Teorema de punto fijo de Banach

Por Lizbeth Fernández Villegas

Introducción

En la entrada Contracciones mencionamos el teorema de punto fijo de Banach. Ahí mismo demostramos que si una contracción tiene un punto fijo, entonces este es único. En la entrada anterior vimos que la sucesión generada a partir de una contracción ϕ y un punto cualquiera x0 del espacio métrico es de Cauchy. Estos dos resultados serán usados a continuación para expresar una demostración del teorema. Recordemos lo que expresa:

Teorema de punto fijo de Banach. Sea (X,d) un espacio métrico completo y sea ϕ:XX una contracción, entonces:

  1. Para cada x0X la sucesión (ϕn(x0))nN es de Cauchy y, en consecuencia (ϕn(x0))nN converge a un punto xX. ϕn representa la composición ϕϕnveces
  2. El punto x descrito es punto fijo de ϕ.
  3. El punto fijo es único.
  4. Podemos estimar la distancia de ϕn(x0) a x usando la desigualdad:
    d(ϕn(x0),x)αn1αd(x0,ϕ(x0))

Demostración:
1. Se probó en la entrada anterior que la sucesión (ϕn(x0))nN es de Cauchy. Como aquí agregamos el hecho de que el espacio es completo, concluimos que converge a algún punto xX.

2. Sea x=limnϕn(x0). Probemos que x es punto fijo de ϕ.
Sea xn=ϕn(x0). Apliquemos a cada término la función ϕ que como es contracción, entonces es Lipschitz y por tanto es continua, tal como se vio en la entrada Más conceptos de continuidad.

Como
(xn)nNx
se sigue por lo visto en la entrada Funciones continuas en espacios métricos que
(ϕ(xn))nNϕ(x)
Pero para cada nN,ϕ(xn)=(xn+1) de modo que (ϕ(xn))nN es una subsucesión de (xn)nNx. En consecuencia (ϕ(xn))nN también converge a x.
Pero por la unicidad del límite se sigue que.
ϕ(x)=x
Lo cual demuestra que x es punto fijo de ϕ.

3. Se probó en Contracciones.

4. En la demostración vista en la entrada anterior vimos que existe NN tal que si n,mN entonces

d(xn,xm)αn1αd(x0,x1)

Haciendo tender m se sigue que

d(xn,x)αn1αd(x0,x1)

Por lo tanto

d(ϕn(x0),x)αn1αd(x0,ϕ(x0)).

Que es lo que queríamos demostrar. Nota que esta última desigualdad nos permite acercarnos arbitrariamente al punto fijo de la contracción ϕ incluso sin conocerlo, pues su lado derecho puede elegirse tan pequeño como se desee, eligiendo un valor para n suficientemente grande.

Construir una sucesión (ϕn(x0))nN nos permite aproximarnos al punto fijo x.

Ejemplo. ϕ:CC,ϕ(z)=3iz4

Considera el espacio métrico completo C con la norma usual. Dejaremos como ejercicio probar que ϕ:CC,ϕ(z)=3iz4 es contracción. La siguiente imagen muestra las primeras iteraciones de ϕ partiendo de x0=1. ¿A qué punto converge?

Si n=20, ¿puedes decir qué tan cerca está ϕn(1) del punto fijo? Nota que puedes hacer una estimación sin tener que calcular la norma del punto ϕn(1). Da el valor de NN a partir del cual la distancia al punto fijo sea menor que 1100.

Más adelante

Veremos el teorema de punto fijo de Banach aplicado en la demostración de la existencia y unicidad de la solución de una ecuación diferencial. Esto es, se buscan las funciones que satisfacen cierta ecuación. Estas funciones serán vistas como elementos de un espacio métrico completo. Como llegaremos a que la solución existe y es única, podemos esperar que dicha solución será punto fijo del espacio bajo cierta contracción.

Tarea moral

  1. Resuelve las preguntas planteadas en el ejemplo arriba mencionado.
  2. Considera el espacio de sucesiones acotadas en R con norma (xn)nN=supnN|xn|.
    a) Demuestra que la función ϕ(xn)nN=(12(xn))nN es contracción.
    b) Si (x0) es la sucesión acotada (x0n)nN. ¿Qué valores de nN satisfacen que la distancia entre ϕn(x0) y la sucesión que es el punto fijo de ϕ sea menor que 1100?
  3. Sea X un espacio metrico y ϕ:XX una contracción. Demuestra que:
    a) Para cada nN, la función ϕn es contracción.
    b) Si x es punto fijo de ϕ, también lo es de ϕn.
    c) Si ψ:XX satisface que ψϕ=ϕψ entonces ψ tiene un punto fijo.
    d) Si x es punto fijo para ϕk y para ϕk+1 para algún k2 entonces x es el punto fijo de ϕ.

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