Última parte de la demostración del teorema de Stone-Weierstrass

Por Lizbeth Fernández Villegas

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Usaremos los resultados vistos en las entradas anteriores Enunciado del teorema de Stone-Weierstrass y primera parte de la demostración y Segunda parte de la demostración del teorema de Stone-Weierstrass para culminar con la demostración del teorema de Stone-Weierstrass. Sin más preámbulo, recordemos lo que dice.

Teorema. Stone-Weierstrass: Sea K un espacio métrico compacto. Sea AC0(K,R), es decir, A es un conjunto de funciones continuas de K en R. Si A satisface las siguientes propiedades:

a) Para cada λ,μR y f,gA se cumple que λf+μgA. Esto es, A es cerrado bajo combinaciones lineales.

b) Para cada f,gA se cumple que fgA. Esto es, A es cerrado bajo producto de funciones.

c) 1A, donde 1 es la función constante que para cada xK asigna el valor 1.

d) Para cualesquiera x1,x2K tales que x1x2 existe una función φA tal que φ(x1)φ(x2).

Entonces A es denso en C0(K,R), es decir, A=C0(K,R).

Demostración:
Sea A como en las hipótesis. Para probar que A=C0(K,R) tomemos fC0(K,R).
Sea ε>0. Demostraremos que para toda B(f,ε) se cumple que existe una función φA tal que φB(f,ε), es decir
d(f,φ)<ε.

Para que dicha φA exista, es suficiente demostrar que existe φ^A tal que
d(f,φ^)<ε2.

Pues si esa φ^A existe, entonces por lo visto en la entrada Convergencia, existe también una sucesión (φn)nN de funciones en A tales que φnφ^ en C0(K,R) y así existe NN tal que
d(φ^,φN)<ε2.
En consecuencia las desigualdades
d(f,φN)d(f,φ^)+d(φ^,φN)<ε2+ε2<ε,
evidenciarían la existencia de la φ deseada. Procedamos entonces a justificar la existencia de la φ^A descrita arriba.

Fijemos xK. Por el lema 1, visto en la entrada tal sabemos que para cada yK existe φx,yA (que depende de x y de y) tal que
(1)φx,y(x)=f(x), y(2)φx,y(y)=f(y).

Sea ε>0. Como tanto φx,y como f son continuas en K, entonces la función φx,yf es continua en K. Así, para cada yK existe δy>0 tal que si zB(y,δy) entonces
|(φx,yf)(z)(φx,yf)(y)|<ε|φx,y(z)f(z)(φx,y(y)f(y))|<ε |φx,y(z)f(z)0|<ε(3)|φx,y(z)f(z)|<ε

La colección de bolas abiertas de radio δy y centro en la respectiva yK:{B(y,δy)}yK es una cubierta abierta de K que recordemos es compacto. Así, existe una subcubierta finita de {B(y,δy)}yK, es decir, existen

y1,y2,,ynK con nN tales que {B(y1,δy1),B(y2,δy2),,B(yn,δyn)} es una cubierta abierta de K.

Sea

φx=mín{φx,y1,φx,y2,,φx,yn}.
Demostraremos que esta función se acerca muchísimo a f en cualquier punto, específicamente que
Para cada zK,φx(z)f(z)<ε.

Esto ocurre porque si zK entonces existe jN tal que zB(yj,δyj). Así:

φx(z)φx,yj(z)φx(z)f(z)φx,yj(z)f(z)

Y por (3)
(4)φx(z)f(z)<ε

Por el lema 4 de la entrada anterior sabemos que φx es continua en x. En consecuencia la función φxf también lo es, de modo que existe γx>0 tal que si zB(x,γx), entonces por (1) tenemos

|(φxf)(z)(φxf)(x)|<ε|(φx(z)f(z))(φx(x)f(x))|<ε|(φx(z)f(z))0|<ε(5)|φx(z)f(z)|<ε

Como x es arbitraria, pensemos ahora en todas las φx´s que podemos hacer con cada xK. Nota que {B(x,δγx)}yK es una cubierta abierta de K compacto. Así, existe una subcubierta finita de {B(y,δy)}yK, es decir, existen

x1,x2,,xmK con mN tales que {B(x1,γx1),B(x2,γx2),,B(xn,γxm)} es una cubierta abierta de K.

Sea

φ^=máx{φx1,φx2,,φxm}.

Como todas las funciones dentro del corchete están en A, también pertenecen a A. Por el Lema 4, podemos decir que φ^A, (ver tarea moral de esta sección).

A continuación demostraremos que d(φ^,f)<ε.

Sea zK.

Por un lado, como existe i{1,2,,m} tal que zB(xi,γxi). Sabemos que

φx(z)φxi(z)φx(z)f(z)φxi(z)f(z)
Y por (5)
φx(z)f(z)φxi(z)f(z)>εφx(z)f(z)>ε(6)ε<φx(z)f(z)

Como esto ocurre para cualquier x, entonces ocurre para cada xk,k=1,2,,m. Se sigue que

ε<φxk(z)f(z),k=1,2,,mε<máxk{1,,m}{φxk(z)}f(z)ε<máxk{1,,m}{φxk(z)}f(z)(7)ε<φ^(z)f(z)

Por otro lado, en la desigualdad (4) tenemos

φx(z)f(z)<ε

Como esto ocurre para cualquier x, entonces ocurre para cada xk,k=1,2,,m. Se sigue que

φxk(z)f(z)<ε,k=1,2,,mmáxk{1,,m}{φxk(z)f(z)}<εmáxk{1,,m}{φxk(z)}f(z)<ε(8)φ^(z)f(z)<ε

De (7) y (8) tenemos que para cada zK
(9)|φ^(z)f(z)|<ε

Y así

supzK|φ^(z)f(z)|<ε(10)d(φ^,f)<ε

Que es lo que queríamos demostrar.

Finalizamos esta sección con el siguiente:

Corolario. Sea KRn compacto y sea A el conjunto de polinomios en n variables que van de K en R. Entonces toda función continua f:KR se puede aproximar con polinomios, es decir, existe una sucesión de polinomios (pn)nN tal que (pn)f con la métrica uniforme.

La demostración se deja como ejercicio.

Más adelante…

Complementaremos las ideas de aproximación notando que, para el caso de las funciones continuas en un intervalo cerrado, también es posible encontrar una aproximación a través de lo que llamaremos «función cuadrática por pedazos».

Tarea moral

  1. Sea A como en las hipótesis del teorema de Stone-Weierstrass. Muestra que si fiA,i=1,,n, entonces la función míni{1,,n}{fi} también pertenece a A.
  2. Prueba el corolario. Sugerencia: Demuestra que satisface las hipótesis del teorema de Stone-Weierstrass. Usa la función proyeccion, que es continua, para probar que cumple d).
  3. Demuestra que el conjunto de polinomios de grado impar de [0,1]R es denso en C0[0,1]. ¿Satisface las hipótesis del teorema?
  4. Sea fC0[0,1] tal que para cada nN{0}
    01f(x)xndx=0.
    Prueba que 01f2(x)dx=0 y concluye que f=0.

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