(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Aún no nos hemos detenido a preguntar algo muy básico: ¿qué tan grande es un vector?

Esto nos lleva al concepto de norma. La norma de un vector es lo que da sentido a hablar de magnitud dentro de un espacio vectorial con producto interno. En el plano o en el espacio, ya estamos acostumbrados a pensar en la longitud de un vector. Pero ahora vamos a ver cómo esa idea se puede definir con rigor y extenderse a cualquier espacio real o complejo que tenga producto interno.

Estudiaremos las propiedades de la norma, veremos por qué son importantes y exploraremos dos resultados fundamentales: la desigualdad de Cauchy-Schwarz, que compara el producto interno de dos vectores y sus respectivas normas, y el teorema de Pitágoras, que generaliza la relación entre vectores ortogonales. Finalmente, conoceremos los vectores unitarios.

NORMA DE UN VECTOR

Definición: Sean $K=\mathbb{R}$ o $K=\mathbb{C}$ y $V$ un $K$ – espacio vectorial con producto interno $\langle \;\; , \; \rangle$. Dado $v \in V$, la norma de $v$ es $||v|| = + \sqrt{ \langle v,v \rangle }$.

Lema (4.5.1 Cauchy Schwarz): Sean $K=\mathbb{R}$ o $K=\mathbb{C}$ y $V$ un $K$ – espacio vectorial con producto interno $\langle \;\; , \; \rangle$. Para cualesquiera $v,w$ vectores en $V$ se cumple que $| \langle v,w \rangle | \leq || v || \;|| w ||.$

Demostración: Sean $K=\mathbb{R}$ o $K=\mathbb{C}$ y $V$ un $K$ – espacio vectorial con producto interno $\langle \;\; , \; \rangle$. Sean $v,w \in V$.

Caso 1. $w = \theta_V$.

$| \langle v,w \rangle | = | \langle v , \theta_V \rangle | = |0|$ $=0 = ||v|| 0 = ||v|| \; ||\theta_V|| = ||v|| \; ||w||$.

Caso 2. $w \not= \theta_V$.

Sean $\lambda = \frac{ \langle v,w\rangle }{ \langle w,w \rangle }$ y $u = v – \lambda w$. Dado que $\lambda$ es el coeficiente de Fourier de $v$ respecto $w$, por la primera observación de la entrada 4.4 sabemos que $u = v – \lambda w\perp w$, entonces

$0 \leq \langle u,u \rangle = \langle v – \lambda w , u \rangle$ $= \langle v,u \rangle – \lambda \langle w,u \rangle = \langle v,u \rangle – \lambda (0)$ $= \langle v,u \rangle = \langle v , v – \lambda w\rangle$ $= \langle v,v \rangle – \overline{ \lambda } \langle v,w \rangle$ $= ||v||^2 \;-\; \overline{ \left(\frac{ \langle v,w\rangle }{ \langle w,w \rangle }\right)} \langle v,w \rangle$ $= ||v||^2 \;-\; \frac{ | \langle v,w \rangle |^2 }{ ||w||^2 }.$

Así, $0 \leq ||v||^2 \;-\; \frac{ | \langle v,w \rangle |^2 }{ ||w||^2 }$, y en consecuencia $ \frac{ | \langle v,w \rangle |^2 }{ ||w||^2 } \leq ||v||^2$, lo que implica que
$| \langle v,w \rangle |^2 \leq || v ||^2 || w ||^2$. Finalmente, como estamos trabajando con números positivos, podemos concluir que $| \langle v,w \rangle | \leq || v || \;|| w ||$.

Teorema (4.5.2 propiedades de la norma)

Sean $K=\mathbb{R}$ o $K=\mathbb{C}$ y $V$ un $K$ – espacio vectorial con producto interno $\langle \;\; , \; \rangle$.

1. $\forall v \in V (|| v || \geq 0 )$. Más aun, $\forall v \in V (||v||= 0 \iff v = \theta_V)$.
2. $\forall v \in V, \forall \lambda \in K (|| \lambda v || = |\lambda|\; ||v||)$.
3. Desigualdad del triángulo: $\forall v,w \in V (|| v+w || \leq ||v|| + ||w||)$.

Demostración:

Sean $K=\mathbb{R}$ o $K=\mathbb{C}$ y $V$ un $K$ – espacio vectorial con producto interno $\langle \;\; , \; \rangle$.

1. $\forall v \in V (|| v || \geq 0 )$. Más aun, $\forall v \in V (||v||= 0 \iff v = \theta_V)$.

Sea $v\in V$.

Como $\langle v,v \rangle \geq 0$, entonces $||v|| = + \sqrt{ \langle v,v \rangle } \geq 0$. Además,

$||v|| = 0 \iff + \sqrt{ \langle v,v \rangle } = 0$ $\iff \langle v,v \rangle = 0 \iff v = \theta_V$.

2. $\forall v \in V, \forall \lambda \in K (|| \lambda v || = |\lambda|\; ||v||)$.

Sean $v \in V$ y $ \lambda \in K $.

$|| \lambda v || = + \sqrt{ \langle \lambda v , \lambda v \rangle } = + \sqrt{ \lambda \overline{ \lambda } \langle v,v \rangle }$ $= + \sqrt{ | \lambda |^2 ||v||^2 } = | \lambda |\;||v||$.

3. Desigualdad del triángulo: $\forall v,w \in V (|| v+w || \leq ||v|| + ||w||)$.

Sean $ v,w \in V$.

$||v+w||^2 = \langle v+w , v+w \rangle$ $= \langle v,v+w \rangle + \langle w,v+w \rangle$ $= \langle v,v \rangle + \langle v,w \rangle + \langle w,v \rangle + \langle w,w \rangle$ $= ||v||^2 + \langle v,w \rangle + \overline{ \langle v,w \rangle } + ||w||^2$ $= ||v||^2 + 2 Re \langle v,w \rangle + ||w||^2$ $\leq ||v||^2 + 2 | \langle v,w \rangle | + ||w||^2$,

donde en la última igualdad usamos que para todo complejo $z$ se tiene que $z+\overline{z}=2\;Re\; z$, mientras que para la desigualdad final utilizamos que para todo complejo $z$ se tiene que $Re z\leq |z|.$

Ahora, usando la desigualdad de Cauchy Schwarz obtenemos $||v||^2 + 2 | \langle v,w \rangle | + ||w||^2 \leq ||v||^2 + 2 ||v|| \; ||w || + ||w||^2= ( ||v|| + ||w|| )^2$.

Así, $||v+w||^2 \leq ( ||v|| + ||w|| )^2$. Finalmente, como estamos trabajando con números positivos, podemos concluir que $|| v+w || \leq ||v|| + ||w||$.

Lema (4.5.3 Pitágoras): Sean $K=\mathbb{R}$ o $K=\mathbb{C}$ y $V$ un $K$ – espacio vectorial con producto interno $\langle \;\; , \; \rangle$. Sean $u,v \in V$. Si $u \perp v$, entonces se cumple que:

a) $||u+v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2$.
b) $||u-v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2$.

Demostración: Sean $K=\mathbb{R}$ o $K=\mathbb{C}$, $V$ un $K$ – espacio vectorial con producto interno $\langle \;\; , \; \rangle$ y $u,v \in V$.
Supongamos que $u \perp v$, es decir que $\langle u,v \rangle =0$.

a) $||u+v||^2 = \langle u+v , u+v \rangle$ $= \langle u , u+v \rangle + \langle v , u+v \rangle$ $= \langle u,u \rangle + \langle u,v \rangle + \langle v,u \rangle + \langle v,v \rangle$ $= \langle u,u \rangle + 0 + 0 + \langle v,v \rangle$ $= ||u||^2 + ||v||^2$.

b) $||u-v||^2 = \langle u-v , u-v \rangle$ $= \langle u , u-v \rangle + \langle -v , u-v \rangle$ $= \langle u,u \rangle – \langle u,v \rangle – \langle v,u \rangle + \langle v,v \rangle$ $= \langle u,u \rangle – 0 – 0 + \langle v,v \rangle$ $= ||u||^2 + ||v||^2$.

Terminemos esta entrada con la definición de vector unitario.

Definición: Sean $K=\mathbb{R}$ o $K=\mathbb{C}$ y $V$ un $K$ – espacio vectorial con producto interno $\langle \;\; , \; \rangle$. Dado $v \in V$, decimos que $v$ es unitario si $||v|| = 1$.

Tarea Moral

1. Considera $V = \mathbb{C}^2$ con el producto interno usual, definido en la entrada 4.3. Determina en cuáles de las siguientes parejas de vectores se cumple la igualdad en la desigualdad de Cauchy Schwarz y en cuáles es la desigualdad estricta:
   a) $(1+i,2)$ y $(2+2i,4)$
   b) $(0,1)$ y $(0,-3i)$
   c) $(1,0)$ y $(1,i)$
   d) $(1,i)$ y $(-2i,2)$.
2. Sean $K=\mathbb{R}$ o $K=\mathbb{C}$, $V$ un $K$ – espacio vectorial con producto interno $\langle \;\; , \; \rangle$. Analiza tus respuestas del inciso anterior y la demostración de la desigualdad de Cauchy Schwarz y determina las condiciones necesarias y suficientes para que dos vectores y $u,v \in V$ cumplan que $| \langle v,w \rangle | = || v || \;|| w ||.$

Más adelante…

Dado que será útil trabajar con vectores ortogonales para para medir, comparar y descomponer es natural preguntarnos ¿cómo podemos construir conjuntos ortogonales?

¿Podemos partir de cualquier conjunto de vectores y modificarlos para volverlos ortogonales entre sí? ¿Necesitamos vectores de ciertas características? ¿Qué modificaciones serían necesarias para lograr nuestro objetivo?

¿Podríamos construir una base que sea ortogonal? Y si sí, nos planteamos las mismas preguntas del párrafo anterior…

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