(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Dado un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno, aprendimos cómo aplicar el proceso de Gram-Schmidt para transformar una base cualquiera en una base ortogonal. Vimos cómo, paso a paso, podemos modificar cada vector para que sea ortogonal a los anteriores, y nos detuvimos justo antes de completar el panorama teórico.

Retomemos desde ahí y veamos dos resultados clave que complementan este proceso. Primero, que si ya contamos con una parte ortogonal en la base, no es necesario empezar de cero: basta con aplicar Gram-Schmidt solo a los vectores que faltan. Segundo, que si tenemos una base ortogonal de un subespacio, podemos extenderla a una base ortogonal del espacio completo, manteniendo intactos los vectores originales.

Una vez establecidos estos resultados, daremos el paso natural: normalizar los vectores para obtener una base ortonormal. Esto no solo conserva todas las ventajas de la ortogonalidad, sino que simplifica aún más los cálculos y nos prepara para trabajar con el concepto de proyección ortogonal, una de las aplicaciones más potentes del producto interno.

¿Sabías que cuando escuchas música comprimida en MP3, se ha representado tu canción usando vectores en una base ortonormal? Sin eso, los archivos serían enormes. También en robótica y visión por computadora, ese tipo de bases ayudan a calcular orientaciones y posiciones relativas en el espacio de forma precisa. ¿Sabías que en un sistema de control automático – como el que mantiene estable un dron – se usan transformaciones lineales sobre coordenadas expresadas en una base ortonormal para que las decisiones del sistema sean más rápidas y precisas?

Observación: Sean $K=\mathbb{R}$ o $K=\mathbb{C}$ y $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita con producto interno $\langle \;,\; \rangle$. Si $B = \{ v_1 , … , v_m , … , v_n \}$ es una base de $V$ y $\{ v_1 , … , v_m \}$ es un conjunto ortogonal, entonces la base obtenida de $B$ mediante el proceso de Gram-Schmidt es de la forma ${B}’ = \{ v_1 , … , v_m , {v}’_{m+1} , … , {v}’_m \}$.

Justificación. Sean $K=\mathbb{R}$ o $K=\mathbb{C}$ y $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita con producto interno $\langle \;,\; \rangle$. Sea $B = \{ v_1 , … , v_m , … , v_n \}$ una base de $V$ tal que $\{ v_1 , … , v_m \}$ es un conjunto ortogonal.

Probemos que la base obtenida de $B$ mediante el proceso de Gram-Schmidt es de la forma ${B}’ = \{ v_1 , … , v_m , {v}’_{m+1} , … , {v}’_m \}$ realizando inducción sobre $m$:

Caso $m=1$
Sabemos por el proceso de Gram-Schmidt que ${v}’_1 = v_1$. Así, ${B}’ = \{ v_1 , {v}’_2 , … , {v}’_n \}$.

Hipótesis de inducción
Supongamos que si $\{ v_1 , … , v_m , … , v_n \}$ es una base de $V$ y $\{ v_1 , … , v_{m-1} \}$ es un conjunto ortogonal, entonces la base obtenida de $B$ mediante el proceso de Gram-Schmidt es de la forma ${B}’ = \{ v_1 , … , v_{m-1} , {v}’_m , … , {v}’_n \}$.

Supongamos que $\{ v_1 , … , v_m , … , v_n \}$ es una base de $V$ tal que $\{ v_1 , … , v_m \}$ es un conjunto ortogonal.
Veamos que la base obtenida de $B$ mediante el proceso de Gram-Schmidt es de la forma ${B}’ = \{ v_1 , … , v_m , {v}’_{m+1} , … , {v}’_n \}.$
Como $\{ v_1 , … , v_m \}$ es ortogonal, entonces en particular $\{ v_1 , … , v_{m-1} \}$ es ortogonal y por la hipótesis de inducción tenemos que ${B}’ = \{ v_1 , … , v_{m-1} , {v}’_m , … , {v}’_n \}$, es decir, ${v}’_j=v_j$ para toda $j\in\{1,2,\dots, m-1\}$.

Veamos que ${v}’_m = v_m$. Debido al proceso de Gram-Schmidt sabemos que:

${v}’_m = v_m \;-\; \displaystyle \sum_{j=1}^{m-1} \lambda_{mj} {v}’_j$ $= v_m \;-\; \displaystyle \sum_{j=1}^{m-1} \frac{ \langle v_m , {v}’_j \rangle }{ \langle {v}’_j , {v}’_j \rangle } {v}’_j$$= v_m \;-\; \displaystyle \sum_{j=1}^{m-1} \frac{ \langle v_m , {v}_j \rangle }{ \langle {v}_j , {v}_j \rangle } {v}_j$.

Pero $\{ v_1 , … , v_{m-1} \}$ es un conjunto ortogonal, entonces $\forall j \in \{ 1 , … , m-1 \} (\langle v_m , v_j \rangle = 0).$

Así, ${v}’_m =v_m\;-\; \displaystyle \sum_{j=1}^{m-1} \frac{ \langle v_m , v_j \rangle }{ \langle v_j , v_j \rangle } v_j = v_m \;-\; 0 = v_m$.

$\therefore {B}’ = \{ v_1 , … , v_m , {v}’_{m+1} , … , {v}’_n \}$.

Corolario (4.7.1.): Sean $K=\mathbb{R}$ o $K=\mathbb{C}$, $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita con producto interno $\langle \;,\; \rangle$, $W$ un subespacio de $V$ y $\Gamma$ una base ortogonal de $W$. Entonces existe ${B}’$ una base ortogonal de $V$ tal que $\Gamma \subseteq {B}’$.

Demostración: Sean $K=\mathbb{R}$ o $K=\mathbb{C}$, $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$ con producto interno $\langle \;,\; \rangle$, $W$ un subespacio de $V$. Por el teorema (1.10.3) de la entrada 1.10 sabemos que $W$ también es de dimensión finita y su dimensión es menor o igual a la de $V$. Sea entonces $m = \dim W $, con $m\leq n$.

Sea $\Gamma = \{ v_1 , … , v_m \}$ una base ortogonal de $W$.

Por el teorema (1.10.1) de la entrada 1.10 sabemos que podemos completar $\Gamma$ a una base $B = \{ v_1 , … , v_m , … , v_n \}$ de $V$.

Por el proceso de Gram-Schmidt existe ${B}’ = \{ {v}’_1 , … , {v}’_m , … , {v}’_n \}$ una base ortogonal de $V$ y por la observación previa a este corolario ${B}’ = \{ v_1 , … , v_m , {v}’_{m+1} , … , {v}’_n \}$

De este modo, ${B}’$ es una base ortogonal de $V$ con $\Gamma \subseteq {B}’$.

BASE ORTONORMAL

Definición: Sean $K=\mathbb{R}$ o $K=\mathbb{C}$, $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita con producto interno $\langle \;,\; \rangle$. Decimos que $B\;$$\subseteq V$ es una base ortonormal de $V$ si es una base ortogonal de $V$ tal que $\forall v \in B\; (||v|| = 1)$.

Corolario (4.7.2.): Sean $K=\mathbb{R}$ o $K=\mathbb{C}$, $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita con producto interno $\langle \;,\; \rangle$. Entonces $V$ tiene una base ortonormal.

Demostración: Sean $K=\mathbb{R}$ o $K=\mathbb{C}$, $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$ con producto interno $\langle \;,\; \rangle$.

Por el teorema (4.6.1 Gram-Schmidt) de la entrada 4.6 sabemos que existe ${B}’ = \{ {v}’_1 , … , {v}’_n \}$ una base ortogonal de $V$.

Ahora, para cada $j \in \{ 1 , … , n \}$, definimos ${v}^*_i = \frac{ {v}’_i }{ || {v}’_i || }$.

Así, ${B}^* = \{ {v}^*_1 , … , {v}^*_n \}$ es una base ortonormal de $V$.

Corolario (4.7.3.): Sean $K=\mathbb{R}$ o $K=\mathbb{C}$, $V$ un – espacio vectorial de dimensión finita con producto interno $\langle \; ,\; \rangle$, $W$ un subespacio de $V$ y $\Gamma$ una base ortonormal de $W$. Entonces existe ${B}^*$ una base ortonormal de $V$ tal que $\Gamma \subseteq {B}^*$.

Demostración: Sean $n = \dim V $. Por el teorema (1.10.3) de la entrada 1.10 sabemos que $W$ también es de dimensión finita y su dimensión es menor o igual a la de $V$. Sea entonces $m = \dim W $, con $m\leq n$.

Sea $\Gamma = \{ v_1 , … , v_m \}$ una base ortonormal de $W$.

Dado que $\Gamma$ es en particular una base ortogonal de $W$, por el corolario (4.7.1.) existe ${B}’$ una base ortogonal de $V$ tal que $\Gamma \subseteq {B}’$, es decir una base ortogonal de $V$ de la forma ${B}’ = \{ v_1 , … , v_m , {v}’_{m+1} , … , {v}’_n \}$.

Ahora bien, ya sabemos que $\Gamma$ es ortonormal y por ende $||v_i||=1$ para toda $i \in \{ 1 , … , m \}$, así que basta con normalizar el resto de los vectores:

Definimos ${v}^*_j = \frac{ {v}’_j }{ ||{v}’_j|| }$ para toda $j\in\{m+1,\dots ,n\}$.

Con ello, ${B}^* = \{ v_1 , … , v_m , {v}^*_{m+1} , … , {v}^*_n \}$ es una base ortonormal de $V$ con $\Gamma \subseteq {B}^*$.

Tarea Moral

1. Sea $V = \mathcal{P}_2 ( \mathbb{R} )$.
   Definimos para todo $p,q \in V$: $\langle p,q \rangle = \int_{-1}^{1} p(x) q(x) dx.$
   Considera la base $B = \{ 1 , x , x^2 \}$ y construye mediante el proceso de Gram-Schmidt y normalizando, una base ortonormal de $V$.
   Realiza el mismo proceso pero ahora iniciando con la base $B = \{ 1+x , x-x^2 , 1-x^2 \}.$
2. Sea $V = \mathcal{M}_{2 \times 2} (\mathbb{R}).$
   Definimos para toda $A,B \in V$: $\langle A,B \rangle = tr (A^t B)$.
   Considera la base $\Gamma = \{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \}$ y construye mediante el proceso de Gram-Schmidt y normalizando, una base ortonormal de $V$.

Más adelante…

Veremos cómo, usando una base ortonormal, podemos proyectar un vector sobre un subespacio y, con ello, descomponerlo en dos partes: una que vive completamente dentro del subespacio y otra que es ortogonal a todo vector en él. Esto nos permitirá expresar al espacio entero como la suma directa de ese subespacio y su ortogonal.
Lo que parecía abstracto, se volverá visual y concreto: descomponer, proyectar y entender cómo se combinan distintas direcciones en un espacio.

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• Entrada anterior del curso: 4.6. GRAM-SCHMIDT: obtener una base ortogonal
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