Introducción
Extremos Locales parte 2
Entre las caracteristicas geometricas básicas de la gráficas de una
función estan sus puntos extremos, en los cuales la función alcanza
sus valores mayor y menor.
Definición 1. Si es una función escalar, dado un punto
se llama mínimo local de si existe una vecindad de tal que , . De manera analoga, es un máximo local si existe una vecindad de tal que , . El punto es un extremo local o relativo, si es un mínimo local o máximo local.
Teorema 1. Si es abierto, la función es diferenciable y es un extremo local entonces , esto es es un punto crítico de .
Demostración. Supongamos que alcanza su máximo local en . Entonces para cualquier la función tiene un máximo local en . Asi, del cálculo de una variable ya que como es máximo local, para pequeño
Análogamente para pequeño tomamos
Ahora por regla de la cadena
Así de modo que . En resumen si es un extremo local, entonces . En otras palabras .
Ejemplo. Hallar los máximos y mínimos de la función , definida por
Solución. Debemos identificar los puntos críticos de resolviendo , para , De modo que el punto crítico es . Como
tenemos que por lo tanto en f alcanza un mínimo relativo.
Ejemplo. Considerar la función ,
entonces , . solo tiene un punto crítico en el origen, donde el valor de es 4. Como
tenemos que por lo tanto en f alcanza un máximo relativo.
Ejemplo. En el siguiente ejemplo mostramos que no todo punto critico es un valor extremo\Sea tenemos que sus puntos criticos son
por lo tanto
tomando tenemos que
tomando tenemos que
por lo tanto es el único punto critico.
Ahora bien para tomamos
la cual es ( si ) y ( si ) por lo tanto el punto critico no es ni máximo ni mínimo local de
Ahora bien para tomamos
por lo tanto el punto critico no es ni máximo ni mínimo local de
Para el caso de funciones tenemos que recordando un poco de la expresión de taylor
Haciendo podemos escribir el término rojo de la siguiente manera
y también se puede ver como producto de matrices
Si es un punto critico de la función entonces en la expresión de Taylor
El término
y por lo tanto
vamos a determinar el signo de la forma
vamos a trabajar sin el término que no afectara al signo de la expresión, tenemos entonces
hacemos y obtenemos
que podemos escribir
hacemos
y obtenemos
que se puede escribir
hacemos
y obtenemos
esta última expresión será positiva si y solo si y en clases pasadas vimos los dos primeros, veamos ahora que
tenemos entonces que
por lo tanto
Un poco de Algebra Lineal
Si una matriz simétrica entonces existe una una matriz ortonormal tal que
es una matriz diagonal, es decir
Las matrices ortonormales se usan para realizar un cambio de base.
Si es una forma cuadrática que tiene asociada la matriz simétrica A (en una base ortonormal) es decir
existe entonces una base ortonormal tal que la matriz asociada a en esta nueva base es una matriz diagonal.
Tenemos que si
es tal que es diagonal entonces
Por lo que
por lo que es positiva si son positivos, de igual manera es negativa si son negativos
Si definimos, para cada
entonces
de tal forma que podemos decir que F es positiva si y también es negativa si lo cual ocurre si si k es impar y si k es par para cada
Definición 2. La forma , que tiene asociada la matriz (respecto a la base canónica de ) se dice:
, si
La forma , que tiene asociada la matriz (respecto a la base canónica de ) se dice:
, si
Definición 3. Si la forma es definida positiva, entonces tiene un mínimo local en en . Si la forma es definida negativa, entonces tiene un máximo local en en .
Definición 4. Dada una matriz cuadrada se consideran las submatrices angulares definidas como
se define
Se tiene entonces que la forma es definida positiva si y solo si todos los determinantes son números positivos.
La forma es definida negativa si y solo si los dterminantes tienen signos alternados comenzando por $\triangle_{1}<0,\triangle_{2}>0,…$ respectivamente.
Ejemplo. Consideremos la función , el punto es
un punto crítico de y en ese punto la matriz hessiana de
es
los determinantes de las submatrices angulares son
puesto que son signos alternantes con concluimos que la funcion tiene en un máximo local. Este máximo local vale