Introducción
En la actual entrada se estudian propiedades de las dos operaciones (suma vectorial y producto escalar) que se definieron anteriormente. Utilizaremos los axiomas de
Propiedades de suma y producto escalar
Aunque nosotros nos enfocaremos por el momento en
Teorema. Para todos los vectores
Por contexto se entiende que el
Demostración. Para no caer en repetición del uso de ciertas herramientas, a continuación demostraremos sólo algunos de los ocho puntos. Puedes demostrar los restantes como tarea moral y pensar también en la generalización para
Sean
1. Debemos demostrar la igualdad
Para cada una de las igualdades anteriores existe una justificación. El primer renglón se da meramente por la definición de cada vector. La siguientes dos igualdades resultan de la definición de suma de vectores que, como la definimos, debe ser realizada coordenada a coordenada. Ahora, por asociatividad de la suma de los números reales, el renglón 4 es válido. El penúltimo parece un as sacado de la manga pero en realidad es de nuevo pensar en la definición de suma de vectores: tenemos una igualdad entre la suma de dos vectores y la suma de sus entradas formando el vector suma. Por último sólo sustituimos las entradas por el vector que representan.
5. Debemos demostrar la igualdad
Por definición del vector
Por definición del producto escalar se cumplen los siguientes dos pasos:
Por la asociatividad del producto en
De nuevo parece que el siguiente paso es otro as, pero piensa en la definición del producto escalar leyéndolo de derecha a izquierda:
7. Debemos demostrar la igualdad
Resumamos los pasos. El primer paso es por definición de ambos vectores, el siguiente por definición de suma vectorial y el tercero por definición de multiplicación escalar. En este punto, en cada entrada del vector tenemos únicamente números reales por lo que podemos usar distributividad en
8. Debemos demostrar la igualdad
Por definición de
Por definición del produco escalar:
Por distributividad de los números reales:
Por definición de la suma vectorial:
Por definición del producto escalar:
Demostramos algunas de las propiedades. Para el resto de ellas hay que seguir las mismas ideas. Si te das cuenta, lo único que utilizamos en esta demostración fueron los axiomas de los números reales, la definición de las operaciones usadas y algo de intuición para saber qué paso sigue.
Intuición geométrica de las propiedades
Si recuerdas, Descartes asoció el álgebra a la geometría y al menos en este curso, el álgebra que desarrollemos tiene un significado geométrico. A continuación describiremos algunos de los puntos que demostramos e ilustraremos otros con ayuda de GeoGebra.
1.
5.
Para los siguientes dos casos sólo describiremos lo que pasa y lo óptimo sería que lograras usar GeoGebra para hacer la representación gráfica de ellos.
7.
8.
Existe un término para denotar a un conjunto con dos operaciones (suma vectorial y producto escalar), que cumple con las ocho propiedades del teorema que acabamos de demostrar: espacio vectorial. Así, este teorema se resume al decir que
Ecuaciones con vectores
Ahora veamos cómo podemos usar estas propiedades en la resolución de problemas. Nos serán de mucha ayuda cuando tengamos ecuaciones constituidas por vectores, ¿es posible resolverlas igual que cuando se tienen variables numéricas? Resulta que hay cosas que sí podemos realizar de la misma manera, como «pasar del otro lado» un vector sumando o restando y dividir por escalares, veámoslo en el siguiente ejemplo.
Ejemplo. Sean
Nuestra variable es el vector
Podemos ahora dividir ambos lados por el escalar
Esto tiene sentido pues si bien tenemos un vector entre un escalar, podemos re-pensar esto como el vector multiplicado por
Aunque haya cosas que podemos hacer de manera equivalente a los reales en casos como el mostrado en el ejemplo, hay otras que no son viables como dividir entre un vector. Aún así, podemos obtener herramientas que nos auxilien. Para cerrar esta entrada enunciaremos y demostraremos dos lemas que servirán para trabajar con operaciones vectoriales.
Lema 1. Si
Demostración.
- Supongamos que
. P. D. .
Como
En el primer renglón sólo multiplicamos por
Esto ya prueba lo que queremos, pero también podríamos hacer la prueba «al revés», pensando en qué sucede cuando
- Supongamos ahora que
P.D. .
Sea
Esto se encuentra igualado al vector
ahora, existen 3 casos que cumplen
Sin perdida de generalidad, supongamos el caso 1. Como
pues esto se satisface para los números reales. La demostración del segundo caso es análoga, sólo se debe tomar
Lema 2. Si
Demostración.
Sea
Para que se cumpla la igualdad tienen que ser iguales entrada a entrada
Como
Más adelante…
Las propiedades aquí vistas nos servirán como herramienta a lo largo del curso. Como ya las demostramos, tendremos la libertas de usarlas más adelante. Esto será de suma utilidad para cuando definamos objetos geométricos como rectas, planos, circunferencias, y queramos hablar de sus propiedades.
Tarea moral
- Realiza la demostración de los puntos faltantes en el teorema enunciado en esta entrada.
- Realiza la representación gráfica de estos y también de los puntos que sólo fueron explicados. Puedes usar GeoGebra si así lo deseas.
- Considera los vectores
y en . Encuentra el vector tal que . - Si es posible, encuentra
tales que , con y los vectores del ejemplo visto en esta entrada y . Si no es posible, argumenta porqué. - Así como definimos suma vectorial y producto escalar en
, podríamos hacer lo mismo en o , una vez más haciendo las operaciones entrada a entrada. Por ejemplo, en tendríamos . Demuestra que los resultados que probamos en esta entrada también se valen para (y más en general, en ).