Introducción
Usaremos los resultados vistos en las entradas anteriores Enunciado del teorema de Stone-Weierstrass y primera parte de la demostración y Segunda parte de la demostración del teorema de Stone-Weierstrass para culminar con la demostración del teorema de Stone-Weierstrass. Sin más preámbulo, recordemos lo que dice.
Teorema. Stone-Weierstrass: Sea
a) Para cada
b) Para cada
c)
d) Para cualesquiera
Entonces
Demostración:
Sea
Sea
Para que dicha
Pues si esa
En consecuencia las desigualdades
evidenciarían la existencia de la
Fijemos entrada tal sabemos que para cada
Sea
La colección de bolas abiertas de radio
Sea
Demostraremos que esta función se acerca muchísimo a
Para cada
Esto ocurre porque si
Y por (3)
Por el lema 4 de la entrada anterior sabemos que
Como
Sea
Como todas las funciones dentro del corchete están en
A continuación demostraremos que
Sea
Por un lado, como existe
Y por (5)
Como esto ocurre para cualquier
Por otro lado, en la desigualdad (4) tenemos
Como esto ocurre para cualquier
De (7) y (8) tenemos que para cada
Y así
Que es lo que queríamos demostrar.
Finalizamos esta sección con el siguiente:
Corolario. Sea
La demostración se deja como ejercicio.
Más adelante…
Complementaremos las ideas de aproximación notando que, para el caso de las funciones continuas en un intervalo cerrado, también es posible encontrar una aproximación a través de lo que llamaremos «función cuadrática por pedazos».
Tarea moral
- Sea
como en las hipótesis del teorema de Stone-Weierstrass. Muestra que si entonces la función también pertenece a - Prueba el corolario. Sugerencia: Demuestra que satisface las hipótesis del teorema de Stone-Weierstrass. Usa la función proyeccion, que es continua, para probar que cumple d).
- Demuestra que el conjunto de polinomios de grado impar de
es denso en ¿Satisface las hipótesis del teorema? - Sea
tal que para cada
Prueba que y concluye que