Introducción
Dedicaremos esta entrada a la presentación de un teorema que ha dado resultados importantes en el estudio de los espacios métricos completos. Para comenzar, necesitamos imaginar la pertenencia de los elementos de un conjunto cuando seleccionamos, arbitrariamente, bolas abiertas en el espacio métrico. El primer concepto dice lo siguiente:
Definición. Conjunto denso. Sean
Nota que esto es equivalente a decir que todas las bolas abiertas de
Ejemplo: En el espacio métrico euclidiano de los números reales, el conjunto

Aunque basta con encontrar una bola abierta en
Definición. Conjunto nunca denso. Sean
Con estos conceptos ya podemos entender el teorema prometido.
Teorema de Baire. Si
Demostración:
Sea
Sea
De igual manera, como
Si continuamos recursivamente, terminaremos construyendo una sucesión de bolas cerradas encajadas
A partir de este teorema podemos concluir la siguiente:
Proposición: Todo espacio métrico completo
Demostración:
Recordemos que un punto aislado
Si la unión de todos los conjuntos de puntos
Ejemplo: El espacio euclidiano
El teorema de Baire ha dado resultados fundamentales en el análisis. Los siguientes tres teoremas pueden consultarse en:
Kesavan, S., Functional Analysis (2a ed.). Chennai, India: Editorial Springer, 1996. Pág. 99 y 106.
Teorema de Banach-Steinhaus o de acotación uniforme. Sea
o bien
Teorema de la función abierta. Sean
Corolario. (También llamado teorema de la función inversa). Sean
El teorema de la función inversa también es conocido como el teorema de Banach sobre el operador inverso como puede observarse en el problema 3 de Kolmogorov, A.N., Fomin, S.V., Introductory Real Analysis. New York: Dover Publications Inc, 1975. Pág 238. En la página 229 del libro mencionado encontraremos también el:
Teorema Banach: Sea
También recomendamos visualizar la conferencia
Pichardo, Roberto. «¿Teoría de Conjuntos?, ¡Pero si es bien fácil!». Instituto de Matemáticas de la UNAM. Publicado el 24 de marzo del 2017. YouTube video 59:57
https://www.youtube.com/watch?v=hLFit88zTYk
Roberto Pichardo comienza a describir la Hipótesis del Continuo en el minuto 14 hasta contarnos que esta es equivalente a la igualdad
Y en consecuencia, esos tres cardinales son iguales.
Más adelante…
Descubriremos que aunque un espacio no sea completo, es posible extenderlo a uno donde sí lo sea. tendremos así la llamada «completación de un espacio métrico.»
Tarea moral
- ¿Es un conjunto nunca denso un conjunto denso?
- Da un ejemplo de un conjunto denso que no sea nunca denso.
- En la demostración del teorema de Baire, argumenta por qué es posible elegir las bolas con el radio indicado.
- Demuestra que un conjunto
es nunca denso, si y solo si - Prueba que si
con espacio métrico es un punto de acumulación, entonces es nunca denso.