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Álgebra Lineal II: Teorema de Gauss

Por Diego Ligani Rodríguez Trejo

Introducción

En la entrada anterior vimos un recordatorio de las formas bilineales, cuadráticas y sus polares. En esta entrada continuaremos recordando algunas propiedades vistas previamente enfocándonos en el teorema de Gauss y su demostración. Esto nos dará una pequeña pista de la relación entre las formas cuadráticas y matrices.

Además, con el teorema de Gauss obtendremos un algoritmo para poder escribir cualquier forma cuadrática en una forma estandarizada. Esto nos llevará más adelante a plantear la ley de inercia de Sylvester.

Preparaciones para el teorema de Gauss

Antes de empezar con el teorema, veamos una propiedad de las formas cuadráticas en $R^{n}$ . Tomemos $e_{1}, \dots, e_{n}$ la base canónica de $R^{n}$ . Tomemos $q$ una forma cuadrática de $R^{n}$ y $b$ su forma polar.

Cualquier vector $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ de $R^{n}$ se escribe como $(x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} e_{i}$ . Por lo que hicimos en la entrada anterior tenemos entonces:

$q (x) = b (x, x) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} x_{i} x_{j} b (e_{i}, e_{j}) .$

Para simplificar la notación definamos $a_{i j} := b (e_{i}, e_{j})$ . Podemos «ver» todos los sumandos en la siguiente expresión:

$\begin{aligned} q (x) & = x_{1}^{2} a_{11} + x_{1} x_{2} a_{12} + \dots + x_{1} x_{n} a_{1 n} \\ + x_{2} x_{1} a_{21} + x_{2}^{2} a_{22} + \dots + x_{2} x_{n} a_{2 n} \\ ⋮ \\ + x_{n} x_{1} a_{n 1} + x_{n} x_{2} a_{n 2} + \dots + x_{n}^{2} a_{n n} \end{aligned}$

Aquí hay algunos términos «puros» de la forma $a_{i i} x_{i}^{2}$ . Se encuentran en la «diagonal». Tenemos también algunos términos «mixtos» de la forma $a_{i j} x_{i} x_{j}$ con $i \neq j$ . Por la simetría de $b$ , en los términos mixtos tenemos $a_{i j} = a_{j i}$ . Al separar en términos puros y mixtos obtenemos entonces la siguiente expresión:

$\begin{array}{r} (1) & q (x) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i i} x_{i}^{2} + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{i j} x_{i} x_{j} . \end{array}$

Usaremos esto más abajo.

Teorema de Gauss de formas cuadráticas

Teorema. Sea $q$ una forma cuadrática en $V = R^{n}$ . Existen reales $α_{1}, \dots, α_{r}$ y formas lineales $l_{1}, \dots l_{r}$ de $V$ linealmente independientes tales que, para todo $x \in V$ se tiene
$q (x) = \sum_{i = 1}^{r} α_{i} (l_{i} (x))^{2} .$

Recordemos que la independencia lineal de las formas $l_{1}, \dots, l_{r}$ sucede en el espacio dual $V^{*}$ .

Demostración. Procedamos por inducción sobre $n$ . De la igualdad $(1)$ , cuando $n = 1$ la forma cuadrática es de la forma $q (x) = a_{11} x_{1}^{2}$ . Al definir $α_{1} = a_{11}$ y $l_{1} (x) = x_{1}$ obtenemos la forma deseada.

Supongamos que el teorema se cumple para $n - 1$ . De la igualdad $(1)$ sabemos que $q$ se puede escribir como sigue:

$\begin{array}{r} q (x) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i i} x_{i}^{2} + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{i j} x_{i} x_{j} . \end{array}$

Tenemos tres posibilidades:

Que todos los $a_{i i}$ y todos los $a_{i j}$ sean cero. Este caso es inmediato pues entonces $q$ es la forma cuadrática cero y podemos tomar $l_{1} (x) = x_{1}$ y $α_{1} = 0$ .
Que algún $a_{i i}$ sea distinto de cero.
Que todos los $a_{i i}$ sean cero, pero algún $a_{i j}$ sea distinto de cero.

Hagamos cada uno de los últimos dos casos por separado. Comencemos por el caso en el que algún $a_{i i}$ es distinto de cero. Sin pérdida de generalidad (¿por qué?) podemos suponer que es $a_{n n}$ .

Apartando los términos que tienen $x_{n}$ de los que no obtenemos:

$\begin{array}{r} \sum_{i = 1}^{n} a_{i i} x_{i}^{2} = a_{n n} x_{n}^{2} + \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i i} x_{i}^{2} . \end{array}$

$\begin{array}{r} 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{i j} x_{i} x_{j} = 2 (\sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i n} x_{i}) x_{n} + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n - 1} a_{i j} x_{i} x_{j} \end{array}$

Con esto

$\begin{array}{r} q (x) = a_{n n} x_{n}^{2} + 2 (\sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i n} x_{i}) x_{n} + \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i i} x_{i}^{2} + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n - 1} a_{i j} x_{i} x_{j} . \end{array}$

Si bien esta expresión se ve complicada, en realidad podemos pensar que en términos de la variable $x_{n}$ es «simplemente una cuadrática». Basados en los primeros dos términos podemos completar un binomio al cuadrado como sigue:

$\begin{array}{r} q (x) = a_{n n} {(x_{n} + \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{a_{i n}}{a_{n n}} x_{i})}^{2} - a_{n n} {(\sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{a_{i n}}{a_{n n}} x_{i})}^{2} + \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i i} x_{i}^{2} + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n - 1} a_{i j} x_{i} x_{j} . \end{array}$

Notemos que la expresión

$\begin{array}{r} - a_{n n} {(\sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{a_{i n}}{a_{n n}} x_{i})}^{2} + \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i i} x_{i}^{2} + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n - 1} a_{i j} x_{i} x_{j} \end{array}$

ya no tiene a la variable $x_{n}$ y que de hecho es una forma cuadrática en las variables $x_{1}, \dots, x_{n - 1}$ (¿por qué?). De este modo, podemos aplicarle hipótesis inductiva para obtener que existen escalares $α_{1}, \dots, α_{r}$ y formas lineales $l_{1}^{'}, \dots, l_{r}^{'}$ linalmente independientes de $R^{n - 1}$ tales que

$\begin{array}{r} q^{'} (x_{1}, \dots, x_{n - 1}) = \sum_{i = 1}^{r} α_{i} (l_{i}^{'} (x))^{2} . \end{array}$

Si bien estas $l_{i}^{'}$ son formas lineales de $R^{n - 1}$ , también podemos pensarlas como formas lineales de $R^{n}$ . Formalmente, tomamos $l_{i} : R^{n} \to R$ dada por $l_{i} (x_{1}, \dots, x_{n}) = l_{i}^{'} (x_{1}, \dots, x_{n - 1})$ . Para finalizar, definimos

$\begin{array}{r} l_{r + 1} (x_{1}, \dots, x_{n}) = x_{n} + \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{a_{i n}}{a_{n n}} x_{i}, α_{r + 1} = a_{n n} . \end{array}$

De aquí, obtenemos la expresión deseada para $q$ :

$\begin{array}{r} q (x) = \sum_{i = 1}^{r + 1} α_{i} (l_{i} (x))^{2} \end{array}$

Falta argumentar por qué las $l_{i}$ son linealmente independientes. Si una combinación lineal de ellas da cero, como $l_{r + 1}$ es la única que involucra a $x_{n}$ , entonces su coeficiente debe ser cero. Así, obtendríamos una combinación lineal de $l_{1}, \dots, l_{r}$ igualada a cero. Pero esta es una combinación lineal de $l_{1}^{'}, \dots, l_{r}^{'}$ . Por hipótesis inductiva, estas son linealmente independientes así que todos los coeficientes deben ser cero.

Lo anterior termina el caso para cuando hay algún «término puro». Falta el caso en el que todos los «términos puros» tienen coeficiente cero, pero hay por lo menos un «término mixto». Por la igualdad $(1)$ tenemos que la forma cuadrática se ve así:

$\begin{array}{r} q (x) = 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{i j} x_{i} x_{j} . \end{array}$

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que el término mixto que no es cero es el $a_{n - 1, n}$ (¿por qué?). La idea es ahora separar a los términos que tienen $x_{n - 1}$ ó $x_{n}$ de los que no, y utilizar la siguientes identidades algebraicas que se valen para cualesquiera $A, B, C, D, E$ (haz las cuentas):

$\begin{array}{r} (2) & A x_{n - 1} x_{n} + B x_{n - 1} + C x_{n} = A (x_{n - 1} + \frac{C}{A}) (x_{n} + \frac{B}{A}) - \frac{B C}{A}, \end{array}$

$\begin{array}{r} (3) & D E = \frac{1}{4} (D + E)^{2} - \frac{1}{4} (D - E)^{2} . \end{array}$

Al realizar la separación nos queda:

$\begin{array}{r} q (x) = 2 a_{n - 1, n} x_{n - 1} x_{n} + 2 \sum_{i = 1}^{n - 2} a_{i n} x_{i} x_{n} + 2 \sum_{i = 1}^{n - 2} a_{i, n - 1} x_{i} x_{n - 1} + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n - 2} x_{i} x_{j} a_{i j} . \end{array}$

Así, podemos usar la identidad $(2)$ con los siguientes valores

$\begin{aligned} A & = 2 a_{n - 1. n}, \\ B & = 2 \sum_{i = 1}^{n - 2} a_{i, n - 1} x_{i}, \\ C & = 2 \sum_{i = 1}^{n - 2} a_{i, n} x_{i} \end{aligned}$

para obtener que $q$ es:

$\begin{array}{r} A (x_{n - 1} + \frac{C}{A}) (x_{n} + \frac{B}{A}) - \frac{B C}{A} + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n - 2} x_{i} x_{j} a_{i j} \end{array}$

Al primer sumando podemos reescribirlo usando la identidad $(3)$ como

$\begin{array}{r} \frac{A}{4} {(x_{n - 1} + x_{n} + \frac{B + C}{A})}^{2} - \frac{A}{4} {(x_{n - 1} - x_{n} - \frac{B - C}{A})}^{2} \end{array}$

A la expresión conformada por los últimos dos sumandos le podemos aplicar hipótesis inductiva (¿por qué?) para escribirla de la forma $\begin{array}{r} q^{'} (x_{1}, \dots, x_{n - 2}) = \sum_{i = 1}^{r} α_{i}^{'} (l_{i}^{'} (x_{1}, \dots, x_{n - 2}))^{2} \end{array}$ con $l_{1}^{'}, \dots, l_{r}^{'}$ formas lineales linealmente independientes de $R^{n - 2}$ . Como en el caso anterior, podemos «convertir» estas formas lineales a formas lineales $l_{1}, \dots, l_{r}$ en $R^{n}$ . Al agregar las siguientes dos formas lineales

$\begin{aligned} l_{r + 1} (x) & = x_{n - 1} + x_{n} + \frac{B + C}{A} \\ l_{r + 2} (x) & = x_{n - 1} - x_{n} - \frac{B - C}{A} \end{aligned}$

y tomar $α_{r + 1} = \frac{A}{4}$ , $α_{r + 2} = - \frac{A}{4}$ , obtenemos la expresión deseada:
$\begin{array}{r} q (x) = \sum_{i = 1}^{r + 2} α_{i} (l_{i} (x))^{2} . \end{array}$

La demostración de que en efecto $l_{1}, \dots, l_{r + 2}$ son linealmente independientes queda como ejercicio.

Así por principio de inducción tenemos que el teorema de Gauss se cumple para cualquier forma cuadrática $q$ en $R^{n}$ para todo $n \geq 1$ entero.

Más adelante…

Debido a la longitud de esta demostración, los ejemplos serán reservados para la siguiente entrada.

Las formas cuadráticas, aunque interesantes, muestran estar limitadas por cómo las definimos, ya que se definen sólo en espacios vectoriales reales. En las siguientes entradas expandiremos un poco esta definición para también abarcar al menos espacios vectoriales complejos y luego nos enfocaremos en un tipo especial de éstas.

Además, al principio de la entrada se dieron pistas a que existe una relación entre formas bilineales y matrices, esto será explorado posteriormente.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

Sea $q$ una forma cuadrática en $R^{n}$ y $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ . Muestra que $\begin{array}{r} q (x) = \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j} con a_{i j} = b (e_{i}, e_{j}) . \end{array}$
Sea $A$ la matriz con entradas $a_{i j}$ dadas en el problema anterior. ¿Qué podrías afirmar acerca de $A$ sin importar la $q$ elegida?
Sea $A = [a_{i j}]$ una matriz simétrica en $M_{n} (R)$ y definamos
$\begin{array}{r} q : R^{n} \to R dada por q (x) = \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j} \end{array}$ ¿Es $q$ así definida una forma cuadrática? ¿Es necesario que $A$ sea simétrica?
Demuestra que las formas lineales definidas en el segundo caso de la demostración del teorema de Gauss en efecto son linealmente independientes.
Sean $α_{1}, \dots, α_{r}$ números reales y $l_{1}, \dots, l_{r}$ formas lineales, linealmente independientes en $R^{n}$ y $x \in R^{n}$ . Definamos $q$ como sigue:
$\begin{array}{r} q (x) = \sum_{i}^{n} α_{i} l_{i} (x) \end{array}$
¿Es $q$ así definida una forma cuadrática en $R^{n}$ ?

Entradas relacionadas

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Lineal II: Repaso de formas bilineales y formas cuadráticas

Por Diego Ligani Rodríguez Trejo

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Introducción

Aunque en previas entradas ya se ha hablado de formas bilineales y formas cuadráticas, retomaremos su estudio en esta entrada y nos dedicaremos a probar algunas propiedades que previamente no fueron demostradas.

También nos familiarizaremos con algunos tipos especiales de formas bilineales e intentaremos extender las definiciones ya dadas, esta vez para espacios vectoriales cuyo campo sea $C$ .

Formas bilineales

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $R$ . Una forma bilineal es una función $b : V \times V \to R$ tal que:

Para cualquier $x \in V$ la función $b (x, \cdot) : V \to R$ que envía $v$ a $b (x, v)$ es lineal.
Para cualquier $y \in V$ la función $b (\cdot, y) : V \to R$ que envía $v$ a $b (v, y)$ es lineal.

Definición. Una forma bilineal $b$ se llama simétrica si $b (x, y) = b (y, x)$ para cualquier par $x, y \in V$ .

A partir de la definición de forma bilineal podemos saber cómo «abrir combinaciones lineales» si las tenemos en ambas entradas.

Proposición. Sea $b$ una forma bilineal en un espacio vectorial $V$ sobre $R$ . Sean $x_{1}, \dots x_{n} \in V$ , $y_{1}, \dots y_{m} \in V$ y $a_{1}, \dots a_{n}, c_{1}, \dots c_{m} \in R$ . Tenemos que:
$\begin{array}{r} b (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i}, \sum_{j = 1}^{m} c_{j} y_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} a_{i} c_{j} b (x_{i}, y_{j}) \end{array}$

Demostración. Usando la linealidad en la primera entrada de $b$ tenemos que:

$b (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i}, \sum_{j = 1}^{m} c_{j} y_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b (x_{i}, \sum_{j = 1}^{m} c_{j} y_{j}) .$
Procediendo de manera similar en la segunda entrada de cada sumando obtenemos:

$\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b (x_{i}, \sum_{j = 1}^{m} c_{j} y_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} (\sum_{j = 1}^{m} c_{j} b (x_{i}, y_{j})) .$

Multiplicando el real $a_{i}$ por la suma de índice $j$ para que «entre a la suma» obtenemos la expresión deseada.

Obtenemos el siguiente corolario.

Corolario. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $R$ de dimensión finita y $e_{1}, \dots, e_{n}$ una base. Una forma bilineal $b$ queda totalmente definida por los valores $b (e_{i}, e_{j})$ para $1 \leq i \leq n$ y $1 \leq j \leq n$ .

Formas cuadráticas

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $R$ . Una forma cuadrática es una función $q : V \to R$ tal que existe una forma bilineal $b : V \times V \to R$ que cumple $\begin{array}{r} q (x) = b (x, x) . \end{array}$

Identidad de polarización

Puede existir una forma cuadrática que tenga más de una forma bilineal asignada.

Ejemplo. Tomemos $V = R^{2}$ y $b_{1}, b_{2} : V \times V \to R$ definidas como sigue para $x = (x_{1}, x_{2})$ y $y = (y_{1}, y_{2})$ :

$\begin{aligned} b_{1} (x, y) & = x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} \\ b_{2} (x, y) & = x_{2} y_{1} - x_{1} y_{2} . \end{aligned}$

De aquí:

$\begin{aligned} b_{1} (x, x) & = x_{1} x_{2} - x_{2} x_{1} = 0 \\ b_{2} (x, x) & = x_{2} x_{1} - x_{1} x_{2} = 0, \end{aligned}$

por lo que $b_{1}$ y $b_{2}$ tendrían la misma forma cuadrática asignada.

$△$

Por suerte basta agregar una restricción a la forma bilineal para que tengamos esta deseada unicidad. Esto lo afirma el siguiente teorema.

Teorema (Identidad de polarización). Sea $V$ un espacio vectorial sobre $R$ y $q : V \to R$ una forma cuadrática. Existe una única forma bilineal simétrica $b : V \times V \to R$ tal que $q (x) = b (x, x)$ para todo $x \in V$ .

Más aún, esta $b$ se puede encontrar de la siguiente manera:
$\begin{array}{r} b (x, y) = \frac{q (x + y) - q (x) - q (y)}{2} . \end{array}$

Demostración. Por la definición de forma cuadrática, sabemos que existe una forma bilineal (no necesariamente simétrica) $B$ tal que $q (x) = B (x, x)$ . Tomemos la función $b : V \times V \to R$ dada por la siguiente fórmula: $b (x, y) = \frac{q (x + y) - q (x) - q (y)}{2} .$

Dado que $q (x) = B (x, x)$ , podemos calcular $b$ como $\begin{array}{r} b (x, y) = \frac{B (x + y, x + y) - B (x, x) - B (y, y)}{2} . \end{array}$

Usando la bilinealidad de $B$ , el primer sumando $B (x + y, x + y)$ es $B (x, x + y) + B (y, x + y),$ que a su vez es $B (x, x) + B (x, y) + B (y, x) + B (y, y) .$

Sustituyendo esto en $b (x, y)$ y simplificando nos arroja la igualdad

$\begin{array}{r} b (x, y) = \frac{B (x, y) + B (y, x)}{2} . \end{array}$

Esta igualdad nos dice que $b$ es combinación lineal de las formas bilineales $(x, y) \mapsto B (x, y)$ y $(x, y) \mapsto B (y, x)$ , de modo que $b$ es bilineal. Además, de esta igualdad se concluye de manera inmediata que $b (x, y) = b (y, x)$ . Así, $b$ es forma bilineal simétrica.

Una última aplicación de la igualdad previa nos ayuda a probar que $q (x) = b (x, x)$ , ya que:

$\begin{aligned} b (x, x) & = \frac{B (x, x) + B (x, x)}{2} \\ = B (x, x) \\ = q (x) . \end{aligned}$

Lo único que nos falta demostrar es la unicidad. Si tuviéramos otra forma bilineal simétrica $b^{'} : V \times V \to R$ tal que $q (x) = b^{'} (x, x)$ , ésta debe cumplir lo siguiente:

$\begin{aligned} q (x + y) & = b^{'} (x + y, x + y) \\ = b^{'} (x, x) + 2 b^{'} (x, y) + b^{'} (y, y) . \end{aligned}$

Al despejar a $b^{'} (x, y)$ obtenemos

$\begin{array}{r} b^{'} (x, y) = \frac{q (x + y) - q (x) - q (y)}{2} = b (x, y) . \end{array}$

Finalicemos recordando una última definición que relaciona a $q$ con su única forma bilineal simétrica.

Definición. Sea $q : V \to R$ una forma cuadrática. A $b : V \times V \to R$ dada por
$\begin{array}{r} b (x, y) = \frac{q (x + y) - q (x) - q (y)}{2} \end{array}$
se le llama la forma polar de $q$ .

Más adelante…

En las siguientes entradas veremos un teorema importante que nos ayudará a entender todas las formas cuadráticas en $R^{n}$ . Un poco más adelante veremos análogos de lo que hemos hecho en $R$ , pero para espacios vectoriales sobre $C$ .

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

Sea $V = M_{n} (R)$ y definamos la función $b : V \times V \to R$ dada por $b (A, B) = Tr (A B)$ . Demuestra que $b$ es una forma bilineal simétrica.
Sea $V = M_{n} (R)$ y definamos la función $b^{'} : V \times V \to R$ dada por $b^{'} (A, B) = Tr (A^{t} B)$ . Demuestra que $b^{'}$ es una forma bilineal simétrica.
Sea $V = C^{0} [0, 1]$ (El espacio vectorial de funciones reales continuas en el intervalo $[0, 1]$ ) y $q (x) : V \to R$ tal que $q (f) = \int_{0}^{1} f (x)^{2} d x$ . ¿Es $q$ una forma cuadrática? Si sí, ¿quién es su forma polar?
Sea $q$ una forma cuadrática en $V$ con $b$ su forma polar. Demuestra que para cualquier pareja $x, y$ en $V$ se tiene que
$\begin{array}{r} b (x, y) = \frac{q (x + y) - q (x - y)}{4} . \end{array}$
Sea $q$ una forma cuadrática en $V$ con $b$ su polar. Demuestra que $\forall x, y \in V$ se tiene
$\begin{array}{r} q (x + y) + q (x - y) = 2 (q (x) + q (y)) . \end{array}$
¿Por qué en esta entrada se utiliza la palabra «forma», en lugar de «función», que es normalmente utilizada? ¿Hay alguna diferencia entre una forma y una función?

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