Introducción
En la entrada anterior estudiamos la triangularización de matrices, que consistía en llevar matrices a una forma triangular superior. En esta fortaleceremos esta idea, y buscaremos maneras de llevar una matriz a una matriz diagonal: a este proceso se le conoce como diagonalizar.
Matrices y transformaciones diagonalizables
A lo largo de esta sección fijamos $F$ un campo. Todos los espacios vectoriales se asumirán de dimensión finita.
Definición. Una matriz $A\in M_n(F)$ es llamada diagonalizable si es similar a una matriz diagonal en $M_n(F)$.
Una transformación lineal $T:V\to V$ sobre un espacio vectorial $V$ se llama diagonalizable si existe una base de $V$ tal que la matriz de $T$ respecto a esa base sea diagonal.
Es decir una matriz $A\in M_n(F)$ es diagonalizable si y sólo si podemos escribir
\begin{align*}
A=PDP^{-1}
\end{align*}
para alguna matriz invertible $P\in M_n(F)$ y una matriz diagonal $D=[d_{ij}]\in M_n(F)$. Nota que la definición implica que cualquier matriz similar a una matriz diagonalizable es a su vez diagonalizable. De misma manera, una transformación lineal es diagonalizable si su representación es diagonalizable respecto a cualquier base (aunque no será necesariamente diagonal en cualquier base).
Damos la siguiente caracterización de transformaciones diagonalizables.
Teorema. Una transformación lineal $T:V\to V$ es diagonalizable si y sólo si $V$ tiene una base compuesta por eigenvectores de $T$.
Demostración. Supongamos que $T$ es diagonalizable. Por tanto existe una base $v_1,\dots, v_n$ de $V$ tal que la matriz asociada a $T$ en esta base es diagonal. Si $(a_{ii})_{i=1}^{n}$ son las entradas diagonales de $A$, entonces por definición $T(v_{i})=a_{ii} v_i$ para todo $i=1,\dots, n$. Luego $v_1,\dots, v_n$ es una base de $V$ compuesta por eigenvectores de $T$.
Conversamente, supongamos que $T$ tiene una base $v_1,\dots, v_n$ compuesta por eigenvectores de $T$. Si $T(v_i)=d_i v_i$ entonces la matriz respecto a $v_1,\dots, v_n$ de $T$ es diagonal con entradas $d_i$.
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Primeras propiedades
Tenemos dos observaciones inmediatas.
Observación. El teorema nos proporciona una manera de diagonalizar explícitamente una matriz. Si $A\in M_n(F)$ es diagonalizable, entonces encontramos una base de $V=F^n$ formada por eigenvectores y los acomodamos como columnas de una matriz $P$. Entonces $P^{-1}AP=D$ es diagonal y $A=PDP^{-1}$.
Observación. Supongamos que $A$ es diagonalizable y que $A=PDP^{-1}$ para alguna matriz diagonal $D$ y una matriz invertible $P$.
- El polinomio característico de $A$ y de $D$ es el mismo, puesto que son matrices similares. De esto deducimos que
\begin{align*}
\prod_{i=1}^{n}(X-d_{ii})=\chi_{A}(X).
\end{align*}
En particular, los eigenvalores de $A$ son las entradas diagonales de $D$ (contados con multiplicidad). - Sea $\lambda\in F$ un eigenvalor de $A$. Entonces la multiplicidad algebraica es igual al número de índices $i=1,\dots, n$ tales que $d_{ii}=\lambda$ (esto por el inciso anterior). Por otro lado, la dimensión geométrica de $\lambda$ como eigenvalor de $A$ o $D$ es la misma puesto que la asignación $X\mapsto P^{-1}X$ induce un isomorfismo entre $\ker(\lambda I_n-A)$ y $\ker(\lambda I_n-D)$. Pero además la multiplicidad geométrica de $\lambda$ como eigenvalor de $D$ también coincide con el número de índices $i=1,\dots, n$ tales que $\lambda_{ii}=n$, ya que el sistema $DX=\lambda X$ es equivalente a $(d_{ii}-\lambda )x_i=0$. Concluimos que en una matriz diagonalizable, la multiplicidad algebraíca y la multiplicidad geométrica coinciden.
Un par de problemas
A continuación resolvemos un par de problemas: el primero sirve para aplicar lo que hemos visto hasta ahora, y el segundo nos será útil más adelante.
Problema 1. Demuestra que la matriz
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
1 & a\\ 0 & 1\end{pmatrix}
\end{align*}
no es diagonalizable si $a\neq 0$.
Solución. Supongamos que $A$ es diagonalizable y escribamos $A=PDP^{-1}$ con $P$ invertible y $D$ diagonal. Como $A$ es triangular superior con entradas diagonales iguales a $1$, deducimos que $1$ es el único eigenvalor de $A$. Por la observación anterior tenemos que las entradas diagonales de $D$ son $1$, por tanto $D=I_n$. Pero entonces $A=PI_nP^{-1}=I_n$ una contradicción si $a\neq 0$.
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El siguiente problema es más técnico, y nos servirá para demostrar uno de los teoremas fundamentales que caracteriza a las matrices diagonalizables.
Problema 2. Sea $k>1$ y sean $P_1,\dots, P_k$ polinomios primos relativos dos a dos. Si $P=P_1\cdot P_2\cdots P_k$ es su producto y $Q_i=\frac{P}{P_i}$, demuestra que los $Q_1,\dots, Q_k$ son primos relativos (es decir, no existe un polinomio que los divida a todos simultáneamente).
Solución. Supongamos que existe un polinomio $Q$ irreducible que divide a todos los $Q_i$. Puesto que $Q\mid Q_1=P_2\cdots P_k$ deducimos que $Q$ divide a $P_j$ para algún $j\in \{2,\dots, k\}$. Pero como $Q$ divide también a $Q_j$, esto quiere decir que $Q$ divide a $P_i$ para algún $i\neq j$, lo que contradice que los $P_i$ son primos relativos dos a dos.
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Un teorema de descomposición
Terminamos esta entrada con un teorema algo técnico que será de mucha utilidad en la próxima entrada, cuando caractericemos a las matrices diagonalizables.
Teorema. Sea $T$ una transformación lineal de algún espacio $V$ en si mismo (no necesariamente de dimensión finita). Entonces para cualesquiera polinomios $P_1,\dots, P_k\in F[X]$ primos relativos dos a dos se cumple que
\begin{align*}
\ker P(T)=\bigoplus_{i=1}^{k} \ker P_i(T),
\end{align*}
dónde $P=P_1\cdots P_k$.
Demostración. Consideramos a los polinomios $Q_i=\frac{P}{P_i}$ como en el problema anterior. Como son primos relativos, el teorema de Bezout nos dice que existen polinomios $R_1,\dots, R_k$ tales que
\begin{align*}
Q_1 R_1+\dots +Q_k R_k=1.
\end{align*}
Como $P_i$ divide a $P$, se sigue que $\ker P_i(T)\subset \ker P(T)$ para todo $i\in \{1,\dots, k\}$. Por otro lado si $x\in \ker P(T)$ y escribimos $x_i=(Q_i R_i)(T)(x)$, la relación anterior nos dice que
\begin{align*}
x=x_1+\dots+x_k
\end{align*}
Más aún $P_i(T)(x_i)=(P_i Q_i R_i)(T)(x)$ y $P_iQ_i R_i$ es un múltiplo de $P$. Dado que $x\in \ker P(T)\subset \ker(P_i Q_i R_i)(T)$, se sigue que $x_i\in \ker P_i(T)$, y como $x=x_1+\dots +x_k$ concluimos que
\begin{align*}
\ker P(T)=\sum_{i=1}^{k} \ker P_i(T).
\end{align*}
Queda por demostrar que si $x_i\in \ker P_i(T)$ y $x_1+\dots + x_k=0$ entonces $x_i=0$ para todo $i\in \{1,\dots, k\}$. Tenemos que
\begin{align*}
Q_1(T)(x_1)+Q_1(T)(x_2)+\dots+ Q_1(T)(x_k)=0.
\end{align*}
Pero $Q_1(T)(x_2)=\dots= Q_1(T)(x_k)=0$ dado que $Q_1$ es un múltiplo de $P_2,\dots, P_k$ y $P_2(T)(x_2)=\dots=P_k(T)(x_k)=0$. Entonces $Q_1(T)(x)=0$ y similarmente $Q_j(T)(x_j)=0$ para $j\in \{1,\dots, k\}$. Pero entonces
\begin{align*}
x_1=(R_1 Q_1)(T)(x_1)+\dots+ (R_k Q_k)(T)(x_k)=0
\end{align*}
y similarmente se demuestra que $x_2=\dots =x_k=0$. Queda demostrado el teorema.
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Más adelante…
En la próxima entrada usaremos lo demostrado en esta entrada para dar una caracterización de las matrices diagonalizables, como hicimos con las matrices triangularizables.
Tarea moral
Estos ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero son útiles para practicar los conceptos vistos en esta entrada.
- Diagonaliza la matriz
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
-1 & 2\\ 4 & 1\end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{C}).
\end{align*} - ¿Es la siguiente matriz diagonalizable?
\begin{align*}
B=\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0\\ 1 & 0 & 5\end{pmatrix}\in M_3(\mathbb{R}).
\end{align*} - Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita y $T:V\to V$ lineal. Demuestra que si $T$ es diagonalizable, entonces $T^2$ también lo es y además $\ker T=\ker T^2$.
- Sean $A,B\in M_n(F)$ dos matrices tales que $A$ es invertible y $AB$ es diagonalizable. Demuestra que $BA$ también lo es.
- Sea $A\in M_n(\mathbb{C})$ tal que existe $d>0$ con $A^{d}=I_n$. Demuestra que $A$ es diagonalizable.
Entradas relacionadas
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»