Introducción

En la entrada anterior vimos que al igual que en ${\mathbb{R}}^2$, en el plano complejo es posible trabajar con coordenadas polares para representar a un número complejo en su «forma polar», utilizando su módulo y un ángulo. Primeramente definimos al argumento de un número complejo, el cual resultó no ser único, sino que en realidad existe todo un conjunto de ángulos que nos permite representar a un número complejo de manera indistinta, por lo que fue conveniente el considerar a un ángulo en particular, llamado el argumento principal. Considerando la forma polar de un número complejo fue posible dar una interpretación geométrica al producto y división de números complejos. Además obtuvimos algunos resultados importantes, como la fórmula de De Moivre, que nos serán de utilidad a lo largo de esta entrada y en general para poder operar de forma más sencilla a los números complejos.

En esta entrada nuestro objetivo será plantear una ecuación de la forma $w^n=z$, con $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ y $w,z\in \mathbb{C}$, $z\ne 0$, analizarla y darle solución. Una vez resuelta dicha ecuación, tendrá sentido el pensar en potencias racionales de números complejos.

Raíces de un número complejo.

Definición 5.1. (Raíz $n$-ésima.)
Sea $z\in \mathbb{C}$, con $z\ne 0$. Un número complejo $w$ es llamado una raíz $n$-ésima de $z$ si $w^n=z$, y se denota como $w=z^{1/n}$.

Proposición 5.1. (Raíces $n$-ésimas.)
Sea $z\in \mathbb{C}$, $z\ne 0$, en su forma polar $z=r\text{cis}(\theta )$ y sea $n\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{+}}$. Entonces existen exactamente $n$ raíces $n$-ésimas distintas, las cuales están dadas por:
$$w_k=\sqrt[n]{r}\text{cis}\left(\frac{\theta +2\pi k}{n}\right),\text{para}k=0,1,\dots ,n-1.$$

Demostración. Dadas las hipótesis, primeramente verifiquemos que el número complejo $w_k$ propuesto cumple la definición 5.1. De acuerdo con la fórmula de De Moivre tenemos que:
$$\begin{array}{rl}{\left(w_k\right)}^n& ={\left(\sqrt[n]{r}\right)}^n\text{cis}\left(n\left[\frac{\theta +2\pi k}{n}\right]\right)\\ & ={\left(\sqrt[n]{r}\right)}^n\text{cis}(\theta +2\pi k).\end{array}$$

Dado que las funciones seno y coseno son $2\pi$-periódicas, es decir, para todo $k\in \mathbb{Z}$ se cumple:
$$\mathrm{sen}(\theta +2\pi k)=\mathrm{sen}(\theta ),\cos (\theta +2\pi k)=\cos (\theta ).$$

Entonces se tiene que $z=r\text{cis}(\theta )={\left(w_k\right)}^n$.

Lo anterior nos motiva a encontrar un número complejo $w=\rho \text{cis}(\varphi )$ tal que $w^n=z$, es decir:
$${\rho }^n\text{cis}(n\varphi )=r\text{cis}(\theta ).$$

Considerando la igualdad entre números complejos se tiene que:
$$\begin{array}{r}{\rho }^n=r,\\ \text{cos}(n\varphi )=\text{cos}(\theta ),\\ \text{sen}(n\varphi )=\text{sen}(\theta ).\end{array}$$

Desde que los argumentos de ambos números complejos están determinados módulo $2\pi$, entonces de lo anterior tenemos que:
$$\rho =\sqrt[n]{r},$$

$$n\varphi =\theta +2\pi k,⟹\varphi =\frac{\theta +2\pi k}{n},\text{para algún}k\in \mathbb{Z}.$$

Notemos que para $k=0,1,\dots ,n-1$ se obtienen ya $n$ raíces $n$-ésimas distintas, las cuales tienen el mismo módulo $\sqrt[n]{r}$, pero distinto argumento. Para probar esto consideremos el siguiente:

Lema 5.1. Sean $n\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{+}}$, $k^{\prime },k\in \mathbb{Z}$ y sea $w_k=\sqrt[n]{r}\text{cis}\left(\frac{\theta +2\pi k}{n}\right)$. Entonces:
$$k^{\prime }\equiv k(\text{mod}n)\text{si y solo si}{w}_{k^{\prime }}=w_k.$$

Observación 5.1.
La congruencia módulo $n$, representada por el símbolo $\equiv$, es una relación de equivalencia en $\mathbb{Z}$, la cual se define como sigue:

Para $a,b\in \mathbb{Z}$ y $n\in {\mathbb{N}}^{+}$, diremos que $a$ es congruente con $b$ módulo $n$ si y solo si $a-b$ es divisible por $n$ y se escribe como:
$$a\equiv b(\text{mod}n).$$

Demostración.
$\Rightarrow )$ Dadas las hipótesis, sin pérdida de generalidad tenemos que:
$$k^{\prime }\equiv k(\text{mod}n)⟹k^{\prime }=k+nm,\text{para algún}m\in \mathbb{Z}\text{y}0\le k<n.$$

Entonces, considerando que las funciones seno y coseno son $2\pi$-periódicas:
$$\begin{array}{rl}{w}_{k^{\prime }}& =\sqrt[n]{r}\text{cis}\left(\frac{\theta +2\pi k^{\prime }}{n}\right)\\ & =\sqrt[n]{r}\text{cis}\left(\frac{\theta +2\pi (k+nm)}{n}\right)\\ & =\sqrt[n]{r}[\text{cos}\left(\frac{\theta +2\pi (k+nm)}{n}\right)+i\text{sen}\left(\frac{\theta +2\pi (k+nm)}{n}\right)]\\ & =\sqrt[n]{r}[\text{cos}(\frac{\theta +2\pi k}{n}+2\pi m)+i\text{sen}(\frac{\theta +2\pi k}{n}+2\pi m)]\\ & =\sqrt[n]{r}[\text{cos}\left(\frac{\theta +2\pi k}{n}\right)+i\text{sen}\left(\frac{\theta +2\pi k}{n}\right)]\\ & =\sqrt[n]{r}\text{cis}\left(\frac{\theta +2\pi k}{n}\right)\\ & =w_k.\end{array}$$

$(\Leftarrow$ Dadas las hipótesis, tenemos que si $w_k^{\prime }=w_k$, entonces:
$$\sqrt[n]{r}\text{cis}\left(\frac{\theta +2\pi k^{\prime }}{n}\right)=\sqrt[n]{r}\text{cis}\left(\frac{\theta +2\pi k}{n}\right),$$

por lo que, considerando la igualdad entre números complejos:
$$\begin{array}{r}\text{cos}\left(\frac{\theta +2\pi k^{\prime }}{n}\right)=\text{cos}\left(\frac{\theta +2\pi k}{n}\right),\\ \text{sen}\left(\frac{\theta +2\pi k^{\prime }}{n}\right)=\text{sen}\left(\frac{\theta +2\pi k}{n}\right).\end{array}$$

De donde se sigue que:
$$\frac{\theta +2\pi k^{\prime }}{n}=\frac{\theta +2\pi k}{n}+2\pi m,\text{para algún}m\in \mathbb{Z}.$$

Por lo que:
$$k^{\prime }=k+nm,\text{para algún}m\in \mathbb{Z},$$

lo cual implica que $k^{\prime }\equiv k(\text{mod}n)$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

De acuerdo con el lema anterior, concluimos que existen a lo más $n$ raíces $n$-ésimas distintas $w_k$ correspondientes a $k=0,1,\dots ,n-1$ y que son de la forma:
$$w_k=\sqrt[n]{r}\text{cis}\left(\frac{\theta +2\pi k}{n}\right).$$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Observación 5.2.
Notemos que la expresión $z^{1/n}$ es $n$-valuada, es decir, no representa un único valor, sino al conjunto de $n$ raíces $n$-ésimas, formado por las raíces $w_k$ con $k=0,1,\dots ,n-1$, del número complejo $z\ne 0$.

Definición 5.2. (Raíz $n$-ésima principal.)
Sea $z\ne 0$ un número complejo. Llamaremos como raíz $n$-ésima principal de $z$ al único valor de $z^{1/n}$ tal que tenga como argumento al argumento principal de $z$, $\text{Arg}z$, es decir a la raíz dada por $k=0$.

Ejemplo 5.1.

Solución. Para los tres números complejos, resolveremos utilizando su argumento principal $\text{Arg}z$.

$$\text{Arg}{z}_1=\text{arc tan}\left(\frac{1}{1}\right)=\frac{\pi }{4}.$$

Por otra parte, tenemos que $r_1=|z_1|=\sqrt{2}$. Entonces, por la proposición 5.1 se tiene que las 5 raíces quintas de $z_1$ están dadas por:
$$w_k={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{5}}\text{cis}\left(\frac{\frac{\pi }{4}+2\pi k}{5}\right),\text{para}k=0,1,2,3,4.$$

Por lo que:
$$z^{1/5}=\{\sqrt[10]{2}\text{cis}\left(\frac{\pi }{20}\right),\sqrt[10]{2}\text{cis}\left(\frac{9\pi }{20}\right),\sqrt[10]{2}\text{cis}\left(\frac{17\pi }{20}\right),\sqrt[10]{2}\text{cis}\left(\frac{5\pi }{4}\right),\sqrt[10]{2}\text{cis}\left(\frac{33\pi }{20}\right)\}.$$

De acuerdo con la definición 5.2, $w_0=\sqrt[10]{2}\text{cis}\left(\frac{\pi }{20}\right)$ es la raíz quinta principal de $z_1$.

$$\text{Arg}{z}_2=\frac{\pi }{2}.$$

Por otra parte, tenemos que $r_2=|z_2|=1$. Entonces, considerando la proposición 5.1, tenemos que las 4 raíces cuartas de $z_2$ están dadas por:
$$w_k=1^{\frac{1}{4}}\text{cis}\left(\frac{\frac{\pi }{2}+2\pi k}{4}\right),\text{para}k=0,1,2,3.$$

Por lo que:
$$z^{1/4}=\{\text{cis}\left(\frac{\pi }{8}\right),\text{cis}\left(\frac{5\pi }{8}\right),\text{cis}\left(\frac{9\pi }{8}\right),\text{cis}\left(\frac{13\pi }{8}\right)\}.$$

Considerando la definición 5.2, se tiene que $w_0=\text{cis}\left(\frac{\pi }{8}\right)$ es la raíz cuarta principal de $z_2$.

$$\text{Arg}{z}_3=\text{arc tan}\left(\frac{-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}\right)–\pi =\frac{\pi }{4}–\pi =-\frac{3\pi }{4}.$$

Por otra parte, tenemos que $r_3=|z_3|=2$. De acuerdo con la proposición 5.1, las 3 raíces cúbicas de $z_3$ están dadas por:
$$w_k=\sqrt[3]{2}\text{cis}\left(\frac{\frac{-3\pi }{4}+2\pi k}{3}\right),\text{para}k=0,1,2.$$

Por lo que:
$$z^{1/3}=\{\sqrt[3]{2}\text{cis}\left(\frac{-\pi }{4}\right),\sqrt[3]{2}\text{cis}\left(\frac{5\pi }{12}\right),\sqrt[3]{2}\text{cis}\left(\frac{13\pi }{12}\right)\}.$$

De acuerdo con la definición 5.2, se tiene que $w_0=\sqrt[3]{2}\text{cis}\left(\frac{-\pi }{4}\right)$ es la raíz cúbica principal de $z_3$.

Notemos que las raíces $n$-ésimas tienen una intepretación geométrica, es decir, las raíces $n$-esimas de un número complejo $z$ coinciden con los vértices de un póligono regular de $n$ lados, el cual está inscrito en una circunferencia de radio $\sqrt[n]{r}$ centrada en el origen.

Considerando los números complejos del ejemplo 5.1 tenemos que:

Un caso particular importante es cuando $z=1$. Si se plantea la ecuación $w^n=z$, entonces a las soluciones se les llama las raíces $n$-ésimas de la unidad. Considerando que el argumento principal de $z=1$ es $\text{Arg}z=0$ y $r=|z|=1$, entonces la forma polar de la unidad es $z=\text{cis}(0)$. De acuerdo con la proposición 5.1 se tiene que las raíces de la unidad están dadas por:
$$w_k=\sqrt[n]{1}\text{cis}\left(\frac{0+2\pi k}{n}\right)=\text{cis}\left(\frac{2\pi k}{n}\right),\text{para}k=0,1,\dots ,n-1.$$

Si definimos $\omega =\text{cis}\left(\frac{2\pi }{n}\right)$, entonces por la fórmula de De Moivre se tiene que ${\omega }^k$, con $k=0,1,\dots ,n-1$, determina las $n$ raíces $n$-ésimas de la unidad, es decir:
$$1,\omega ,{\omega }^2,{\omega }^3,\dots ,{\omega }^{n-1}.$$

Ejemplo 5.2.
De acuerdo con lo anterior, tenemos que las 3 raíces cúbicas de la unidad están determinadas por:
$$\omega =\text{cis}\left(\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},$$

y son:
$$\begin{array}{r}{\omega }^0=1,\\ \omega =-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},\\ {\omega }^2=-\frac{1}{2}–i\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Observación 5.3.
Es interesante notar que mediante las raíces $n$-ésimas de la unidad es posible encontrar las raíces $n$-ésimas de cualquier $z\in \mathbb{C}$, $z\ne 0$, ya que es posible reescribir la fórmula de la proposición 5.1 como sigue:
$$\begin{array}{rl}{w}_k& =\sqrt[n]{r}\text{cis}\left(\frac{\theta +2\pi k}{n}\right)\\ & =\sqrt[n]{1}\text{cis}\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\sqrt[n]{r}\text{cis}\left(\frac{\theta }{n}\right)\\ & =\sqrt[n]{r}{\omega }^k\zeta ,\end{array}$$

donde $\omega =\text{cis}\left(\frac{2\pi }{n}\right)$, $\zeta =\text{cis}\left(\frac{\theta }{n}\right)$ y $k=0,1,\dots ,n-1$. Entonces para un número complejo $z\ne 0$, sus $n$ raíces $n$-ésimas son:
$$\sqrt[n]{r}\zeta ,\sqrt[n]{r}\omega \zeta ,\sqrt[n]{r}{\omega }^2\zeta ,\dots ,\sqrt[n]{r}{\omega }^{n-1}\zeta .$$

Dichas raíces coinciden con los vértices de un polígono de $n$ lados, inscrito en la circunferencia de radio $\sqrt[n]{r}$.

Ejemplo 5.3.
Encontremos las 3 raíces cúbicas de $z=-8i$. Utilizando el argumento principal de $z$, tenemos que $\text{Arg}z=-\frac{\pi }{2}$ y $r=|z|=8$, por lo que:
$$\begin{array}{r}\sqrt[3]{r}=\sqrt[3]{8}=2,\zeta =\text{cis}\left(\frac{-\frac{\pi }{2}}{3}\right)=\text{cis}\left(\frac{-\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}–i\right).\end{array}$$

Considerando la observación 5.3, tenemos que las 3 raíces cúbicas de $z=-8i$ están dadas por:
$$\sqrt[3]{r}\zeta ,\sqrt[3]{r}\omega \zeta ,\sqrt[3]{r}{\omega }^2\zeta ,$$

donde $\omega =\text{cis}\left(\frac{2\pi }{3}\right)$ determina las 3 raíces cúbicas de la unidad, como en el ejemplo anterior, entonces:
$$\begin{array}{r}{w}_0=2(1)\left[\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}–i\right)\right]=\sqrt{3}–i,\\ w_1=2(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\left[\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}–i\right)\right]=2i,\\ w_2=2(-\frac{1}{2}–i\frac{\sqrt{3}}{2})\left[\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}–i\right)\right]=-\sqrt{3}–i.\end{array}$$

Observación 5.4.
Supongamos que $m,n\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{+}}$ son tales que no tienen divisores comunes y sean $z,w\in \mathbb{C}$ con $z=r\text{cis}(\theta )\ne 0$. Es posible definir las potencias racionales de $z$, es decir $z^{m/n}$. Para entender mejor esta idea pensemos en la ecuación $w^n=z^m$. Entonces es posible mostrar que existen $n$ soluciones distintas para dicha ecuación, las cuales están dadas por las raíces $n$-ésimas de $z^m$ y son de la forma:
$$w_k=\sqrt[n]{r^m}\text{cis}\left(\frac{m(\theta +2\pi k)}{n}\right),\text{para}k=0,1,\dots ,n-1.$$

Lo anterior nos dice entonces que los conjuntos ${\left(z^m\right)}^{1/n}$ y ${\left(z^{1/n}\right)}^m$ deben ser el mismo, a decir el conjunto $z^{m/n}$.

Tarea moral

1. Determina las 3 raíces cúbicas de $z_1=-125$ y las 8 raíces octavas de $z_2={\displaystyle \frac{16i}{1+i}}$. En ambos casos identifica a la raíz $n$-ésima principal correspondiente y realiza un gráfico de las raíces.
2. Considera la observación 5.4 y prueba el resultado. Argumenta porqué los conjuntos de raíces son los mismos.
3. Sean $a$ y $b$ dos números reales y $n\in {\mathbb{N}}^{+}$. Demuestra que todas las raíces de la ecuación:
   $${\left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)}^n=a+ib,$$

son reales si y solo si $a^2+b^2=1$.

4. Resuelve la ecuación $(z+1{)}^5=z^5$.
5. Encuentra todas las soluciones de la ecuación $w^2=(-1+i{)}^5$.
6. Sea $z=\mathrm{cis}\left(\frac{2\pi }{n}\right)$. Prueba que para $n\ge 2$ se cumple:
   $$1+z+z^2+\cdots +z^{n-1}=0.$$

Más adelante…

Como habíamos visto en la entrada anterior, el trabajar con un número complejo en su forma polar nos permitió caracterizar a las potencias enteras de un números complejo en términos de sus módulos y sus argumentos, lo cual fue de utilidad para trabajar con el concepto de raíz $n$-ésima de un número complejo y dar soluciones a ecuaciones de la forma $w^n=z$. Además vimos que es posible caracterizar a dichas soluciones de manera geométrica.

A diferencia de $\mathbb{R}$, notamos que el campo de los números complejos $\mathbb{C}$ es cerrado bajo la radicación, es decir que para todo $z\in \mathbb{C}$ se cumple que el conjunto de números complejos $z^{1/n}$, $n\in {\mathbb{N}}^{+}$, sigue siendo un subconjunto de $\mathbb{C}$.

En la siguiente entrada retomaremos el concepto del módulo y sus propiedades con la finalidad de introducir una métrica en $\mathbb{C}$, la cual nos permitirá seguir describiendo desde una perspectiva geométrica a los números complejos y hablar de algunos lugares geométricos del plano complejo.

Entradas relacionadas

• Ir a Variable Compleja I.
• Entrada anterior del curso: Forma Polar. Potencias en $\mathbb{C}$.
• Siguiente entrada del curso: Lugares geométricos en $\mathbb{C}$.