longleftrightarrow $ $B\in \langle A^1,\dotsc,A^n \rangle$

$\Longleftrightarrow $ $\langle B,A^1,\dotsc,A^n \rangle=\langle A^1,\dotsc,A^n \rangle$

$\Longleftrightarrow $ $dim\langle B,A^1,\dotsc,A^n \rangle=dim\langle A^1,\dotsc,A^n \rangle$

$\Longleftrightarrow $ El rango de la matriz aumentada es igual al rango de la matriz de coeficientes.

Tarea Moral

$1.$ En cada inciso encuentra el conjunto solución del sistema

$i)$

$\begin{align*} 5x+2y-3z &=-25\\ 3x+y+4z &=7 \\2x+3y+2z &=16 \end{align*}$

$ii)$

$\begin{align*} 3x+2y+4z &=-1\\ 2x-y+5z &=8 \\5x+y+9z &=11 \end{align*}$

$iii)$

$\begin{align*} 2x_1+x_2+x_3+x_4 &=0\\x_1+2x_2+x_3+x_4&=0 \\x_1+x_2+2x_3+x_4 &=16\\ x_1+x_2+x_3+2x_4&=0 \end{align*}$

$iv)$

$\begin{align*} x+2y-z+3w &=7\\ 3x+6y-14z+11w &=20 \end{align*}$

$2.$ En una tienda se venden $23$ baterías eléctricas por un total de $\$79.2$. Si el tipo $A$ cuesta $\$5$ el tipo $B$ $\$2.80$ y el tipo $C$ $\$1.60$ por pieza. ¿Cuántas baterías de cada tipo se vendieron?

Más adelante

En la siguiente nota definiremos lo que es el determinante de una matriz.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 38. Sistemas de ecuaciones.

Enlace a la nota siguiente. Nota 40. Determinantes.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Una matriz es una estructura de datos matemática que se compone de una colección ordenada de números, llamados elementos, dispuestos en filas y columnas. Las matrices se utilizan en numerosas áreas de las matemáticas, la física, la informática, la ingeniería y otras disciplinas para representar datos, realizar cálculos y resolver problemas. Las matrices pueden ser sumadas, multiplicadas, invertidas y transformadas mediante operaciones matriciales para obtener información relevante. Las matrices también se utilizan en la representación de sistemas lineales de ecuaciones y en el análisis de datos en forma de tablas o conjuntos de variables.

Ve el siguiente video:

Definición

Una matriz $A$ con $m$ renglones y $n$ columnas y entradas en un conjunto $K$; es una función:

$A:\set{1,2,\dotsc,m}\times \set{1,2,\dotsc,n}\to K.$

Decimos en este caso que $A$ es una matriz de tamaño $m\times n$ o simplemente una matriz $m\times n$.

A $A(i,j)$ se le llama la entrada $i\,j$ de $A$.

Decimos que $A$ es una matriz cuadrada si $m=n$, que es una matriz renglón si $m=1$, y que es una matriz columna si $n=1.$

Notación

$A(i,j)$ se denotará por $A_{ij}$ o por $a_{ij}$

$A$ se describira mediante una tabla con $m$ renglones y $n$ columnas.

$A=\begin{equation*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \end{equation*}=(a_{ij})$

Nota: Usualmente consideraremos $K=\mathbb R$, o de modo más general $K$ un campo.

Ejemplos

$1.$ Considera la siguiente matriz:

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 0 & \frac{1}{2}\\ 4 & \pi \\ -7 & 0 \\ \end{array} \right) \end{equation*}$.

Es una matrix de tamaño $3\times 2$.

$A_{11}=0,\,A_{12}=\frac{1}{2},\,A_{21}=4,\,A_{22}=\pi,\,A_{31}=-7,\,A_{32}=0.$

$2.$ Considera la siguiente matriz:

$B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 5\\ 5 & -2 \\ \end{array} \right)\end{equation*}$.

Es una matriz de $2\times 2$, es decir una matriz cuadrada .

$B_{11}=1,\,B_{12}=5,\,B_{21}=5,\,B_{22}=-2.$

$3.$ Considera la siguiente matriz:

$C=\begin{equation*} \left(\begin{array}{r} 3 \\ 9 \\ -5\\ \end{array} \right)\end{equation*}$.

Es una matriz de $3\times 1$, es decir una matriz columna .

$C_{11}=3,\,C_{21}=9,\,C_{31}=-5.$

$4.$ Considera la siguiente matriz:

$D=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -3 & 4\\ \end{array} \right) \end{equation*}$.

Es una matriz de $1\times 4$, es decir una matriz renglón.

$D_{11}=1,\,D_{12}=2,\,D_{13}=-3,\,D_{14}=4.$

Definición

Sea $A$ una matriz $m\times n$, $B$ una matriz $r\times s.$

Decimos que $A$ es igual a $B$ si: $m=r,\,n=s$ y $A_{ij}=B_{ij}\,\,\, \forall i\in \set{1,\dotsc, n},\,\,\,\forall j\in \set{1,\dotsc, n}.$

Es decir dos matrices son iguales si tienen la misma cantidad de renglones, la misma cantidad de columnas, y coinciden entrada a entrada.

Definición

Sean $A$ y $B$ matrices $m\times n$ con entradas en $\mathbb R$. La suma de $A$ y $B$ es la matriz $A+B$ de $m\times n$ tal que $(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}.$

Dado $\lambda\in \mathbb R$ el producto escalar de $\lambda$ por $A$ es la matriz $\lambda A$ de $m\times n$ tal que $(\lambda A)_{ij}=\lambda A_{ij}.$

Notación.

$\mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)=\set{A\mid A\,\,es\,\,una\,\,matriz\,\,m\times n\,\,con\,\,entradas\,\,reales}.$

Ejemplos

$1.$ $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 0 & 4\\ 3 & \frac{1}{2} & 1 & -5 \end{array} \right) \end{equation*}$, $ B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & -3 & -5\\ 7 & 1 & \frac{1}{4} & 2 \end{array} \right) \end{equation*}$.

$A+B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 3 & -2 & -3 & -1\\ 10 & \frac{3}{2} & \frac{5}{4} & -3 \end{array} \right) \end{equation*}.$

Si $\lambda =2$

$\lambda A=2 A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 2 & -4 & 0 & 8\\ 6 & 1 & 2 & -10 \end{array} \right) \end{equation*}.$

$2.$ $A=\begin{equation*}\left(\begin{array}{rr} 1 & \frac{1}{2}\\ 0 & \frac{1}{3} \end{array} \right) \end{equation*}$, $ B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 2 & 0\\ 4 & 8 \end{array} \right) \end{equation*}.$

$A+B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 3 & \frac{1}{2}\\ 4 & \frac{25}{3} \\ \end{array} \right) \end{equation*}.$

Si $\lambda =\frac{1}{4}$

$\lambda B=\frac{1}{4} B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} \frac{1}{2} & 0\\ 1 & 2 \end{array} \right) \end{equation*}.$

Proposición

Sean $A,B,C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R),\,\,\lambda,\mu \in \mathbb R .$

Se cumplen las siguientes propiedades:

$1.$ $(A+B)+C=A+(B+C)$

$2.$ $A+B=B+A$

$3.$ Existe $\theta \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ tal que:

$A+\theta=\theta+A=A\,\,\,\forall A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$.

$4.$ Para cada $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ existe $\tilde{A}\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ tal que:

$A+\tilde{A}=\tilde{A}+A=\theta$

$5.$ $1A=A\,\,\forall A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$

$6.$ $\lambda(\mu A)=(\lambda\mu)A$

$7.$ $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$

$8.$ $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$

Con estas propiedades satisfechas$\mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$, es un $\mathbb R$-espacio vectorial.

El neutro aditivo $\theta$ es único y es la matriz de ceros. La prueba de la unicidad se deja de tarea moral.

El inverso aditivo de $A$ es único y es $(-1)A$, se denota por $-A$. Esta prueba se deja de tarea moral.

Vamos a probar las propiedades 1,3,7. Las demás son también directas. Recuerda no confundir las operaciones entre matrices, con las operaciones en los números reales.

Demostración de la propiedad $1$

Sean $A,B,C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R),\,\,\lambda, \mu \in \mathbb R .$

Por demostrar que $(A+B)+C=A+(B+C).$

Como $A+B\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ entonces $(A+B)+C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$.

Como $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $B+C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ entonces $A+(B+C)\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$

Considera a $i \in \set{1,\dotsc,m},\,\, j \in \set{1,\dotsc,n}$

	Explicación de las igualdades
$(A+(B+C))_{ij}=$	Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $A+(B+C).$
$=A_{ij}+(B+C)_{ij}$	Por definición de suma de matrices.
$=A_{ij}+(B_{ij}+C_{ij})$	Por definición de suma de matrices.
$=(A_{ij}+B_{ij})+C_{ij}$	Por asociatividad en $\mathbb R.$
$=(A+B)_{ij}+C_{ij}$	Por definición de suma de matrices.
$=((A+B)+C)_{ij}$	Por definición de suma de matrices.

Por lo tanto $A+(B+C)$ y $(A+B)+C$ son matrices del mismo tamaño y para toda $i$ y para toda $j$ tenemos que $(A+(B+C))_{ij}=((A+B)+C)_{ij}$. Así $A+(B+C)=(A+B)+C.$

Demostración de la propiedad $3$

Sea $\theta\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ tal que $\theta_{ij}=0\,\,\forall i,j$. Sea $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$

Por demostrar que $A+\theta=\theta +A=A.$

Sabemos que $A+\theta\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. Sean $i \in \set{1,\dotsc,m},\,\, j \in \set{1,\dotsc,n}.$

	Explicación de las igualdades
$(A+\theta)_{ij}=$	Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $A+\theta .$
$=A_{ij}+\theta_{ij}$	Por definición de suma de matrices.
$=A_{ij}+0$	Por definición de $\theta$: $\theta_{ij}=0,\,\,\,\forall i,j.$
$=A_{ij}$	$0$ es el neutro en $\mathbb R .$

Por lo tanto $A+\theta$ y $A$ son matrices del mismo tamaño y para toda $i$ y para toda $j$ tenemos que $(A+\theta)_{ij}=A_{ij}$. Así, $A+\theta=A$. Análogamente $\theta +A=A.$

Demostración de la propiedad $7$

Por demostrar que $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A.$

Sabemos que $(\lambda+\mu)A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. Sean $i \in \set{1,\dotsc,m},\,\, j \in \set{1,\dotsc,n}.$

	Explicación de las igualdades
$((\lambda+\mu)A)_{ij}=$	Partimos un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $(\lambda+\mu)A.$
$=(\lambda+\mu)A_{ij}$	Por definición del producto de matrices.
$=\lambda A_{ij}+\mu A_{ij}$	Por la distributividad en $\mathbb R.$
$=(\lambda A)_{ij}+(\mu A)_{ij}$	Por definición del producto de matrices.
$=(\lambda A+\mu A)_{ij}$	Por definición de suma de matrices.

Por lo tanto $(\lambda+\mu)A$ y $\lambda A+\mu A$ son matrices del mismo tamaño y para toda $i$ y para toda $j$ tenemos que $((\lambda+\mu)A)_{ij}=(\lambda A+\mu A)_{ij}$. Así, $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A.$

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Considera la matriz:

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} \frac{4}{3} & -9 & 7 & -1 \\ -\frac{2}{3} & -3 & 4 & 0 \\ 1 & 22 & -11 & \pi \\ \end{array} \right)\end{equation*}$

$i)$ Encuentra el tamaño de $A.$

$ii)$ Determina cuál es la entrada $A_{24}.$

$iii)$ Expresa al primer renglón de $A$ como una matriz renglón y a la tercera columna de $A$ como una matriz columna, indicando en cada caso el tamaño de ambas matrices.

$2.$ Considera las siguientes matrices:

$A=\begin{equation*}\left(\begin{array}{rrr} -3 & 5 & 2 \\ 7 & -4 & 11 \\ \end{array} \right) \end{equation*}$ y $B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 6 & -\frac{3}{4} & 0 \\ 4 & 1 & -5 \\ \end{array} \right) \end{equation*}$

Obtén $-7A+B$ y encuentra la matriz $X$ tal que $\frac{1}{5}B+4X=-A.$

$3.$ Compara las propiedades de suma y producto por escalar de matrices con las de $\mathbb R^n.$

$4.$ Prueba que el neutro aditivo de $\mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ es único.

$5.$ Prueba que cada $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ tiene un único inverso aditivo.

$6.$ Sean $A,B,C \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $\lambda\in \mathbb R$. Prueba o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones.

$i)$ Si $A+C=B+C$, entonces $A=B.$

$ii)$ Si $\lambda A$ es la matriz nula, entonces $\lambda=0.$

$iii)$ Si $\lambda A=A$, entonces $\lambda=1.$

$iv)$ $(-1)A$ es el inverso aditivo de $A.$

$7.$Sea $n\in \mathbb N$. ¿Podremos sumar $A\,\,\,n\,\,\,veces$, sin importar qué tan grande sea $n$?, ¿podremos sumar $A$ una infinidad de veces?

Más adelante

En la siguiente nota definiremos la multiplicación de matrices, así como la matriz identidad, las matrices inversas y las transpuestas.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 32. Dimensión de un $\mathbb R-$espacio vectorial

Enlace a la nota siguiente. Nota 34. Multiplicación de matrices, identidad, inversas y transpuesta.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la presente nota entenderemos lo que es la dimensión de un espacio vectorial. Ésta será la cardinalidad de cualquiera de sus bases, y está bien definida ya que como hemos visto todas las bases tienen la misma cantidad de elementos. Así como podemos completar un conjunto linealmente independiente de $V$ agregando vectores hasta obtener una base de $V$, también podemos a partir de un conjunto generador $\gamma$ de $V$ obtener una base de $V$ quitando vectores.

Definición

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. La dimensión de $V$ es la cardinalidad de cualquiera de sus bases.

Notación: $dim_{\mathbb R}V$ o simplemente $dim\,\,V$.

Ejemplos

$1.$ $dim\,\,\mathbb R^n=n$ ya que $\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es una base de $\mathbb R^n$.

$2.$ Considera el siguiente subespacio de $\mathbb R^2$

$\begin{align*} V &=\set{(x,y)\in \mathbb R^2\mid x+3y=0}\\ \, &=\set{(x,y)\in \mathbb R^2\mid x=-3y}\\ \, &=\set{(-3y,y)\in \mathbb R^2\mid y\in \mathbb R}\\ \, &=\set{y(-3,1)\in \mathbb R^2\mid y\in \mathbb R}\\ \, &=\langle (-3,1) \rangle .\\ \end{align*}$

Así, $\set{(-3,1)}$ genera a $V$, y como además $\set{(-3,1)}$ es $l.i$ entonces es una base de $V$. Por lo tanto $dim\,\,V=1.$

$3.$ Considera el siguiente subespacio de $\mathbb R^4$

$\begin{align*} W &=\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid 3x+2y-z+4w=0}\\ \, &=\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid x= -\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z-\frac{4}{3}w }\\ \, &=\bigg\{ \left( -\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z-\frac{4}{3}w ,y,z,w\right) \in \mathbb R^4\mid y,z,w\in \mathbb R\bigg\} \\ &=\bigg\{ y \left(-\frac{2}{3},1,0,0\right)+z \left(\frac{1}{3},0,1,0\right)+w \left(-\frac{4}{3},0,0,1\right)\in \mathbb R^4\mid y,z,w\in \mathbb R\bigg\}\\ \, &=\bigg\langle \left(-\frac{2}{3},1,0,0\right), \left(\frac{1}{3},0,1,0\right), \left(-\frac{4}{3},0,0,1\right) \bigg\rangle .\\ \end{align*}$

Así, $\big\{ \left(-\frac{2}{3},1,0,0\right), \left(\frac{1}{3},0,1,0\right), \left(-\frac{4}{3},0,0,1\right) \big\}$ genera a $W$, y como además $\big\{ \left(-\frac{2}{3},1,0,0\right), \left(\frac{1}{3},0,1,0\right), \left(-\frac{4}{3},0,0,1\right) \big\}$ es $l.i$ entonces es una base de $W$ y por lo tanto $dim\,\,W=3.$

Lema

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$ y $v_1,\dotsc,v_m\in V$ distintos tales que $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ es $l.d.$ Entonces existe $v_j\in \set{v_1,\dotsc,v_m}$ tal que $\langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle=\langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle.$

Demostración

Sean $V\leq \mathbb R^n$ y $v_1,\dotsc,v_m\in V$ distintos tales que $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ es $l.d.$ Existen entonces $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$ no todos nulos tales que:

$\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_m v_m=\bar{0}.$

Como $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m$ no son todos nulos, sea $\lambda_j\neq 0$, así:

$\begin{align} v_j &=-\frac{\lambda_1}{\lambda_j}v_1-\cdots- \frac{\lambda_{j-1}}{\lambda_j}v_{j-1}-\frac{\lambda_{j+1}}{\lambda_j}v_{j+1}-\cdots-\frac{\lambda_{m}}{\lambda_j}v_{m} \\ \label{ec1} \, &=\sum_{i\in\{1,\dots ,m\}, i\neq j} -\frac{\lambda_i}{\lambda_j}v_i . \\ \end{align}$

Sabemos que $ \langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle \subseteq \langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle.$

Ahora si $w\in \langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle$ existen $\mu_1,\dotsc,\mu_m \in \mathbb R$ tales que:

$\begin{align*} w &=\mu_1v_1 + \cdots + \mu_j v_j+\cdots+\mu_m v_m .\\ \end{align*}$

y sustituyendo $v_j$ de acuerdo a su expresión en \ref{ec1}

$\begin{align*} w &= \mu_1v_1 + \cdots + \mu_j \sum_{i\in\{1,\dots ,m\}, i\neq j} -\frac{\lambda_i}{\lambda_j}v_i +\cdots+\mu_m v_m . \\ \end{align*}$

Entonces $w$ es una combinación lineal del conjunto $\set{v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m}$ y por lo tanto $w\in \langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle$, probando con ello que $ \langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle \subseteq \langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle .$ Así tenemos la igualdad buscada:

$\langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle=\langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle.$

$\square$

Teorema

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Todo conjunto generador finito de $V$ se puede reducir a una base de $V$.

Demostración

Sea $V\leq \mathbb R^n$, $v_1,\dotsc,v_m\in V$ distintos tales que $S=\set{v_1,\dotsc,v_m}$ genera a $V$.

Si $S$ es $l.i.$, entonces es una base de $V$.

Si $S$ es $l.d.$, por el lema existe $v_j\in S$ tal que $\langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle=\langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle=V.$

Si $\{ v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \}$ es $l.i.$, entonces es una base de $V$.

Si $\{ v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \}$ es $l.d.$ continuamos con este procedimiento hasta obtener un subconjunto $\beta$ de $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ $l.i.$ y tal que $\langle \beta \rangle=V$. $\beta$ será entonces una base de $V$.

$\square$

Corolario

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$ de dimensión $m$ entonces:

$a)$ Cualquier conjunto generador de $V$ con $m$ elementos es una base de $V$.

$b)$ Cualquier conjunto linealmente independiente con $m$ elementos es base de $V$.

Demostración

La demostración se deja como tarea moral.

Teorema

Sean $V$ y $W$ subespacios de $\mathbb R^n$ con $W\subseteq V$.

$a)$ Toda base de $W$ se puede completar a una base de $V.$

$b)$ $dim\, W\leq dim\, V.$

$c)$ Si $dim\, W=dim\,V$, entonces $W=V.$

Demostración

Demostración de $a)$

Esta demostración es consecuencia del corolario de la nota anterior.

Demostración de $b)$

Sean $\gamma$ una base de $W$ y $\beta$ una base de $V$. Como $\gamma$ es $l.i.$ en $V$ y $\beta$ es un generador de $V$ por la una nota en la entrada anterior se tiene que $dim\,W=\#\gamma\leq \#\beta=dim\,V.$

Demostración de $c)$

Supongamos que $dim\, W=dim\,V=m.$

Sea $\gamma$ una base de $W$. Sabemos que $\gamma$ es $l.i.$ en $V$ con $dim\,W=m$. Por el corolario anterior $\gamma$ es una base de $V$, y entonces $W=\langle \gamma \rangle=V$.

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales y el subespacio:

$W=\langle (1,-7,-5), (2,10,2),(-3,-11,-1),(1,5,1) \rangle .$

Encuentra una base de $W$ reduciendo el conjunto generador dado.

$2.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales y los subespacios de $\mathbb R^3$ dados por:

$W=\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid y=-2x,z=-3x}$

$V=\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x+2y=z}.$

Encuentra una base para cada subespacio y determina con ello su dimensión.

$3.$ Demuestra el corolario de la presente nota.

Más adelante

Con esta nota terminamos la unidad 3, en la siguiente y última unidad haremos un estudio de las matrices y sus determinantes.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 31. Bases de $\mathbb R^n$.

Enlace a la nota siguiente. Nota 33. Matrices.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la presente nota veremos el concepto de base de un espacio vectorial, veremos que es un conjunto de vectores linealmente independiente, cuyo generado nos da el espacio vectorial. Precisemos esto y demos la definición.

Definición

Sean $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$ y $\beta$ un subconjunto de $V$. Decimos que $\beta$ es una base de $V$ si genera a $V$ y es linealmente independiente. Decimos que $V$ es de dimensión finita si tiene una base finita.

Ejemplos

$1.$ En este ejemplo obtendremos la base para el espacio vectorial $\mathbb R^n$. Considera el vector cuyas entradas son todas cero excepto la $i$-ésima que es uno:

$e_i=(0,\dotsc,1,\dotsc,0).$

Veamos que $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es $l.i.$ Sean $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n\in \mathbb R^n$ tales que:

$\lambda_1 e_1+\dotsc +\lambda_n e_n =\bar{0}.$

Entonces tenemos

$\lambda_1 (1,0,\dotsc, 0) + \lambda_2 (0,1,\dotsc, 0)+ \cdots + \lambda_n (0,0,\dotsc,0,1)= (0,0,\dotsc, 0).$

Desarrollando resulta que

$(\lambda_1,\lambda_2,\dotsc,\lambda_n)=(0,0,\dotsc, 0)$

y comparando coordenada a coordenada concluimos que

$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0.$

Y por lo tanto $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es $l.i.$

Veamos que $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ genera a $\mathbb R^n$. Sabemos que $\langle \mathscr C \rangle \subseteq \mathbb R^n$ ya que $e_1,\dotsc,e_n\in \mathbb R^n$, y por lo tanto toda combinación lineal de ellos es un vector en $\mathbb R^n $.

Ahora si $ (x_1,x_2,\dotsc, x_n)\in \mathbb R^n$

$(x_1,x_2,\dotsc,x_n)=x_1(1,0,\dotsc,0)+x_2(0,1,\dotsc,0)+\dotsc+x_n(0,0,\dotsc,1).$

Observa que $x_1(1,0,\dotsc,0)+x_2(0,1,\dotsc,0)+\dotsc+x_n(0,0,\dotsc,1)$ es una combinación lineal de los elementos de $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$, es decir $x_1(1,0,\dotsc,0)+x_2(0,1,\dotsc,0)+\dotsc+x_n(0,0,\dotsc,1)\in \langle \mathscr C \rangle$. Así, cualquier vector en $\mathbb R^n$ es un elemento en $ \langle \mathscr C \rangle$, es decir $\mathbb R^n \subseteq \langle \mathscr C \rangle$.

Concluimos que $\mathbb R^n = \langle \mathscr C \rangle$.

Como el conjunto $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es linealmente independiente y genera a $\mathbb R^n$, es una base de $\mathbb R^n$, se le llama la base canónica de $\mathbb R^n$.

$2.$ Consideremos el subespacio de $\mathbb R^3$ dado por $W=\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x-y+2z=0}$. Busquemos una base de $W$.

Notemos que si $(x,y,z)\in W$, entonces $ x-y+2z=0$, o bien:

$x=y-2z.$

Así, $(x,y,z)=(y-2z,y,z)=y(1,1,0)+z(-2,0,1).$

Entonces

$W=\set{y(1,1,0)+z(-2,0,1)\mid y,z\in \mathbb R}=\langle (1,1,0), (-2,0,1) \rangle .$

Con ello hemos probado que el conjunto $S=\{(1,1,0),(-2,0,1)\}$ genera a $W$, así que sólo falta ver que es un conjunto linealmente independiente para verificar que es una base de $W$.

Para ver que $S$ es linealmente independiente veamos que la única manera de obtener al vector cero como combinación lineal de $(1,1,0),(-2,0,1)\in W$, es la trivial. Pero esto es cierto pues si $\lambda,\mu \in \mathbb R$ son tales que

$\lambda(1,1,0)+\mu(-2,0,1)=(0,0,0)$,

desarrollando tenemos que:

$(\lambda-2\mu,\lambda,\mu)=(0,0,0)$

y comparando coordenada a coordenada obtenemos que

$\begin{align} \lambda-2\mu &=0\\ \lambda &=0\\ \mu &=0.\\ \end{align}$

Por lo tanto $\lambda=\mu=0$.

Así $S=\set{(1,1,0),(-2,0,1)}$ es $l.i.$

Concluimos que $S$ es un conjunto de vectores $l.i$ y $\langle S \rangle=W$, entonces $S$ es una base de $W$. Así, $S=\set{(1,1,0),(-2,0,1)}$ es una base de $W$.

Entendamos un poco más quién es $W$. Observamos que de hecho $W$ es un plano que pasa por el origen, y tanto $(1,1,0)$ como $(-2,0,1)$ son vectores en dicho plano. $W$ es entonces el plano definido por estos dos vectores. Notemos que cualquier combinación lineal de $(1,1,0)$ y $(-2,0,1)$ será también un vector en el plano $W$ y todo vector en $W$ se puede obtener como una combinación lineal de dichos vectores. Además, como $(1,1,0)$ y $(-2,0,1)$ no son colineales, por el lema de la nota previa forman un conjunto linealmente independiente.

Observa en el siguiente recurso de geogebra cómo cualquier combinación lineal de los vectores $(1,1,0),(-2,0,1)$, es un elemento del plano que pasa por el origen y la punta de los dos vectores en color rosa. Este plano está en color azul, mientras que el plano en color gris es el plano $xy$.

Puedes mover los puntos $A$ y $B$ y ver que el generado de esos vectores, es un plano que pasa por el origen. Mueve $A$ y $B$ de manera que sean colineales y constata que el generado en ese caso se limita a una recta.

Nota

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Si $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ genera a $V$, todo conjunto $l.i$ de $V$ tiene a lo más $m$ elementos. En consecuencia todo conjunto $l.i$ de $\mathbb R^n$ tiene a lo más $n$ elementos.

Lema

Sea $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ un conjunto $l.i$ en $\mathbb R^n$. Si $w\in \mathbb R^n$ es tal que $w\notin \langle v_1,\dotsc,v_m \rangle$ entonces $\set{v_1,\dotsc,v_m,w}$ es $l.i.$

Demostración

Sean $\set{v_1,\dotsc,v_m}\subseteq \mathbb R^n$ un conjunto $l.i$ y $w\in \mathbb R^n$ con $w\notin \langle v_1,\dotsc,v_m \rangle$.

Sean $\lambda_1,\dotsc, \lambda_{m+1}\in \mathbb R$ tales que

$\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_m v_m+\lambda_{m+1} w=\bar{0}.$

Si $\lambda_{m+1}\neq 0$ tendríamos que

$w=-\frac{\lambda_1}{\lambda_{m+1}}v_1-\cdots-\frac{\lambda_m}{\lambda_{m+1}}v_m,$

entonces $w$ sería una combinación lineal de los elementos del conjunto $\set{v_1,\dotsc,v_m}$, y por lo tanto $w\in \langle v_1,\dotsc,v_m \rangle$. Pero esto es una contradicción a las hipoótesis, así $\lambda_{m+1}=0$, de donde $\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_m v_m=\bar{0}$ y como $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ es $l.i.$ tenemos que $\lambda_1=\lambda_1=\cdots=\lambda_m= \lambda_{m+1}=0$ y por lo tanto $\set{v_1,\dotsc,v_m,w}$ es $l.i.$

$\square$

Teorema

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Existe $\beta$ una base de $V$.

Demostración

Sea $V\leq \mathbb R^n$. Si $V=\set{\bar{0}}$, $\emptyset $ es $l.i$ y $\langle \emptyset \rangle =\set{\bar{0}}=V$.

Si $V\neq \set{\bar{0}}$ existe $v_1\in V$ tal que $v_1\neq \bar{0}.$

Puede suceder que $\langle v_1 \rangle=V$ en cuyo caso $\set{v_1}$ es una base de $V$.

Si $\langle v_1 \rangle\subsetneq V$, sea $v_2\in V\setminus \langle v_1 \rangle$. Por el lema antes probado $\set{v_1,v_2}$ es $l.i.$

Si $\set{v_1,v_2}$ genera a $V$, $\set{v_1,v_2}$ es una base de $V$.

Si $\langle v_1,v_2 \rangle\subsetneq V$, sea $v_3\in V\setminus \langle v_1,v_2 \rangle$. Por el lema antes probado $\set{v_1,v_2,v_3}$ es $l.i.$

Continuando de este modo obtenemos conjuntos $\set{v_1,\dotsc,v_t}\,\,\, l.i. $ en cada paso.

Por la nota $t\leq n$ así que el proceso es finito y en algún momento obtenemos que $\set{v_1,\dotsc,v_m}\subseteq V$ un conjunto $l.i$ que genera a $V$, por lo tanto es una base de $V$.

$\square$

Corolario

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Todo conjunto $l.i$ de $V$ se puede completar a una base de $V$.

Demostración

Esta demostración queda como tarea moral

Teorema

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Todo subconjunto $l.i$ de $V$ se puede completar a una base de $V$.

Demostración

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Todas las bases de $V$ son finitas y tienen el mismo número de elementos.

Demostración

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$, y sean $\beta,\beta’ $ bases de $V$.

Por la nota $\beta$ y $\beta’ $ son finitas y además:

$\beta $ es $l.i$ y $\beta’$ genera a $V$ entonces $\#\beta \leq \#\beta’$.

$\beta’ $ es $l.i$ y $\beta$ genera a $V$ entonces $\#\beta’ \leq \#\beta$.

Y por lo tanto $\#\beta =\#\beta’$.

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales y el subconjunto de $\mathbb R^3$ indicado en cada inciso. Encuentra una base de $\mathbb R^3$ que contenga a $S$:

$i)$ $S=\set{(1,0,1)}.$

$ii)$ $S=\set{(-2,1,5),(3,0,2)}.$

$2.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Encuentra al menos tres bases para el subespacio $W=\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x-3y+4z=0}$. ¿Cuántos elementos tienen estas bases?

$3.$ Encuentra bases para los siguientes subespacios del correspondiente $\mathbb R^n$ visto como espacio vectorial sobre los reales:

$i)$ $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid 3x-2y+5z=0}$

$ii)$ $\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid x=y+w}$

Más adelante

En la siguiente nota veremos el concepto de dimensión de un espacio vectorial.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 30. Dependencia e independencia lineal

Enlace a la nota siguiente. Nota 32. Dimensión de un $\mathbb R-$ espacio vectorial