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Cálculo Diferencial e Integral II: Métodos Numéricos de Integración – Regla de Simpson

Por Miguel Ángel Rodríguez García

Introducción

En la sección anterior vimos dos métodos numéricos de integración: el método del punto medio y el método del trapecio. Otra regla de aproximación numérica a las integrales se llama regla de Simpson, el cual consiste en usar parábolas (como se muestra en la figura $1$) en lugar de segmentos de rectas para aproximarse a una curva.

Método de la regla de Simpson

Comencemos deduciendo la regla de Simpson.

Sea una curva dada por $f(x)$ en el plano en un intervalo $[a, b]$, dividimos el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos de igual longitud dado como:

$$\Delta x=\frac{b-a}{n}$$

En el que esta vez se requiere que $n$ sea un número par.

Figura 1: Regla de Simpson con aproximaciones parabólicas a la función $f(x)$.

La ecuación de una parábola está dada como:

$$y=Ax^{2}+Bx+C \tag{1}$$

Por lo que su área en el intervalo $[-h, h]$ es:

$$Área=\int_{-h}^{h}(Ax^{2}+Bx+C)dx=\left [ A\frac{x^{3}}{3}+B\frac{x^{2}}{2}+Cx+D \right ]\bigg{|}_{-h}^{h}$$

$$=\left [ A\frac{h^{3}}{3}+B\frac{h^{2}}{2}+Ch+D \right ]- \left [ A\frac{(-h)^{3}}{3}+B\frac{ (-h) ^{2}}{2}+C (-h) +D \right ]$$

$$=\left [ A\frac{h^{3}}{3}+B\frac{h^{2}}{2}+Ch+D \right ]+\left [ A\frac{h^{3}}{3}-B\frac{h^{2}}{2}+Ch-D \right ] $$

$$=\frac{2Ah^{3}}{3}+2Ch=h\frac{(2Ah^{2}+6C)}{3} \tag{2}$$

De la figura $1$ vemos que una de las curvas pasa por los puntos $(-h, y_{0})$, $(0, y_{1})$ y $(h, y_{2})$, evaluando estos puntos en la ecuación cuadrática $(1)$ se obtiene lo siguiente:

$$y_{0}=Ah^{2}-Bh+C$$

$$y_{1}=C$$

$$y_{2}=Ah^{2}+Bh+C$$

Si sumamos estas relaciones como:

$$y_{0}+4y_{1}+y_{2}= Ah^{2}-Bh+C +4C+ Ah^{2}+Bh+C= 2Ah^{2}+6C $$

Podemos expresar el área $(2)$ en términos de $y_{0}$, $y_{1}$ y $y_{2}$, como:

$$A_{1}=\frac{h}{3}(y_{0}+4y_{1}+y_{2})$$

Que es el área debajo de la parábola que pasa por los puntos $(x_{0}=-h, y_{0})$, $(x_{1}=0, y_{1})$ y $(x_{2}=h, y_{2})$, imaginemos que la segunda parábola intercepta en los puntos: $(x_{2}, y_{2})$, $(x_{3}, y_{3})$ y $(x_{4}, y_{4})$ entonces el área de esta segunda parábola es:

$$A_{2}=\frac{h}{3}(y_{2}+4y_{3}+y_{4})$$

Si sumamos todas las áreas hasta un n-esima parábola que se aproxima a la función $f(x)$, tendremos que el área total es:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx S_{n}=\frac{h}{3}(y_{0}+4y_{1}+y_{2})+\frac{h}{3}(y_{2}+4y_{3}+y_{4})+…+\frac{h}{3}(y_{n-2}+4y_{n-1}+y_{n})$$

$$=\frac{h}{3}(y_{0}+4y_{1}+2y_{2}+4y_{3}+…+2y_{n-2}+4y_{n-1}+y_{n})$$

Vemos que hay un patrón en los coeficientes:

$$1, \space 4, \space2, \space4, \space2 \space…. \space 2, \space4, \space1$$

Por lo que la regla de Simpson se define como:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \frac{\Delta x}{3}(y_{0}+4y_{1}+y_{2})+\frac{\Delta x}{3}(y_{2}+4y_{3}+y_{4})+…+\frac{\Delta x}{3}(y_{n-2}+4y_{n-1}+y_{n})$$

$$=\frac{\Delta x}{3}(y_{0}+4y_{1}+2y_{2}+4y_{3}+…+2y_{n-2}+4y_{n-1}+y_{n}) \tag{3}$$

Con $\Delta x=\frac{b-a}{n}$, $n$ un número par, y los puntos $x_{i}$ los calculamos como:

$$x_{0}=a$$

$$x_{1}=a+\Delta x$$

$$…..$$

$$x_{n-1}=a+(n-1)\Delta x$$

$$x_{n}=b \tag{4}$$

Cota de error para la regla de Simpson

Para la estimación de la cota de error en la regla de Simpson, suponga que $|f^{4}(x)|\leq K$ para $a\leq x\leq b$ con $|f^{4}(x)|$ el valor absoluto de la cuarta derivada de la función. Si $E_{s}$ es el error relacionado con la regla de Simpson, entonces la cota de error para la regla de Simpson es:

$$E_{s}\leq\frac{K(b-a)^{5}}{180n^{4}}$$

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

  • Usar la regla de Simpson para aproximar la integral $\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx$ con $n=10$.

Tenemos que $n=10$, $a=1$ y $b=2$ lo que implica que $\Delta x=\frac{b-a}{n}=0.1$.

Por la regla de Simpson $(3)$ y calculando los puntos $x_{i}$ $(4)$ tenemos que:

$$\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx\approx\ S_{10}=\frac{\Delta x}{3}\left [ f(1)+4f(1.1)+2f(1.2)+…+2f(1.8)+4f(1.9)+f(2) \right ]$$

$$=\frac{0.1}{3}\left [ \frac{1}{1}+\frac{4}{1.1}+\frac{2}{1.2}+\frac{4}{1.3}+\frac{2}{1.4}+\frac{4}{1.5}+\frac{2}{1.6}+\frac{4}{1.7}+\frac{2}{1.8}+\frac{4}{1.9}+\frac{1}{2}+ \right ]\approx 0.693150$$

Comparando este resultado con lo obtenido con la regla del punto medio y regla del trapecio, la regla de Simpson nos da una aproximación mucho mejor respecto a estos dos métodos, pues resulta que la regla de Simpson son promedios ponderados de la regla del punto medio y regla del trapecio, se puede demostrar que:

$$S_{2n}=\frac{1}{3}T_{n}+\frac{2}{3}M_{n}$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invito a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

  1. Demuestre que: $S_{2n}=\frac{1}{3}T_{n}+\frac{2}{3}M_{n}$
  2. ¿Qué tan grande debe de ser n para que al utiliza la regla de Simpson al aproximar la integral $\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx$, sea exacta hasta dentro de 0.0001?
    1. Use la regla de Simpson con n=10 para aproximar la integral $\int_{0}^{1} e^{x^{2}}dx$
    2. Estime el error con esta aproximación
    1. Estimar la integral con n=3: $\int_{0}^{2} x^{3}dx$
    2. En este caso, ¿la regla de Simpson es exacta? ¿Porque?

Más adelante…

En esta sección vimos la regla de Simpson que consiste en otro método de aproximación numérica para las integrales por medio de parábolas y que es este método es un promedio ponderado de los métodos del punto medio y del trapecio. Aunque existen más métodos numéricos para aproximar integrales, solo veremos estos métodos. En la siguiente sección veremos el teorema del valor medio para las integrales.

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Por Miguel Ángel Rodríguez García

Introducción

En caso contrario a las derivadas, algunas integrales no se pueden resolver o son muy difíciles de resolver y esto es porque ninguna técnica puede ni podrá que tales integrales se puedan expresar en términos de funciones elementales, por lo que a estas integrales se recurre a aproximarlas numéricamente, por lo que en esta entrada enseñaremos solo algunos métodos numéricos para integrales definidas, ya que hay un mundo de métodos numéricos.

Métodos numéricos de integración

La idea de evaluar una integral definida $\int_{a}^{b}f(x)dx$ consiste en determinar una fórmula $F(x)$ para una de las antiderivadas $f(x)$ y calcular el número $F(b)-F(a)$, sin embargo, en algunas ocasiones es difícil o incluso imposible hallar una antiderivada, por ejemplo, es difícil hallar de manera exacta la siguiente integral definida:

$$\int_{0}^{1} e^{x^{2}}dx$$

Por lo que en estos casos se necesita hallar valores aproximados a estas integrales definidas usando algunos métodos de aproximación como la regla del punto medio o la regla del trapecio.

Regla del punto medio

Para el método de la regla del punto medio comenzamos a deducir este método.

Sea una función $f(x)$ continua en un intervalo $[a, b]$. Dividimos este intervalo en $n$ subintervalos de igual longitud como se observa en la figura $1$, expresemos esta longitud como:

$$\Delta x=\frac{b-a}{n}$$

A medida que $n \to \infty$ mejor es la aproximación a la integral de la función $f(x)$.

Figura 1: Aproximación del método del punto medio a una función $f(x)$.

Recordemos que la integral definida se puede aproximar como [Hipervinculo: Calculo II-Definición de la integral]

$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x$$

Donde $x_{i}$ es cualquier punto en el i-ésimo subintervalo $[a, b]$. Se puede considerar a $x_{i}$ como el punto medio, denotemos este punto como $\bar{x_{i}}$, así como se muestra en la figura $1$.

Sumamos estos $n$ puntos medios evaluados sobre la función $f(x)$ multiplicadas por $\Delta x$, obtenemos una aproximación a la integral, a este método se le conoce como regla del punto medio y está definida como:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx M_{n}= \sum_{i=1}^{n}f(\bar{x_{i}})\Delta x=\Delta x\left [ f(\bar{x_{1}})+f(\bar{x_{2}})+…+f(\bar{x_{n}}) \right ] \tag{1}$$

Con:

$$\Delta x=\frac{b-a}{n}$$

Llamado tamaño de la malla y:

$$\tilde{x_{i}}=\frac{1}{2}\left ( a+b \right )$$

Es el punto medio del intervalo $[a, b]$.

Regla del trapecio

Este método consiste en considerar varios trapecios y aproximarse a la función $f(x)$ mediante estos, recordemos que el área de un trapecio es:

$$1/2 (base \space mayor + base \space menor) \space por \space altura$$

Así el área del i-esimo trapecio es:

$$A=\frac{f(x_{i-1})+f(x_{i})}{2}\Delta x$$

Análogamente, a la deducción del método de la regla del punto medio, consideremos una función $f(x)$ continua en el intervalo $[a, b]$, dividimos este intervalo en $n$ subintervalos con longitud $\Delta x=\frac{b-a}{n}$, en donde se aproxima el área de la integral por medio de trapecios como lo vemos en la siguiente imagen:

Figura 2: Aproximación del método del trapecio a una función $f(x)$.

Por lo que se puede aproximar la integral de la función $f(x)$ tomando $n$ subintervalos, como:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx T_{n}= \frac{1}{2}\left [ \sum_{i=1}^{n}(f(x_{i-1})+f(x_{i})) \Delta x \right ]$$

$$=\frac{\Delta x}{2}\left [ \sum_{i=1}^{n}(f(x_{i-1})+f(x_{i})) \right ]=\frac{\Delta x}{2} \left [ f_{0}+f_{1}+…+f_{n-1}+f_{1}+f_{2}+…+f_{n} \right ]=\frac{\Delta x}{2}\left [ f_{0}+2f_{1}+…+2f_{i-1}+f_{n} \right ]$$

$$\therefore \int_{a}^{b}f(x)dx\approx T_{n}=\frac{\Delta x}{2} \left [ f_{0}+2f_{1}+…+2f_{i-1}+f_{n} \right ] \tag{2}$$

Donde:

$$\Delta x=\frac{b-a}{n}$$

Y:

$$x_{i}=a+i\Delta x$$

Cotas de error

Como son métodos de aproximación, entonces hay un error en el cual se define como la cantidad que debe ser sumada a la aproximación para llegar al valor exacto. Cuando el valor $n$ tiende a ser muy grande, el valor $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ tiende a cero, por lo que $M_{n}$ y $T_{n}$ tienden al valor exacto de $\int_{a}^{b}f(x)dx$ pero es claro que hacerlo en papel es muy difícil de llegar al valor exacto por lo que a continuación se definen las estimaciones de las cotas de los errores:

Consideremos que $|f´´(x)|\leq K$ para $a\leq x \leq b$ , es decir, la segunda derivada de $f(x)$ está acotada por $K$, una cota superior para los valores de $|f´´|$ en $[a, b]$. Si $E_{M}$ y $E_{T}$ son los errores en la regla del punto medio y la regla del trapecio respectivamente, para $n$ pasos, entonces:

$$|E_{M}|\leq \frac{K(b-a)^{3}}{24n^{2}}$$

$$|E_{T}|\leq \frac{K(b-a)^{3}}{12n^{2}}$$

Obsérvese que $|f´´(x)|$ es el valor absoluto de la segunda derivada de la función.

Veamos un ejemplo de como se aplican estos dos métodos numéricos.

Ejemplos

  • Usar la regla del punto medio y del trapecio con $n=5$ para aproximar la integral $\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx$ y calculé los errores respectivos.

Vemos que $n=5$, $a=1$ y $b=2$ $\Rightarrow \Delta x=\frac{2-1}{5}=\frac{1}{5}$

Comenzamos con el método de la regla del punto medio, tenemos que los puntos medios son: $\tilde{x_{i}}=\frac{1}{2}\left [ x_{i-1}+x_{i} \right ]$, como estamos en el intervalo $[1, 2]$ dividimos este intervalo en $5$, ya que $n=5$ y tendremos los siguientes subintervalos:

$$[1, 1.2], \space [1.2, 1.4], \space [1.4, 1.6], \space [1.6, 1.8] \space y \space [1.8, 2]$$

Ahora obtengamos $\bar{x_{i}}$, que son los puntos medios respectivamente de los subintervalos anteriores, los cuales son:

$$1.1, \space 1.3, \space 1.5, \space 1.7 \space y \space 1.9$$

Usando la relación $(1)$, tenemos que:

$$\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx\approx \Delta x\left [ f(1.1)+f(1.3)+f(1.5)+f(1.7)+f(1.9) \right ]=\frac{1}{5}\left [ \frac{1}{1.1}+\frac{1}{1.3}+\frac{1}{1.5}+\frac{1}{1.7}+\frac{1}{1.9} \right ]\approx 0.691908 \tag{3}$$

Ahora usamos el método de la regla del trapecio recordando que:

$$x_{i}=a+i\Delta x$$

Entonces:

$$x_{0}=1$$

$$x_{1}=1+(1)(\frac{1}{5})=1.2$$

$$x_{2}=1+(2)(\frac{1}{5})=1.4$$

$$x_{3}=1+(3)(\frac{1}{5})=1.6$$

$$x_{4}=1+(4)(\frac{1}{5})=1.8$$

$$x_{5}=1+(5)(\frac{1}{5})=2$$

Por ende, usamos la relación $(2)$, se tiene que:

$$\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx\approx \frac{0.2}{2} \left [ f(1)+2f(1.2)+2f(1.4)+2f(1.6)+2f(1.8)+f(2) \right ]=0.1\left [ \frac{1}{1}+\frac{2}{1.2}+\frac{2}{1.4}+\frac{2}{1.6}+\frac{2}{1.8}+\frac{1}{2} \right ]\approx 0.695635 \tag{4}$$

Para calcular las cotas de los errores tomemos la segunda derivada de la función:

$$|f´´(x)|=|\frac{2}{x^{3}}|$$

Como estamos en un intervalo, entonces:

$$1\leq x \leq2 \Rightarrow 1 \geq \frac{1}{x}$$

Por lo que:

$$|f´´(x)|=|\frac{2}{x^{3}}|\leq|\frac{2}{1^{3}}|\leq 2 $$

Así tenemos que una cota superior es $K=2$, de manera que:

$$|E_{T}|\leq \frac{2(2-1)^{3}}{12(5)^{2}} \approx 0.06667$$

$$|E_{M}|\leq \frac{2(2-1)^{3}}{24(5)^{2}} \approx 0.00333$$

Observemos que las cotas de error se encuentran en un intervalo al resolver las desigualdades, es decir, el valor de la cota de error para el método del trapecio está en el intervalo $(-0.06667,0.06667 )$ y la cota de error para el método del punto medio está en el intervalo $(- 0.00333,0.00333 )$.

Si hacemos la integral de manera directa tenemos lo siguiente:

$$\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx=0.693147…. \tag{5}$$

Comparamos los resultados $(3)$ y $(4)$ de estos dos métodos y observamos que en los dos métodos se aproximan al valor de la integral definida $(5)$ incluso para $n$ pequeñas, para $n$ mucho más grandes se espera que se aproximen mejor al valor de la integral definida.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

  1. ¿Para que valor de n se deben tomar a fin de garantizar que la aproximación de la regla del punto medio para $\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx$ sean exactas hasta dentro de 0.001?
  2. ¿Para que valor de n se deben tomar a fin de garantizar que la aproximación de la regla del trapecio para $\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx$ sean menor que $10^{-4}$?
  3. Utilice la regla del punto medio con n =4 para estimar $\int_{1}^{2}x^{2}dx$
  4. Utilice la regla del trapecio con n =4 para estimar $\int_{1}^{2}x^{2}dx$
  5. De una cota superior para aproximar la siguiente integral $\int_{1}^{2}e^{x^{2}}dx$

Más adelante…

En esta sección vimos dos métodos de aproximación numérica para las integrales que son el método del punto medio y el método del trapecio, el cual vimos que se pueden aproximar a la integral que deseemos, pero para lograr una mejor aproximación, en general, se utiliza lenguajes de programación como Python, C++, R, o software especializados como Mathematica o MatLab para mejorar la precisión de estos métodos facilitando el trabajo y obteniendo una aproximación que se quiera, siempre y cuando su computador lo permita. En el siguiente entrada veremos otro método de aproximación numérica llamado el método de la regla de Simpson.

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