Introducción
En la entrada Contracciones mencionamos el teorema de punto fijo de Banach. Ahí mismo demostramos que si una contracción tiene un punto fijo, entonces este es único. En la entrada anterior vimos que la sucesión generada a partir de una contracción
Teorema de punto fijo de Banach. Sea
- Para cada
la sucesión es de Cauchy y, en consecuencia converge a un punto representa la composición - El punto
descrito es punto fijo de - El punto fijo es único.
- Podemos estimar la distancia de
a usando la desigualdad:
Demostración:
1. Se probó en la entrada anterior que la sucesión
2. Sea
Sea
Como
se sigue por lo visto en la entrada Funciones continuas en espacios métricos que
Pero para cada
Pero por la unicidad del límite se sigue que.
Lo cual demuestra que
3. Se probó en Contracciones.
4. En la demostración vista en la entrada anterior vimos que existe
Haciendo tender
Por lo tanto
Que es lo que queríamos demostrar. Nota que esta última desigualdad nos permite acercarnos arbitrariamente al punto fijo de la contracción
Ejemplo.
Considera el espacio métrico completo
Si
Más adelante
Veremos el teorema de punto fijo de Banach aplicado en la demostración de la existencia y unicidad de la solución de una ecuación diferencial. Esto es, se buscan las funciones que satisfacen cierta ecuación. Estas funciones serán vistas como elementos de un espacio métrico completo. Como llegaremos a que la solución existe y es única, podemos esperar que dicha solución será punto fijo del espacio bajo cierta contracción.
Tarea moral
- Resuelve las preguntas planteadas en el ejemplo arriba mencionado.
- Considera el espacio de sucesiones acotadas en
con norma
a) Demuestra que la función es contracción.
b) Si es la sucesión acotada ¿Qué valores de satisfacen que la distancia entre y la sucesión que es el punto fijo de sea menor que - Sea
un espacio metrico y una contracción. Demuestra que:
a) Para cada la función es contracción.
b) Si es punto fijo de también lo es de
c) Si satisface que entonces tiene un punto fijo.
d) Si es punto fijo para y para para algún entonces es el punto fijo de
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