Introducción

En las entradas anteriores definimos qué quiere decir que un campo escalar sea diferenciable. Así mismo, definimos las derivadas parciales y el gradiente. Ya usamos estas herramientas para hablar de dirección de cambio máximo y de puntos críticos. Además demostramos una versión del teorema del valor medio para este caso, lo que nos permitió poner un poco de orden a nuestra teoría: una función es diferenciable en un punto cuando existen sus parciales en ese punto y son continuas. Es momento de hablar de derivadas parciales de segundo orden. Cualquiera de las derivadas parciales es por sí misma un campo escalar, así que podemos preguntarnos si tiene o no sus propias derivadas parciales. Exploraremos esta idea.

Derivadas parciales de segundo orden

Las derivadas parciales de un campo escalar $f$ nos originan nuevos campos escalares. Supongamos que $f:S\subseteq {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ es un campo escalar para el cual existe la $k$-ésima derivada parcial en un conjunto abierto $S^{\prime }\subseteq S$. Entonces, obtenemos un nuevo campo escalar $\frac{\partial f}{\partial x_k}:S^{\prime }\to \mathbb{R}$.

Este campo escalar puede o no tener $j$-ésima derivada parcial. Suponiendo que la tiene en algún $U\subseteq S^{\prime }$ podríamos escribirla como

$$\frac{\partial \left(\frac{\partial f}{\partial x_k}\right)}{\partial x_j}.$$

Sin embargo, esta notación es engorrosa, y por ello optamos o bien por escribir la expresión como sigue

$$\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_k}\right)$$

o todavía más compacto, como

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_k}.$$

A esto le llamamos una derivada parcial de segundo orden. Si $j=k$, introducimos la notación

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_k^2}.$$

Las derivadas parciales de segundo orden vuelven a ser, una vez más, cada una de ellas un campo escalar. Esto permite seguir iterando la idea: podríamos hablar de derivadas parciales de segundo, tercero, cuarto, … , $k$-ésimo, … orden. Daremos una definición un poco más formal en una siguente entrada, pero por ahora trabajemos en entender a las derivadas parciales de segundo orden.

Un ejemplo de derivadas parciales de segundo orden

Ejemplo. Consideremos el campo escalar $f(x,y,z)=x^{2}yz$. Para este campo escalar tenemos que sus derivadas parciales con respecto a $x$, $y$ y $z$ son:

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)& =2xyz,\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)& =x^{2}z\\ \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)& =x^{2}y.\end{array}$$

Cada una de estas expresiones es a su vez un campo escalar. Cada una de ellas es derivable con respecto a $x$ en todo ${\mathbb{R}}^3$. Al derivarlas con respecto a $x$ obtenemos:

$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x,y,z)& =2yz,\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y,z)& =2xz,\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial z}(x,y,z)& =2xy.\end{array}$$

Por otro lado, las derivadas parciales de primer orden también podríamos haberlas derivado con respecto a $y$. En este caso, hubieramos obtenido.

$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y,z)& =2xz,\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(x,y,z)& =0,\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial z}(x,y,z)& =x^2.\end{array}$$

También podríamos derivar a las derivadas parciales de primer orden con respecto a $z$ para obtener las tres derivadas de orden dos faltantes. En total tenemos tres derivadas parciales de primer orden y nueve derivadas parciales de segundo orden.

$\mathrm{△}$

Igualdad de las derivadas parciales de segundo orden mixtas

En numerosos campos escalares de interés tenemos una propiedad muy peculiar: que los operadores «obtener la derivada parcial con respecto a $x$» y «obtener la derivada parcial con respecto a $y$» conmutan. Es decir, varias veces podemos intercambiar el orden de derivación de las parciales y obtener el mismo resultado. En el ejemplo anterior quizás hayas notado que

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=2xz=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}.$$

Esto no siempre pasa, pero hay criterios de suficiencia sencillos de verificar. Por ejemplo, basta que las parciales mixtas existan y sean continuas para que sean iguales. El siguiente teorema formaliza el resultado.

Teorema. Sea $f:S\subseteq {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ un campo escalar tal que las derivadas parciales $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$ existen en un conjunto abierto $U$. Si $(a,b)\in U$ es tal que $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$ son continuas en $(a,b)$, entonces dichas derivadas mixtas de segundo orden son iguales en $(a,b)$.

Demostración. Sean $h,k\ne 0$ suficientemente chicos para que los puntos en el plano $(a,b)$, $(a,b+k)$, $(a+h,b)$, y $(a+h,b+k)$ estén en $U$.

Definamos la función $\mathrm{\Gamma }(x)=f(x,b+k)-f(x,b)$ para $x\in [a,a+h]$ y definamos

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathrm{\Delta }(h,k)=\mathrm{\Gamma }(a+h)-\mathrm{\Gamma }(a).\end{array}$$

Notemos que $\mathrm{\Gamma }$ es una función de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ cuya derivada es $${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,b+k)-\frac{\partial f}{\partial x}(x,b).$$ Así, se le puede aplicar el teorema del valor medio con extremos en $a$ y $a+h$ para concluir que existe ${\xi }_1\in [a,a+h]$ que nos permite escribir $\mathrm{\Delta }(h,k)$ de la siguiente manera:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }(h,k)& =\mathrm{\Gamma }(a+h)-\mathrm{\Gamma }(a)\\ & =h{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }({\xi }_1)\\ & =h[\frac{\partial f}{\partial x}({\xi }_1,b+k)-\frac{\partial f}{\partial x}({\xi }_1,b)]\end{array}$$

Ahora podemos aplicar el teorema del valor medio en la función $y\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}({\xi }_1,y)$ con extremos $b$ y $b+k$. Esto nos permite continuar la cadena de igualdades anterior mediante un ${\eta }_1\in [b,b+k]$ que cumple

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathrm{\Delta }(h,k)=hk\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}({\xi }_1,{\eta }_1).\end{array}$$

Como $({\xi }_1,{\eta }_1)\in [a,a+h]\times [b,b+k]$, se tiene que $({\xi }_1,{\eta }_1)\to (a,b)$ conforme $(h,k)\to \overline{0}$.

Ahora consideremos análogamente a la función $\Lambda (y)=f(a+h,y)-f(a,y)$. Mediante un procedimiento similar al que acabamos de hacer, pero aplicado a $\Lambda$ en vez de a $\mathrm{\Gamma }$, se tiene otra forma de expresar a $\mathrm{\Delta }(h,k)$:

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \mathrm{\Delta }(h,k)=hk\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}({\xi }_2,{\eta }_2),\end{array}$$ donde $({\xi }_2,{\eta }_2)\in [a,a+h]\times [b,b+k]$. Nuevamente, $({\xi }_2,{\eta }_2)\to (a,b)$ conforme $(h,k)\to (0,0)$.

Igualando las expresiones en $\text{(2)}$ y $\text{(3)}$, tenemos lo siguiente:

$$\frac{\partial f}{\partial y\partial x}({\xi }_1,{\eta }_1)=\frac{\partial f}{\partial x\partial y}({\xi }_2,{\eta }_2).$$

El resultado se sigue de hacer tender $(h,k)\to (0,0)$, ya que dado que las derivadas parciales les estamos pidiendo que sean continuas, tenemos que:

$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(a,b)& =\underset{(h,k)\to (0,0)}{lim}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}({\xi }_1,{\eta }_1)\\ & =\underset{(h,k)\to (0,0)}{lim}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}({\xi }_2,{\eta }_2)\\ & =\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(a,b).\end{array}$$

Así concluimos nuestro resultado.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Más adelante…

En esta entrada hablamos de las derivadas parciales de segundo orden y vimos que bajo condiciones razonables podemos elegir las variables de derivación en el orden que queramos. Estas ideas son más generales, y a continuación nos llevarán a definir las derivadas parciales de cualquier orden $k$. Después, usaremos estas derivadas parciales para generalizar otro de los teoremas de cálculo unidimensional: el teorema de Taylor.

Tarea moral

1. Para las siguientes funciones calcula $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$:
   • $f(x,y)=x^2+y^{2}cos(xy)$
   • $f(x,y)=e^{x}cos(y)$
   • $f(x,y,z)=\text{log}(x^2+2y^2-3z^2)$
2. En el teorema que afirma que las derivadas parciales mixtas son iguales usamos cuatro veces el teorema del valor medio (¿cuáles 4 son?). Asegúrate de que en verdad lo podamos usar.
3. Calcula $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$, y $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$ para las funciones del punto 1. Explica por qué no es necesario calcular de manera separada $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$
4. Investiga de un ejemplo en el que las derivadas parciales $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$ y $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$ no sean iguales. Realiza las cuentas para verificar que en efecto tienen valores distintos en algún punto.
5. El teorema que enunciamos está muy limitado. Sólo nos habla de campos escalares de ${\mathbb{R}}^2$ en $\mathbb{R}$. Sin embargo, debería también funcionar si $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$. Enuncia y demuestra un resultado similar que te permita garantizar que $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}.$$

Entradas relacionadas

• Ir a Cálculo Diferencial e Integral III
• Entrada anterior del curso: Teorema del valor medio para campos escalares
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