Introducción

Aunque en previas entradas ya se ha hablado de formas bilineales y formas cuadráticas, retomaremos su estudio en esta entrada y nos dedicaremos a probar algunas propiedades que previamente no fueron demostradas.

También nos familiarizaremos con algunos tipos especiales de formas bilineales e intentaremos extender las definiciones ya dadas, esta vez para espacios vectoriales cuyo campo sea $\mathbb{C}$.

Formas bilineales

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Una forma bilineal es una función $b:V\times V\to \mathbb{R}$ tal que:

• Para cualquier $x\in V$ la función $b(x,\cdot ):V\to \mathbb{R}$ que envía $v$ a $b(x,v)$ es lineal.
• Para cualquier $y\in V$ la función $b(\cdot ,y):V\to \mathbb{R}$ que envía $v$ a $b(v,y)$ es lineal.

Definición. Una forma bilineal $b$ se llama simétrica si $b(x,y)=b(y,x)$ para cualquier par $x,y\in V$.

A partir de la definición de forma bilineal podemos saber cómo «abrir combinaciones lineales» si las tenemos en ambas entradas.

Proposición. Sea $b$ una forma bilineal en un espacio vectorial $V$ sobre $R$. Sean $x_1,\dots x_n\in V$, $y_1,\dots y_m\in V$ y $a_1,\dots a_n,c_1,\dots c_m\in \mathbb{R}$. Tenemos que:
$$\begin{array}{r}b(\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i,\sum _{j=1}^m{c}_j{y}_j)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_i{c}_{j}b(x_i,y_j)\end{array}$$

Demostración. Usando la linealidad en la primera entrada de $b$ tenemos que:

$$b(\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i,\sum _{j=1}^m{c}_j{y}_j)=\sum _{i=1}^n{a}_{i}b(x_i,\sum _{j=1}^m{c}_j{y}_j).$$
Procediendo de manera similar en la segunda entrada de cada sumando obtenemos:

$$\sum _{i=1}^n{a}_{i}b(x_i,\sum _{j=1}^m{c}_j{y}_j)=\sum _{i=1}^n{a}_i(\sum _{j=1}^m{c}_{j}b(x_i,y_j)).$$

Multiplicando el real $a_i$ por la suma de índice $j$ para que «entre a la suma» obtenemos la expresión deseada.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Obtenemos el siguiente corolario.

Corolario. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ de dimensión finita y $e_1,\dots ,e_n$ una base. Una forma bilineal $b$ queda totalmente definida por los valores $b(e_i,e_j)$ para $1\le i\le n$ y $1\le j\le n$.

Formas cuadráticas

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Una forma cuadrática es una función $q:V\to \mathbb{R}$ tal que existe una forma bilineal $b:V\times V\to \mathbb{R}$ que cumple $$\begin{array}{r}q(x)=b(x,x).\end{array}$$

Identidad de polarización

Puede existir una forma cuadrática que tenga más de una forma bilineal asignada.

Ejemplo. Tomemos $V={\mathbb{R}}^2$ y $b_1,b_2:V\times V\to \mathbb{R}$ definidas como sigue para $x=(x_1,x_2)$ y $y=(y_1,y_2)$:

$$\begin{array}{rl}{b}_1(x,y)& =x_1{y}_2-x_2{y}_1\\ b_2(x,y)& =x_2{y}_1-x_1{y}_2.\end{array}$$

De aquí:

$$\begin{array}{rl}{b}_1(x,x)& =x_1{x}_2-x_2{x}_1=0\\ b_2(x,x)& =x_2{x}_1-x_1{x}_2=0,\end{array}$$

por lo que $b_1$ y $b_2$ tendrían la misma forma cuadrática asignada.

$\mathrm{△}$

Por suerte basta agregar una restricción a la forma bilineal para que tengamos esta deseada unicidad. Esto lo afirma el siguiente teorema.

Teorema (Identidad de polarización). Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $q:V\to \mathbb{R}$ una forma cuadrática. Existe una única forma bilineal simétrica $b:V\times V\to \mathbb{R}$ tal que $q(x)=b(x,x)$ para todo $x\in V$.

Más aún, esta $b$ se puede encontrar de la siguiente manera:
$$\begin{array}{r}b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}.\end{array}$$

Demostración. Por la definición de forma cuadrática, sabemos que existe una forma bilineal (no necesariamente simétrica) $B$ tal que $q(x)=B(x,x)$. Tomemos la función $b:V\times V\to \mathbb{R}$ dada por la siguiente fórmula: $$b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}.$$

Dado que $q(x)=B(x,x)$, podemos calcular $b$ como $$\begin{array}{r}b(x,y)=\frac{B(x+y,x+y)-B(x,x)-B(y,y)}{2}.\end{array}$$

Usando la bilinealidad de $B$, el primer sumando $B(x+y,x+y)$ es $$B(x,x+y)+B(y,x+y),$$ que a su vez es $$B(x,x)+B(x,y)+B(y,x)+B(y,y).$$

Sustituyendo esto en $b(x,y)$ y simplificando nos arroja la igualdad

$$\begin{array}{r}b(x,y)=\frac{B(x,y)+B(y,x)}{2}.\end{array}$$

Esta igualdad nos dice que $b$ es combinación lineal de las formas bilineales $(x,y)\mapsto B(x,y)$ y $(x,y)\mapsto B(y,x)$, de modo que $b$ es bilineal. Además, de esta igualdad se concluye de manera inmediata que $b(x,y)=b(y,x)$. Así, $b$ es forma bilineal simétrica.

Una última aplicación de la igualdad previa nos ayuda a probar que $q(x)=b(x,x)$, ya que:

$$\begin{array}{rl}b(x,x)& =\frac{B(x,x)+B(x,x)}{2}\\ & =B(x,x)\\ & =q(x).\end{array}$$

Lo único que nos falta demostrar es la unicidad. Si tuviéramos otra forma bilineal simétrica $b^{\prime }:V\times V\to \mathbb{R}$ tal que $q(x)=b^{\prime }(x,x)$, ésta debe cumplir lo siguiente:

$$\begin{array}{rl}q(x+y)& =b^{\prime }(x+y,x+y)\\ & =b^{\prime }(x,x)+2b^{\prime }(x,y)+b^{\prime }(y,y).\end{array}$$

Al despejar a $b^{\prime }(x,y)$ obtenemos

$$\begin{array}{r}{b}^{\prime }(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}=b(x,y).\end{array}$$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Finalicemos recordando una última definición que relaciona a $q$ con su única forma bilineal simétrica.

Definición. Sea $q:V\to \mathbb{R}$ una forma cuadrática. A $b:V\times V\to \mathbb{R}$ dada por
$$\begin{array}{r}b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}\end{array}$$
se le llama la forma polar de $q$.

Más adelante…

En las siguientes entradas veremos un teorema importante que nos ayudará a entender todas las formas cuadráticas en ${\mathbb{R}}^n$. Un poco más adelante veremos análogos de lo que hemos hecho en $\mathbb{R}$, pero para espacios vectoriales sobre $\mathbb{C}$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

1. Sea $V=M_n(\mathbb{R})$ y definamos la función $b:V\times V\to \mathbb{R}$ dada por $b(A,B)=\text{Tr}(AB)$. Demuestra que $b$ es una forma bilineal simétrica.
2. Sea $V=M_n(\mathbb{R})$ y definamos la función $b^{\prime }:V\times V\to \mathbb{R}$ dada por $b^{\prime }(A,B)=\text{Tr}(A^{t}B)$. Demuestra que $b^{\prime }$ es una forma bilineal simétrica.
3. Sea $V={\mathcal{C}}^0[0,1]$ (El espacio vectorial de funciones reales continuas en el intervalo $[0,1]$) y $q(x):V\to \mathbb{R}$ tal que $q(f)={\int }_0^{1}f(x{)}^{2}dx$. ¿Es $q$ una forma cuadrática? Si sí, ¿quién es su forma polar?
4. Sea $q$ una forma cuadrática en $V$ con $b$ su forma polar. Demuestra que para cualquier pareja $x,y$ en $V$ se tiene que
   $$\begin{array}{r}b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x-y)}{4}.\end{array}$$
5. Sea $q$ una forma cuadrática en $V$ con $b$ su polar. Demuestra que $\mathrm{\forall }x,y\in V$ se tiene
   $$\begin{array}{r}q(x+y)+q(x-y)=2(q(x)+q(y)).\end{array}$$
6. ¿Por qué en esta entrada se utiliza la palabra «forma», en lugar de «función», que es normalmente utilizada? ¿Hay alguna diferencia entre una forma y una función?

Entradas relacionadas

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»