(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Hemos llegado a uno de los resultados más importantes del curso: el Teorema de Cauchy. Éste nos asegura la existencia de un elemento de determinado orden en el grupo. De forma más precisa nos dice que para cada primo que divida al orden del grupo, existe un elemento con orden exactamente ese primo.

Con este resultado nos nace una nueva pregunta: ¿cómo se relaciona esto con los $p$-grupos? y otra más: ¿se puede relacionar esto con el centro de un grupo? Tal vez no parezcan preguntas que te harías directamente después de ver el teorema, pero igual las responderemos. Es especialmente interesante lo del centro de un grupo porque en ocasiones podemos concluir que ciertos grupos deben ser abelianos.

Uno de los resultados más importantes del curso

Teorema de Cauchy.
Sea $G$ un grupo finito, $p\in {\mathbb{Z}}^{+}$ un primo que divida a $|G|.$ Entonces existe $g\in G$ de orden $p.$

Demostración.
Sea $G$ un grupo finito, $p\in {\mathbb{Z}}^{+}$ un primo tal que $p||G|.$

P.D. Existe un elemento $g\in G$ de orden $p$.

Para esta demostración, queremos usar el último teorema de la entrada anterior. Pero este sólo aplica para un conjunto finito y un $p$-grupo. Por lo que comenzaremos definiendo un conjunto finito a partir de $G$.

Consideremos
$$\begin{array}{r}X=\{(g_1,\cdots ,g_p)|g_1,\cdots ,g_p\in G,g_1\cdots g_p=e\}\end{array}$$
el conjunto de las $p-$adas cuyo producto dé el neutro.

Observemos que podemos elegir las primeras $p-1$ entradas de un elemento en $X$ como sea, pero la última no porque la condición $g_1\cdots g_p=e$ nos indica que $g_p=(g_1\cdots g_{p-1}{)}^{-1}.$ Así $\mathrm{\#}X=|G{|}^{p-1}$ y como $p$ divide al orden de $G$, entonces $p|\mathrm{\#}X$.

Sea $H=⟨(12\cdots p)⟩\le S_p$, el cual es un $p$-grupo. $H$ actúa en $X$ permutando los subíndices, es decir,
$$\begin{array}{r}(12\cdots p)\cdot (g_1,\cdots ,g_p)=(g_2,g_3,\cdots ,g_p,g_1)\end{array}$$
y en general, si $\sigma =(12\cdots p)$, entonces para toda $j\in \mathbb{Z}$
$$\begin{array}{r}{\sigma }^j\cdot (g_1,\cdots ,g_p)=(g_{{\sigma }^j(1)},\cdots ,g_{{\sigma }^j(p)}).\end{array}$$

Tenemos que observar que la acción está bien definida. Esto sucede ya que si $(g_1,\cdots ,g_p)\in X$ tenemos que $g_1=(g_2,\cdots ,g_p{)}^{-1}$ y así $$(g_2\cdots g_p)g_1=e.$$

Entonces $(12\cdots p)\cdot (g_1,\cdots ,g_p)=(g_2,\cdots ,g_p,g_1)\in X.$ Así, $H$ manda elementos de $X$ en elementos de $X$.

Por otro lado,
$$\begin{array}{r}\text{id}\cdot (g_1,\cdots ,g_p)=(g_{\text{id}(1)},\cdots ,g_{\text{id(p)}})=(g_1,\cdots ,g_p)\end{array}$$
y además
$$\begin{array}{rlr}{\sigma }^j\cdot ({\sigma }^t\cdot (g_1,\cdots ,g_p))& ={\sigma }^j\cdot (g_{{\sigma }^t(1)},\cdots ,g_{{\sigma }^t(p)})& \text{Aplicamos }{\sigma }^t\\ & =(g_{{\sigma }^j({\sigma }^t(1))},\cdots ,g_{{\sigma }^j({\sigma }^t(p))})& \text{Aplicamos }{\sigma }^j\\ & =(g_{{\sigma }^{j+t}(1)},\cdots ,g_{{\sigma }^{j+t}(p)})\\ & ={\sigma }^{j+t}\cdot (g_1,\cdots ,g_p)=({\sigma }^j{\sigma }^t)\cdot (g_1,\cdots ,g_p).\end{array}$$

Así, efectivamente tenemos una acción de $H$ en $X$.

Como $|H|=p$, por el teorema de la entrada anterior
$$\begin{array}{r}\mathrm{\#}X\equiv \mathrm{\#}{X}_H(\text{mód }p).\end{array}$$
Pero recordemos que $p\mid \mathrm{\#}X$, entonces $p\mid \mathrm{\#}{X}_H.$

Ahora vamos a analizar cómo es $\mathrm{\#}{X}_H$. Comencemos por entender quién es el conjunto $X_H$,
$$\begin{array}{rl}{X}_H& =\{(g_1,\cdots ,g_p)\in X|{\sigma }^j\cdot (g_1,\cdots ,g_p)=(g_1,\cdots ,g_p)\mathrm{\forall }j\}\\ & =\{(g_1,\cdots ,g_p)\in X|\sigma \cdot (g_1,\cdots ,g_p)=(g_1,\cdots ,g_p)\}& \text{si }\sigma \text{ fija a un elemento, también }{\sigma }^j\\ & =\{(g_1,\cdots ,g_p)\in X|(g_2,\cdots ,g_p,g_1)=(g_1,\cdots ,g_p)\}& \text{Definición de }\sigma \\ & =\{(g_1,\cdots ,g_p)\in X|g_1=\cdots =g_p\}& \text{Implicación directa}.\end{array}$$

En particular, $(e,\cdots ,e)\in X_H$ por lo que $\mathrm{\#}{X}_H\ge 1$. Pero no puede haber exactamente un elemento en $X_H$ porque $p|\mathrm{\#}{X}_H$, entonces $\mathrm{\#}{X}_H>1.$ Existe entonces $(g,\cdots ,g)\in X_H$ con $g\in G$ tal que $g\ne e.$

Como $(g,\cdots ,g)\in X$ se tiene que $g^p=g\cdots g=e$ con $g\in G$ con $g\ne e.$

Así $g$ es un elemento en $G$ de orden $p$.

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Corolario. Sea $p\in {\mathbb{Z}}^{+}$ un primo, $G$ un grupo finito. $G$ es un $p$-grupo si y sólo si para todo $g\in G$ el orden $o(g)$ es una potencia de $p$.

Proposición. Sea $p\in {\mathbb{Z}}^{+}$ un primo. Si $G$ es un $p$-grupo con $G\ne \{e\}$ (no trivial) entonces $Z(G)\ne \{e\}.$

Demostración.
Sea $p\in {\mathbb{Z}}^{+}$ un primo, $G$ un $p$-grupo con $G\ne \{e\}.$ Por la ecuación de clase
$$\begin{array}{r}|G|=|Z(G)|+\sum _{j=1}^k[G:C_G(x_j)]\end{array}$$
con $x_1,\cdots ,x_k$ representantes de las distintas clases de conjugación con más de un elemento, por lo que
$$\begin{array}{rl}1<\mathrm{\#}{x}_j^G& =[G:C_G(x_j)]=\frac{|G|}{|C_G|}||G|.\end{array}$$

Como $|G|=p^t$, $t\in \mathbb{N}$, entonces $p|[G:C_G(x_j)]$ para toda $j\in \{1,\cdots ,k\}$.

Así
$$\begin{array}{r}p||G|–\sum _{j=1}^k[G:C_G(x_j)]=|Z(G)|.\end{array}$$

Como $|Z(G)|$ es múltiplo de $p$ no nulo, no puede ser 1. Entonces $Z(G)\ne \{e\}.$

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¿Grupos abelianos de nuevo?

Lema. Sea $G$ un grupo. Si $G/Z(G)$ es cíclico, entonces $G$ es abeliano.

Demostración.
Sea $G$ un grupo tal que $G/Z(G)$ es cíclico.

Entonces $G/Z(G)=⟨gZ(G)⟩$ con $g\in G.$

Sean $a,b\in G$. Como $aZ(G),bZ(G)\in G/Z(G)=⟨gZ(G)⟩$ entonces
$$\begin{array}{rlr}aZ(G)& =g^{k}Z(G)& \\ bZ(G)& =g^{t}Z(G)& \text{con }k,t\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

Así,
$$\begin{array}{rlr}a& =g^k{z}_1& \\ b& =g^t{z}_2& \text{con }k,t\in \mathbb{Z},z_1,z_2\in Z(G).\end{array}$$

Entonces
$$\begin{array}{rlr}ab& =(g^k{z}_1)(g^t{z}_2)=g^{k+t}{z}_1{z}_2& \text{Como }{z}_1\in Z(G),\text{ entonces }{z}_1\text{ conmuta con }{g}^t\\ ba& =(g^t{z}_2)(g^k{z}_1)=g^{t+k}{z}_2{z}_1& \text{Como }{z}_2\in Z(G),\text{ entonces }{z}_2\text{ conmuta con }{g}^k.\end{array}$$

Así $ab=ba$. Por lo tanto $G$ es abeliano.

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Corolario. Sea $p\in {\mathbb{Z}}^{+}$ un primo. Si $G$ es un grupo de orden $p^2$, entonces $G$ es abeliano.

Demostración.
Sea $p\in {\mathbb{Z}}^{+}$ un primo, $G$ un grupo con $|G|=p^2$.

$G$ es entonces un $p$-grupo con $G\ne \{e\}$, por la proposición previa $Z(G)\ne \{e\}.$

Como $Z(G)\le G$, entonces $|Z(G)|||G|=p^2$, con $|Z(G)|\ne 1.$ Así que $|Z(G)|=p$ ó $|Z(G)|=p^2.$

Si $|Z(G)|=p,$ entonces
$$\begin{array}{r}|G/Z(G)|=\frac{|G|}{|Z(G)|}=\frac{p^2}{p}=p,\end{array}$$
entonces $G/Z(G)$ es cíclico. Por el lema se tiene que $G$ es abeliano y entonces $Z(G)=G$. Esto es una contradicción porque $|G|=p^2$ y estamos suponiendo que $|Z(G)|=p$.

En consecuencia, obtenemos que $|Z(G)|=p^2$, entonces $Z(G)=G$ y así $G$ es abeliano.

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Tarea moral

1. Demuestra el primer corolario de esta entrada: Sea $p\in {\mathbb{Z}}^{+}$ un primo, $G$ un grupo finito. $G$ es un $p$-grupo si y sólo si para todo $g\in G$ el orden $o(g)$ es una potencia de $p$. (Sugerencia: Usa el Teorema de Cauchy).
2. Sea $p$ un primo, prueba que cada grupo $G$ de orden $2p$ es cíclico o isomorfo a $D_{2p}.$
3. Prueba o da un contraejemplo: Todo grupo de orden $p^3$ con $p\in {\mathbb{Z}}^{+}$ un primo, es abeliano.
4. Demuestra que si $G$ es un $p$-grupo finito no abeliano tal que $|G|=p^3.$ Entonces, $Z(G)\cong {\mathbb{Z}}_p.$

Más adelante…

Nos estamos encaminando a demostrar los Teoremas de Sylow, para ello todavía nos faltan un par de definiciones. En la siguiente entrada definiremos a los $p$-subgrupos de Sylow y usaremos el Teorema de Cauchy para probar que estos subgrupos siempre existen.

Entradas relacionadas

• Ir a Álgebra Moderna I.
• Entrada anterior del curso: Clase de Conjugación, Centro de $G$, Ecuación de Clase y $p$-Grupo.
• Siguiente entrada del curso: $p$-Subgrupo de Sylow y el Normalizador de $H$ en $G$.
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