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Cálculo Diferencial e Integral II: Recordatorio de derivadas

Por Moisés Morales Déciga

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Introducción

Durante esta unidad se empezaron a estudiar las integrales indefinidas, como una generalización o una ampliación de la definición al empezar a considerarse como funciones, a la vez que se mencionaron e ilustraron las propiedades que éstas tienen.

Pero para poder seguir avanzando en el curso, es necesario recordar el proceso de derivación.

Muy seguramente haz escuchado que existe una relación entre la integral y la derivada, puede ser que incluso te hayan contado que la integral es la función inversa a la derivación o que son procesos opuestos y demás posibilidades.

Por otro lado, si aun no lo haz escuchado te comento que sí existe una relación entre ambos procesos pero no es formalmente correcto mencionarlo como inversos. Esto lo detallaremos más adelante.

Y como vamos a ilustrar esta relación, es necesario recordar la derivada y las reglas de derivación que se encontraron en el primer curso de cálculo.

La derivada

A partir de lo desarrollado en Cálculo I, se define coloquialmente a la derivada como la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto o como la razón o velocidad de cambio de la función ante cambios de su variable independiente.

Formalmente, se define a la derivada como el siguiente límite.

$$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) \ – \ f(x)}{h} $$

Donde $f'(x)$ es la derivada de $f(x)$.

Al igual que en la entrada anterior, la derivada tiene propiedades con las cuales nos facilita su manejo al momento de operar la transformación con diferentes funciones, entre las cuales tenemos las siguientes propiedades.

Para las propiedades señaladas a continuación, es necesario considerar lo siguiente:

Sean $f$ y $g$ dos funciones derivables en $x_0$, es decir, que existe $f'(x_0)$ y $g'(x_0)$.

Derivada de suma de funciones y producto por una constante

  • $ (f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)$
  • $(cf)'(x_0) = c f'(x_0)$

Derivada de producto de funciones

  • $(f \cdot g)’ (x_0) = f(x_0) \cdot g'(x_0) + f'(x_0) \cdot g(x_0)$
  • Si $g(x_0) \neq 0$ y $g'(x_0) \neq 0$, entonces

$$\left( \frac{1}{g} \right) ^{‘} (x_0) = – g(x_0) \left( \frac{1}{(g(x_0))^{2}} \right) $$

Estas son las propiedades que se ilustraron en el curso de Cálculo I, si quieres recordar la entrada, sigue este enlace. En esta entrada se presentan unas demostraciones de las propiedades, así como unos ejemplos.

Pero en este caso, podemos utilizar la notación de la integral indefinida para mostrar las propiedades y las reglas de derivación, como se muestra adelante.

Reglas de derivación

Para todas las siguientes reglas de derivación, suponga que la función es derivable.

Multiplicación por una constante

$$ \phi(x)=cf(x), \Rightarrow \phi'(x)=cf'(x).$$

Derivada de una suma

$$\phi(x)=f(x)+g(x), \Rightarrow \phi'(x)=f'(x)+g'(x).$$

Derivada del producto

$$\phi(x)=f(x) g(x), \Rightarrow \phi'(x)=f(x)g'(x) + f'(x)g(x) .$$

Derivada de un cociente

$$\phi(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, \Rightarrow \phi'(x) = \frac{g(x)f'(x) – f(x)g'(x) }{[g(x)]^2}.$$

Derivación directa

Una vez que recordamos la derivada, su definición y las reglas de derivación, podemos recordar las fórmulas de derivación para funciones particulares, lo que nos permite calcular la derivada de forma directa o inmediata.

Esto nos facilita el proceso, ya que una vez que vemos la función, sabemos de forma instantánea, cual es su diferencial.

Derivación de potencias

Este es un caso de la derivada de un producto.

En caso de tener una potencia de la forma $x^n$.

\begin{align*}
\frac{d}{dx}x^n=n \cdot x^{n-1}.
\end{align*}

En caso de tener una raíz, es decir, la función es de la forma $\sqrt[n]{x}$, también tiene un tratamiento de potencia, como se muestra adelante.

\begin{align*}
\frac{d}{dx}\sqrt[n]{x} & = \frac{d}{dx} x^{\frac{1}{n}} \\
& =\frac{1}{n} x^{({\frac{1}{n} \ – \ 1)}} .
\end{align*}

Y por último, si tenemos un caso combinado, se tiene la siguiente regla.

\begin{align*}
\frac{d}{dx}\sqrt[n]{x^m} & = \frac{d}{dx} x^{\frac{m}{n}} \\
& =\frac{m}{n} x^{({\frac{m}{n} \ – \ 1)}} .
\end{align*}

Derivación de funciones racionales

En general, es un caso de la derivada de cociente, pero también puede ser tratada como una potencia.

\begin{align*}
\frac{d}{dx} \frac{1}{{x^m}} & = \frac{d}{dx} x^{- \ m} \\
& = – \ m \ x^{- \ m – 1} \\
& =-\frac{m}{x^{m+1}}
\end{align*}

Derivación de funciones trigonométricas

$$\frac{d}{dx}sen(x)=cos(x).$$

$$\frac{d}{dx}cos(x)=-sen(x).$$

\begin{align*}
\frac{d}{dx}tan(x) & =\frac{1}{{cos^2}(x)} \\
& =sec^2(x) \\
& =1+tan^2(x).
\end{align*}

\begin{align*}
\frac{d}{dx}cot(x) & =-\frac{1}{sen^2(x)} \\
& =-cosec^2(x) \\
&=-(1+cot^2(x)).
\end{align*}

Derivación de funciones inversas trigonométricas

$$\frac{d}{dx}arcsen(x)=\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}.$$

$$\frac{d}{dx}arccos(x)=-\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}.$$

$$\frac{d}{dx}arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}.$$

$$\frac{d}{dx}arccot(x)=-\frac{1}{1+x^2}.$$

Derivada de la función exponencial

$$\frac{d}{dx}a^x=log(a)a^x.$$

$$\frac{d}{dx}e^x=e^x.$$

Derivada de la función logaritmo

$$\frac{d}{dx} log(a)x=\frac{1}{x ln(a)}.$$

$$\frac{d}{dx} ln(x)=\frac{1}{x}.$$

Regla de la cadena

Esta regla se utiliza cuando estamos haciendo composición de funciones o la función que estamos derivado es producto de otra transformación. Esta propiedad nos especifica la derivación en estos casos.

Tenemos dos funciones $\phi$ y $g$ continuas en sus intervalos de definición, no necesariamente están definidas en el mismo intervalo.

Entonces, la función compuesta $f(x)=g[\phi(x)]$ es también continua.

Entonces, si queremos obtener la derivada de la función $f(x)$, aplicamos el siguiente teorema llamado como «regla de la cadena».

$$f'(x) = g'(\phi) \phi'(x).$$

Si quieres recordar a detalle la regla de la cadena, así como su demostración, puedes consultarlo en el siguiente enlace.

Más adelante…

Este ha sido un repaso muy corto y muy general sobre la derivada, en caso de querer recordarlo con mayor detalle o si tienes algún tema que te gustaría retomar con mayor detenimiento, puedes consultar la página de curso en el siguiente enlace, donde se enfoca en el cálculo diferencial.

Este pequeño recordatorio nos permitió introducir la diferencial a partir de la notación correspondiente de la integral indefinida, lo que nos ayuda de forma indirecta a ver la relación que tiene la derivada con la integral.

En la siguiente entrada se verá la introducción a los dos teoremas que tienen una alta importancia dentro del curso y que se emplearán en muchos cursos ya que, como su nombre lo dice, son fundamentales.

Estos teoremas explican formalmente la relación que existe entre el cálculo integral y el cálculo diferencial, así que nos van a facilitar cuando se tenga un problema que involucre ambos procesos.

Tarea moral

Encuentre las siguientes derivadas.

  1. $\ y(x) = (x^3 + 4x^2 – 7)^6.$
  2. $\ y(x) = sin^2(2x^3).$
  3. $ \ y(x) = \frac{1}{6x} + e^{2x}.$
  4. $\ y(x) = 3x cos(x^2) – (x^2+2x+1) tan(x) .$
  5. $\ y(x) = 4 ln((x-2)^2). $

Entradas relacionadas

  • Página del curso: Cálculo Diferencial e Integral II
  • Entrada anterior: Propiedades de la integral indefinida
  • Entrada siguiente: Intuición de los teoremas fundamentales del cálculo

Cálculo Diferencial e Integral I: Reglas de derivación

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

Anteriormente habíamos revisado algunos teoremas relacionados con la derivada de funciones. Esta entrada tiene como objetivo mostrar un resumen de las reglas de derivación que hemos estudiado hasta ahora y agregar algunas reglas nuevas; éstas seguro te harán recordar las clases de cálculo del bachillerato, tal como la derivada de una constante o la derivada de $x^n$.

Reglas de derivación para la suma, el producto, el cociente y la composición de funciones

Previamente revisamos algunas reglas que son fundamentales para el cálculo de las derivadas, tales como que la derivada de una suma de funciones es la suma de sus respectivas derivadas o que la derivada de una función que está siendo multiplicada por una constante es igual a la derivada de la función multiplicada por la constante. Procederemos a enlistarlas pues será importante tenerlas muy presentes:

Sean $A \subset \RR$, $f: A \to \RR$, $g: A \to \RR$ y $x_0 \in A$ tales que $f$ y $g$ son derivables en $x_0$, es decir, $f'(x_0)$ y $g'(x_0)$ sí existen. Entonces

  1. $f+g$ es derivable en $x_0$, además $$(f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0).$$
  2. Si $c \in \RR$ es una constante, $cf$ es derivable en $x_0$, además $$(cf)'(x_0) = cf'(x_0).$$
  3. $f \cdot g$ es derivable en $x_0$, además $$(f \cdot g)'(x_0) = f(x_0)g'(x_0) + f'(x_0) g(x_0).$$
  4. Si $g(x_0) \neq 0$, entonces $\frac{f}{g}$ es derivable en $x_0$, además $$\left( \frac{f}{g} \right)’ (x_0) = \frac{-f(x_0)g'(x_0) + g(x_0)f'(x_0)}{(g(x_0))^2}.$$

Teorema. Sean $A$, $B \subset \RR$, $g: A \to \RR$, $f: B \to \RR$ y $x_0 \in A$ tales que

  1. Para todo $x \in A$, $g(x) \in B$.
  2. $g$ es derivable en $x_0$, es decir $$\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = g'(x_0).$$
  3. $f$ es derivable en $g(x_0)$, es decir $$\lim_{t \to x_0} \frac{f(t)-f(g(x_0))}{t-g(x_0)} = f'(g(x_0)).$$

Entonces $f \circ g$ es derivable en $x_0$, además $$(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0))g'(x_0).$$

Algunas reglas adicionales

Notemos que las reglas de la lista anterior se enfocan en encontrar la derivada de diversas operaciones que se pueden hacer con las funciones. Pero también es relevante tener presentes algunas derivadas de funciones específicas que suelen aparecer con mucha frecuencia. Algunas de ellas ya las probamos en una entrada anterior y solo las mencionaremos.

Proposición (Derivada de una constante). Sea $f: \RR \to \RR$, donde $f(x) = c$, entonces $f'(x)=0$ para todo $x \in \RR.$

Proposición (Derivada de la función identidad). Sea $f: \RR \to \RR$, donde $f(x) = x$, entonces $f'(x)=1$ para todo $x \in \RR.$

Demostración.

Sea $x_0 \in \RR$, entonces

\begin{align*}
f'(x_0) & = \lim_{ x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{x-x_0}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} 1 \\ \\
& = 1.
\end{align*}

$$\therefore f'(x_0) = 1.$$

$\square$

Proposición. Sea $f: \RR \to \RR$, donde $f(x) = x^n$, entonces $f'(x)=nx^{n-1}$ para todo $x \in \RR.$

Demostración.

Procederemos a hacer la demostración por inducción. Sea $x_0 \in \RR.$

Caso base: n = 1. Sea $g(x) = x$, entonces $g'(x_0) = 1$. Esto se comprueba directamente de la proposición anterior.

Hipótesis de inducción: Para $h(x) = x^n$, se tiene que $h'(x_0) = n x^{n-1}$.

Sea $f(x) = x^{n+1}$. Notemos que $f(x) = (h \cdot g) (x)$, por la regla de la derivada del producto tenemos que

\begin{align*}
f'(x_0) & = h'(x_0)g(x_0)+h(x_0)g'(x_0) \\ \\
& = nx_0^{n-1} \cdot x_0 + x_0^n \cdot 1 \\ \\
& = nx_0^n + x_0^n \\ \\
& = (n+1)x_0^n.
\end{align*}

$$\therefore f'(x_0)=(n+1)x_0^n.$$

Por tanto, podemos concluir que para todo $n \in \mathbb{N}$ se tiene que si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x)=nx^{n-1}.$

$\square$

La proposición anterior la probamos para todo $n$ en los naturales, sin embargo, esto también es cierto para cualquier valor real. Pero será en la siguiente entrada donde obtengamos las herramientas que nos permitirán probarlo.

Proposición. Sea $f: A \subset (0, \infty) \to \RR$, donde $f(x) = \sqrt{x}$, entonces $f'(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ para todo $x \in A.$

Proposición. Sea $f: A \subset \RR – \{0\} \to \RR$, donde $f(x) = \frac{1}{x}$, entonces $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ para todo $x \in A.$

Demostración.

Sea $x_0 \in A$, entonces

\begin{align*}
f'(x_0) & = \lim_{ x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{x_0-x}{xx_0}}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{x_0-x}{(x-x_0)(xx_0)} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{-(x-x_0)}{(x-x_0)(xx_0)} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{-1}{xx_0} \\ \\
& = -\frac{1}{x_0^2}.
\end{align*}

$$\therefore f'(x_0) = -\frac{1}{x_0^2}.$$

$\square$

Más adelante…

En las siguientes entradas se hará un estudio particular de la derivada de algunas funciones especiales como lo son las funciones trigonométricas, la función exponencial y la función logarítmica.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Para cada una de las siguientes funciones $f$, halla $f'(f(x))$:
    • $f(x)=\frac{1}{1+x}.$
    • $f(x)=x^2.$
    • $f(x)=17.$
  • Para cada una de las siguientes funciones $f$, halla $f(f'(x))$
    • $f(x)=\frac{1}{x}.$
    • $f(x)=x^2.$
    • $f(x)=17x.$
  • Para cada una de las siguientes funciones halla $f’$ en función de $g’$
    • $f(x)=g(x+g(x_0)).$$f(x)=g(x+g(x)).$
    • $f(x)=g(x)(x-x_0).$
    • $f(x)=g(x \cdot g(x_0)).$
    • $f(x+3)=g(x^2).$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»