Teorema de Baire

Por Lizbeth Fernández Villegas

 MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Dedicaremos esta entrada a la presentación de un teorema que ha dado resultados importantes en el estudio de los espacios métricos completos. Para comenzar, necesitamos imaginar la pertenencia de los elementos de un conjunto cuando seleccionamos, arbitrariamente, bolas abiertas en el espacio métrico. El primer concepto dice lo siguiente:

Definición. Conjunto denso. Sean (X,d) un espacio métrico y AX. Decimos que A es un conjunto denso en X si A=X.

La intersección de las bolas abiertas con A es no vacía

Nota que esto es equivalente a decir que todas las bolas abiertas de X tienen puntos en A.

Ejemplo: En el espacio métrico euclidiano de los números reales, el conjunto Q es denso.

Q es denso en R

Aunque basta con encontrar una bola abierta en X ajena al conjunto A para demostrar que A no es denso, presentamos un tipo de conjunto que no solo no lo es sino que no lo es en «ninguna parte» de A.

El conjunto de puntos es denso a la izquierda del dibujo pero no a la derecha

Definición. Conjunto nunca denso. Sean (X,d) un espacio métrico y AX. Si para toda bola abierta BX existe una bola abierta contenida BB que no tiene puntos de A diremos que A es un conjunto nunca denso (o denso en ninguna parte).

El conjunto de puntos es nunca denso

Con estos conceptos ya podemos entender el teorema prometido.

Teorema de Baire. Si (X,d) es un espacio métrico completo, entonces no puede representarse como la unión numerable de conjuntos nunca densos.

Demostración:
Sea X un espacio métrico completo. Considera el conjunto nNAn, donde para cada nN el conjunto AnX es nunca denso en X. Construiremos una sucesión de bolas cerradas encajadas como sigue: (Concepto visto en entrada anterior).
Sea B0 una bola cerrada de radio 1. Como A1 es nunca denso, existe una bola cerrada B1 de radio menor que 12 tal que B1B0 y B1A1=. Proponemos como ejercicio al lector argumentar por qué seleccionar dicha bola es posible.
De igual manera, como A2 es nunca denso existe una bola cerrada B2 de radio menor que 13 tal que B2B1 y B2A2=.

Si continuamos recursivamente, terminaremos construyendo una sucesión de bolas cerradas encajadas (Bn)nN cuyos radios tienden a 0. En la entrada anterior vimos que, al ser X completo la intersección de estas bolas tiene un punto, de hecho nNAn={x} para algún xX. Este punto no pertenece a ningún conjunto Ak,kN, pues al estar en la intersección de todas las bolas cerradas, particularmente xBk que, recordemos es ajeno a Ak, por lo tanto xAk. Entonces tenemos un punto xX tal que xnNAn concluyendo así que XnNAn.

A partir de este teorema podemos concluir la siguiente:

Proposición: Todo espacio métrico completo X sin puntos aislados es no numerable.

Demostración:
Recordemos que un punto aislado xX es aquel que tiene una bola abierta cuyo único elemento de X es x. Si X no tiene puntos aislados, entonces todos sus puntos son de acumulación. Es sencillo probar que para cada xX el conjunto {x} es nunca denso (ejercicio).

Toda bola abierta con x tiene otro elemento en el interior

Si la unión de todos los conjuntos de puntos xX{x}=X fuera numerable tendríamos un espacio completo que contradiga el teorema de Baire. Por lo tanto, si X es completo y sin puntos aislados, entonces es no numerable.

Ejemplo: El espacio euclidiano R es completo y sin puntos aislados, por lo tanto es no numerable.

El teorema de Baire ha dado resultados fundamentales en el análisis. Los siguientes tres teoremas pueden consultarse en:
Kesavan, S., Functional Analysis (2a ed.). Chennai, India: Editorial Springer, 1996. Pág. 99 y 106.

Teorema de Banach-Steinhaus o de acotación uniforme. Sea V un espacio de Banach y W un espacio lineal normado. Sea I un conjunto indexado para cada iI sea TiL(V,W). Entonces existe M>0 tal que

TiM, para todo iI

o bien supiITi(x)= para todo xGδV.

Teorema de la función abierta. Sean V,W espacios de Banach y sea TL(V,W) suprayectivo. Entonces T es una función abierta, esto es, si AV es abierto en V entonces T(A)W es abierto en W.

Corolario. (También llamado teorema de la función inversa). Sean V,W espacios de Banach y sea TL(V,W) biyectivo, entonces T tiene inversa T1 y esta es continua.

El teorema de la función inversa también es conocido como el teorema de Banach sobre el operador inverso como puede observarse en el problema 3 de Kolmogorov, A.N., Fomin, S.V., Introductory Real Analysis. New York: Dover Publications Inc, 1975. Pág 238. En la página 229 del libro mencionado encontraremos también el:

Teorema Banach: Sea A un operador lineal invertible y acotado que hace un mapeo de un espacio de Banach E en otro espacio de Banach E1, entonces el operador inverso A1 también es acotado.

También recomendamos visualizar la conferencia
Pichardo, Roberto. «¿Teoría de Conjuntos?, ¡Pero si es bien fácil!». Instituto de Matemáticas de la UNAM. Publicado el 24 de marzo del 2017. YouTube video 59:57
https://www.youtube.com/watch?v=hLFit88zTYk

Roberto Pichardo comienza a describir la Hipótesis del Continuo en el minuto 14 hasta contarnos que esta es equivalente a la igualdad c:=|R|=N1. El teorema de Baire permite mostrar que

N1cov(M)cN1non(M)cN1add(M)c

Y en consecuencia, esos tres cardinales son iguales.

Más adelante…

Descubriremos que aunque un espacio no sea completo, es posible extenderlo a uno donde sí lo sea. tendremos así la llamada «completación de un espacio métrico.»

Tarea moral

  1. ¿Es un conjunto nunca denso un conjunto denso?
  2. Da un ejemplo de un conjunto denso que no sea nunca denso.
  3. En la demostración del teorema de Baire, argumenta por qué es posible elegir las bolas con el radio indicado.
  4. Demuestra que un conjunto A es nunca denso, si y solo si Int(A)=.
  5. Prueba que si xX con X espacio métrico es un punto de acumulación, entonces {x} es nunca denso.

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