(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Alguna vez te haz preguntado: ¿qué ocurre con un cociente de cocientes? Comencemos con un ejemplo para crear intuición.

Digamos que queremos que el siguiente cociente tenga sentido:
$$\begin{array}{r}(G/K)/(H/T).\end{array}$$
Para ello, necesitamos que $K⊴G$, $T⊴H$ y además $H/T⊴G/K$. Lo último nos indica en particular que $H/T$ debe ser un subconjunto de $G/K$. Como los elementos de $H/T$ son de la forma $hT$con $h\in H$ y los de $G/K$ de la forma $gK$ con $g\in G$, para que $H/T\subseteq G/K$ necesitamos primero que las clases se formen con respecto al mismo subgrupo, es decir requerimos que $T=K$. Además, todo $h\in H$ debería ser elemento de $G$, por lo que $H\subseteq G.$

Volvamos a escribir el cociente ahora con $T=K$,
$$\begin{array}{r}(G/K)/(H/K).\end{array}$$
También actualicemos las necesidades:

1. $K⊴G$,
2. $K⊴H$ y
3. $H/K⊴G/K$ con $H\subseteq G.$

Notemos que $K\subseteq H\subseteq G$ y la primera condición, $K⊴G$, nos da la segunda, $K⊴H$. También podemos pedir que $H⊴G$ y de esto obtendríamos la tercera necesidad, $H/K⊴G/K$. Además, al pedir que $H⊴G$ podríamos considerar al cociente $G/H$.

En esta entrada, demostraremos el Tercer Teorema de Isomorfía, el cual nos respalda en afirmar, bajo las condiciones ya establecidas, que
$$\begin{array}{r}G/H\cong (G/K)/(H/K).\end{array}$$

De esto podemos concluir que, cuando se tiene un cocientes de cocientes existe una manera de reducirlo ya que es isomorfo a un cociente más sencillo.

Enunciado del Teorema

Comenzaremos enunciando y demostrando el teorema. Como ya dijimos en la entrada del Primer Teorema de Isomorfía, aquí volveremos a usarlo para probar el Tercero.

Teorema. (Tercer Teorema de Isomorfía)
Sean $G$ un grupo, $H$ y $K$ subgrupos normales de $G$ con $K\le H$. Entonces $H/K⊴G/K$ y
$$\begin{array}{r}(G/K)/(H/K)\cong G/H.\end{array}$$

Demostración.
Sean $G$ un grupo, $H⊴G$, $K⊴G$ con $K\le H$.
Como $K⊴G$, al conjugar elementos de $K$ con cualquier elemento de $G,$ obtenemos elementos de $K$. En particular, si conjugamos elementos de $K$ con cualquier elemento de $H,$ obtenemos elementos de $K$. Así obtenemos que $K⊴H$.

Ahora, usaremos el Primer Teorema de Isomorfía para probar el isomorfismo buscado, para ello bastaría definir una $\phi$ tal que $\text{Núc }\phi =H/K$ y $\text{Im }\phi =G/H$.

Sea $\phi :G/K\to G/H$ con $\phi (gK)=gH$ para toda $g\in G$.

Primero, veamos que $\phi$ está bien definida.
Tomemos $a,b\in G$.
$$\begin{array}{rl}aK=bK& \Rightarrow b^{-1}a\in K\\ & \Rightarrow b^{-1}a\in H& \text{Porque }K\subseteq H\\ & \Rightarrow aH=bH.\end{array}$$
Esto nos dice que debido a la contención $K\subseteq H$, dos clases que son iguales con respecto a $K$, seguirán siendo iguales con respecto a $H$. Así, $\phi$ está bien definida.

Ahora veamos que $\phi$ es un homomorfismo. Sean $a,b\in G$
$$\begin{array}{r}\phi (aKbK)=\phi (abK)=abH=aHbH=\phi (aK)\phi (bK)\end{array}$$
entonces $\phi$ es un homomorfismo.

Ahora sí, comencemos a analizar su núcleo:
$$\begin{array}{rlr}\text{Núc }\phi & =\{gK\in G/K:\phi (gK)=e_{G/H}\}& \text{Definición de núcleo}\\ & =\{gK\in G/K:gH=H\}& \text{Definición de }\phi \text{ y neutro del cociente}\\ & =\{gK\in G/K:g\in H\}& gH=H\iff g\in H\\ & =H/K\end{array}$$

Así, $\text{Núc }\phi =H/K$ y en consecuencia $H/K⊴G/K.$

Veamos ahora que $\phi$ es suprayectiva.
Sea $x\in G/H$, $x=gH$ con $g\in G$. Por definición de $\phi$ tenemos,
$$\begin{array}{r}x=gH=\phi (gK)\in \text{Im }\phi .\end{array}$$
Como siempre sucede que $\text{Im }\phi \subseteq G/H$. Entonces $\text{Im }\phi =G/H$.

Por el Primer Teorema de Isomorfía:
$$\begin{array}{r}(G/K)/\text{Núc }\phi \cong \text{Im }\phi \end{array}$$
entonces, de acuerdo a lo que analizamos,
$$\begin{array}{r}(G/K)/(H/K)\cong G/H.\end{array}$$

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Ejemplo

Veamos ahora un ejemplo del Tercer Teorema de Isomorfía.

Tomemos $G=(\mathbb{R},+),H=(\mathbb{Z},+)$. Consideremos $n\in \mathbb{Z}$ y $K=⟨n⟩=n\mathbb{Z}$.

Sabemos que $\mathbb{Z}⊴\mathbb{R}$ y que $⟨n⟩⊴\mathbb{R}$ ya que $\mathbb{R}$ es abeliano.
Por el 3er Teorema de Isomorfía,
$$\begin{array}{r}(\mathbb{R}/⟨n⟩)/(\mathbb{Z}/⟨n⟩)\cong \mathbb{R}/\mathbb{Z}.\end{array}$$

Veamos cómo es $\mathbb{Z}/⟨n⟩$. Sea $\phi :\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_n$ con $\phi (m)=\overline{m}$ para todo $m\in \mathbb{Z}$. Por lo que tenemos estudiado de Álgebra Superior II, sabemos que $\phi$ es un epimorfismo con $\text{Núc }\phi =⟨n⟩$ y por el 1er Teorema de Isomorfía
$$\begin{array}{r}\mathbb{Z}/⟨n⟩\cong {\mathbb{Z}}_n.\end{array}$$

Analicemos ahora el cociente $\mathbb{R}/⟨n⟩$. Sea $\psi :\mathbb{R}\to {\mathbb{C}}^{\ast }$ con $\psi (x)=e^{\frac{2\pi ix}{n}}$ para toda $x\in \mathbb{R}$. Tenemos que $\psi$ es un homomorfismo con
$$\begin{array}{rl}\text{Núc }\psi & =\{x\in \mathbb{R}:\psi (x)=1\}=\{x\in \mathbb{R}:e^{\frac{2\pi ix}{n}}=1\}\\ & =\{nk:k\in \mathbb{Z}\}=⟨n⟩.\\ \\ \text{Im }\psi & =\{\psi (x):x\in \mathbb{R}\}=\{e^{\frac{2\pi ix}{n}}:x\in \mathbb{R}\}\\ & =\{z\in \mathbb{C}:|z|=1\}={\mathbb{S}}^1.\end{array}$$
Por el 1er Teorema de Isomorfía aplicado a $\psi$ obtenemos que $\mathbb{R}/⟨n⟩\cong {\mathbb{S}}^1$.

Por último, veamos cómo es $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$. Sea $F:\mathbb{R}\to {\mathbb{C}}^{\ast }$ con $F(x)=e^{2\pi ix}$ para toda $x\in \mathbb{R}$. Tenemos que $F$ es un homomorfismo con
$$\begin{array}{rl}\text{Núc }F& =\{x\in \mathbb{R}:F(x)=1\}=\{x\in \mathbb{R}:e^{2\pi ix}=1\}\\ & =\{x:x\in \mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}.\\ \\ \text{Im }F& =\{F(x):x\in \mathbb{R}\}=\{e^{2\pi ix}:x\in \mathbb{R}\}\\ & =\{z\in \mathbb{C}:|z|=1\}={\mathbb{S}}^1.\end{array}$$

Así, $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong {\mathbb{S}}^1$ por el 1er Teorema de Isomorfía.

Recapitulando, hemos visto que
$$\begin{array}{rl}{\mathbb{S}}^1& \cong \mathbb{R}/⟨n⟩\\ {\mathbb{Z}}_n& \cong \mathbb{Z}/⟨n⟩.\end{array}$$

Entonces, retomando el cociente con el que iniciamos:
$$\begin{array}{r}(\mathbb{R}/⟨n⟩)/(\mathbb{Z}/⟨n⟩)\cong \mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong {\mathbb{S}}^1.\end{array}$$

donde ${\mathbb{S}}^1\cong \mathbb{R}/⟨n⟩$ y ${\mathbb{Z}}_n\cong \mathbb{Z}/⟨n⟩.$ Entonces, un cociente de ${\mathbb{S}}^1$ módulo un subgrupo suyo no trivial (que es isomorfo a ${\mathbb{Z}}_n$), resulta ser isomorfo a ${\mathbb{S}}^1$.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

1. Sea $G$ un grupo, $H$ y $K$ subgrupos normales de $G$ con $K$ un subgrupo de $H$. Describe cómo son en general los elementos del cociente $(G/K)/(H/K)$.
2. Sea ${\mathbb{Z}}_{12}$, considera sus subgrupos $H=⟨\overline{2}⟩$ y $K=⟨\overline{4}⟩$.
   • Determina en este caso qué pasa al aplicar el Tercer Teorema de Isomorfía.
   • Describe cómo son los cocientes ${\mathbb{Z}}_{12}/K$ y $H/K$ encontrando explícitamente su orden, el orden de sus elementos y su tabla de multiplicar.

Más adelante…

Ya vamos 3/4 de los teoremas. ¡Qué emoción! En la próxima entrada veremos el más largo de los Teoremas de Isomorfía.

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