(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la presente nota veremos el concepto de base de un espacio vectorial, veremos que es un conjunto de vectores linealmente independiente, cuyo generado nos da el espacio vectorial. Precisemos esto y demos la definición.

Definición

Sean $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$ y $\beta$ un subconjunto de $V$. Decimos que $\beta$ es una base de $V$ si genera a $V$ y es linealmente independiente. Decimos que $V$ es de dimensión finita si tiene una base finita.

Ejemplos

$1.$ En este ejemplo obtendremos la base para el espacio vectorial $\mathbb R^n$. Considera el vector cuyas entradas son todas cero excepto la $i$-ésima que es uno:

$e_i=(0,\dotsc,1,\dotsc,0).$

Veamos que $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es $l.i.$ Sean $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n\in \mathbb R^n$ tales que:

$\lambda_1 e_1+\dotsc +\lambda_n e_n =\bar{0}.$

Entonces tenemos

$\lambda_1 (1,0,\dotsc, 0) + \lambda_2 (0,1,\dotsc, 0)+ \cdots + \lambda_n (0,0,\dotsc,0,1)= (0,0,\dotsc, 0).$

Desarrollando resulta que

$(\lambda_1,\lambda_2,\dotsc,\lambda_n)=(0,0,\dotsc, 0)$

y comparando coordenada a coordenada concluimos que

$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0.$

Y por lo tanto $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es $l.i.$

Veamos que $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ genera a $\mathbb R^n$. Sabemos que $\langle \mathscr C \rangle \subseteq \mathbb R^n$ ya que $e_1,\dotsc,e_n\in \mathbb R^n$, y por lo tanto toda combinación lineal de ellos es un vector en $\mathbb R^n $.

Ahora si $ (x_1,x_2,\dotsc, x_n)\in \mathbb R^n$

$(x_1,x_2,\dotsc,x_n)=x_1(1,0,\dotsc,0)+x_2(0,1,\dotsc,0)+\dotsc+x_n(0,0,\dotsc,1).$

Observa que $x_1(1,0,\dotsc,0)+x_2(0,1,\dotsc,0)+\dotsc+x_n(0,0,\dotsc,1)$ es una combinación lineal de los elementos de $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$, es decir $x_1(1,0,\dotsc,0)+x_2(0,1,\dotsc,0)+\dotsc+x_n(0,0,\dotsc,1)\in \langle \mathscr C \rangle$. Así, cualquier vector en $\mathbb R^n$ es un elemento en $ \langle \mathscr C \rangle$, es decir $\mathbb R^n \subseteq \langle \mathscr C \rangle$.

Concluimos que $\mathbb R^n = \langle \mathscr C \rangle$.

Como el conjunto $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es linealmente independiente y genera a $\mathbb R^n$, es una base de $\mathbb R^n$, se le llama la base canónica de $\mathbb R^n$.

$2.$ Consideremos el subespacio de $\mathbb R^3$ dado por $W=\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x-y+2z=0}$. Busquemos una base de $W$.

Notemos que si $(x,y,z)\in W$, entonces $ x-y+2z=0$, o bien:

$x=y-2z.$

Así, $(x,y,z)=(y-2z,y,z)=y(1,1,0)+z(-2,0,1).$

Entonces

$W=\set{y(1,1,0)+z(-2,0,1)\mid y,z\in \mathbb R}=\langle (1,1,0), (-2,0,1) \rangle .$

Con ello hemos probado que el conjunto $S=\{(1,1,0),(-2,0,1)\}$ genera a $W$, así que sólo falta ver que es un conjunto linealmente independiente para verificar que es una base de $W$.

Para ver que $S$ es linealmente independiente veamos que la única manera de obtener al vector cero como combinación lineal de $(1,1,0),(-2,0,1)\in W$, es la trivial. Pero esto es cierto pues si $\lambda,\mu \in \mathbb R$ son tales que

$\lambda(1,1,0)+\mu(-2,0,1)=(0,0,0)$,

desarrollando tenemos que:

$(\lambda-2\mu,\lambda,\mu)=(0,0,0)$

y comparando coordenada a coordenada obtenemos que

$\begin{align} \lambda-2\mu &=0\\ \lambda &=0\\ \mu &=0.\\ \end{align}$

Por lo tanto $\lambda=\mu=0$.

Así $S=\set{(1,1,0),(-2,0,1)}$ es $l.i.$

Concluimos que $S$ es un conjunto de vectores $l.i$ y $\langle S \rangle=W$, entonces $S$ es una base de $W$. Así, $S=\set{(1,1,0),(-2,0,1)}$ es una base de $W$.

Entendamos un poco más quién es $W$. Observamos que de hecho $W$ es un plano que pasa por el origen, y tanto $(1,1,0)$ como $(-2,0,1)$ son vectores en dicho plano. $W$ es entonces el plano definido por estos dos vectores. Notemos que cualquier combinación lineal de $(1,1,0)$ y $(-2,0,1)$ será también un vector en el plano $W$ y todo vector en $W$ se puede obtener como una combinación lineal de dichos vectores. Además, como $(1,1,0)$ y $(-2,0,1)$ no son colineales, por el lema de la nota previa forman un conjunto linealmente independiente.

Observa en el siguiente recurso de geogebra cómo cualquier combinación lineal de los vectores $(1,1,0),(-2,0,1)$, es un elemento del plano que pasa por el origen y la punta de los dos vectores en color rosa. Este plano está en color azul, mientras que el plano en color gris es el plano $xy$.

Puedes mover los puntos $A$ y $B$ y ver que el generado de esos vectores, es un plano que pasa por el origen. Mueve $A$ y $B$ de manera que sean colineales y constata que el generado en ese caso se limita a una recta.

Nota

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Si $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ genera a $V$, todo conjunto $l.i$ de $V$ tiene a lo más $m$ elementos. En consecuencia todo conjunto $l.i$ de $\mathbb R^n$ tiene a lo más $n$ elementos.

Lema

Sea $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ un conjunto $l.i$ en $\mathbb R^n$. Si $w\in \mathbb R^n$ es tal que $w\notin \langle v_1,\dotsc,v_m \rangle$ entonces $\set{v_1,\dotsc,v_m,w}$ es $l.i.$

Demostración

Sean $\set{v_1,\dotsc,v_m}\subseteq \mathbb R^n$ un conjunto $l.i$ y $w\in \mathbb R^n$ con $w\notin \langle v_1,\dotsc,v_m \rangle$.

Sean $\lambda_1,\dotsc, \lambda_{m+1}\in \mathbb R$ tales que

$\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_m v_m+\lambda_{m+1} w=\bar{0}.$

Si $\lambda_{m+1}\neq 0$ tendríamos que

$w=-\frac{\lambda_1}{\lambda_{m+1}}v_1-\cdots-\frac{\lambda_m}{\lambda_{m+1}}v_m,$

entonces $w$ sería una combinación lineal de los elementos del conjunto $\set{v_1,\dotsc,v_m}$, y por lo tanto $w\in \langle v_1,\dotsc,v_m \rangle$. Pero esto es una contradicción a las hipoótesis, así $\lambda_{m+1}=0$, de donde $\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_m v_m=\bar{0}$ y como $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ es $l.i.$ tenemos que $\lambda_1=\lambda_1=\cdots=\lambda_m= \lambda_{m+1}=0$ y por lo tanto $\set{v_1,\dotsc,v_m,w}$ es $l.i.$

$\square$

Teorema

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Existe $\beta$ una base de $V$.

Demostración

Sea $V\leq \mathbb R^n$. Si $V=\set{\bar{0}}$, $\emptyset $ es $l.i$ y $\langle \emptyset \rangle =\set{\bar{0}}=V$.

Si $V\neq \set{\bar{0}}$ existe $v_1\in V$ tal que $v_1\neq \bar{0}.$

Puede suceder que $\langle v_1 \rangle=V$ en cuyo caso $\set{v_1}$ es una base de $V$.

Si $\langle v_1 \rangle\subsetneq V$, sea $v_2\in V\setminus \langle v_1 \rangle$. Por el lema antes probado $\set{v_1,v_2}$ es $l.i.$

Si $\set{v_1,v_2}$ genera a $V$, $\set{v_1,v_2}$ es una base de $V$.

Si $\langle v_1,v_2 \rangle\subsetneq V$, sea $v_3\in V\setminus \langle v_1,v_2 \rangle$. Por el lema antes probado $\set{v_1,v_2,v_3}$ es $l.i.$

Continuando de este modo obtenemos conjuntos $\set{v_1,\dotsc,v_t}\,\,\, l.i. $ en cada paso.

Por la nota $t\leq n$ así que el proceso es finito y en algún momento obtenemos que $\set{v_1,\dotsc,v_m}\subseteq V$ un conjunto $l.i$ que genera a $V$, por lo tanto es una base de $V$.

$\square$

Corolario

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Todo conjunto $l.i$ de $V$ se puede completar a una base de $V$.

Demostración

Esta demostración queda como tarea moral

Teorema

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Todo subconjunto $l.i$ de $V$ se puede completar a una base de $V$.

Demostración

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Todas las bases de $V$ son finitas y tienen el mismo número de elementos.

Demostración

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$, y sean $\beta,\beta’ $ bases de $V$.

Por la nota $\beta$ y $\beta’ $ son finitas y además:

$\beta $ es $l.i$ y $\beta’$ genera a $V$ entonces $\#\beta \leq \#\beta’$.

$\beta’ $ es $l.i$ y $\beta$ genera a $V$ entonces $\#\beta’ \leq \#\beta$.

Y por lo tanto $\#\beta =\#\beta’$.

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales y el subconjunto de $\mathbb R^3$ indicado en cada inciso. Encuentra una base de $\mathbb R^3$ que contenga a $S$:

$i)$ $S=\set{(1,0,1)}.$

$ii)$ $S=\set{(-2,1,5),(3,0,2)}.$

$2.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Encuentra al menos tres bases para el subespacio $W=\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x-3y+4z=0}$. ¿Cuántos elementos tienen estas bases?

$3.$ Encuentra bases para los siguientes subespacios del correspondiente $\mathbb R^n$ visto como espacio vectorial sobre los reales:

$i)$ $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid 3x-2y+5z=0}$

$ii)$ $\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid x=y+w}$

Más adelante

En la siguiente nota veremos el concepto de dimensión de un espacio vectorial.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 30. Dependencia e independencia lineal

Enlace a la nota siguiente. Nota 32. Dimensión de un $\mathbb R-$ espacio vectorial