Archivo de la etiqueta: límite de una función

Cálculo Diferencial e Integral I: Definición formal de límite de una función

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

Anteriormente revisamos una definición intuitiva del límite con la finalidad de facilitar la comprensión de la definición formal. En esta entrada se dará la definición formal así como algunos ejemplos para que el concepto sea comprendido en su totalidad.

Definición formal de límite

Retomemos la idea intuitiva a la que llegamos al final de la entrada anterior: Logramos que $f$ se aproxime arbitrariamente ($\epsilon$) a $L$ siempre que logremos que $x$ esté lo suficientemente cerca ($\delta$) de $x_0$ sin ser $x_0$.

Observación. Notemos que la última parte la podemos expresar como $0<|x-x_0|< \delta$, pues al pedir que la distancia entre $x$ y $x_0$ sea mayor que $0$ se captura la idea de que $x \neq x_0$. Sin más preámbulos daremos la definición.

Definición. Decimos que $f$ tiende hacia el límite $L$ en $x_0$ si para todo $\epsilon > 0$ existe algún $\delta > 0$ tal que, para todo $x$, si $0<|x-x_0|< \delta$, entonces $|f(x)-L|< \epsilon$.

A continuación tenemos una imagen que nos permitirá visualizar la definición:

En la imagen podemos ver que si definimos un valor arbitrario $\epsilon >0$, entonces lo que buscamos es un valor positivo $\delta$, tal que si $x$ está a una distancia menor de $\delta$ con respecto a $x_0$, entonces eso implique que $f(x)$ esté a una distancia menor de $\epsilon$ con respecto a $L$.


A continuación revisaremos un ejemplo sencillo aplicando la definición.

Ejemplo. Demuestra que $$\lim_{x \to -1} \frac{x^2-5x-6}{x+1} = -7$$

Demostración.
Sea $\epsilon >0$. Notemos lo siguiente

\begin{align*}
\left\lvert \frac{x^2-5x-6}{x+1} – (-7) \right\rvert = & \left\lvert \frac{x^2-5x-6}{x+1} +7 \right\rvert \\ \\
= & \left\lvert \frac{x^2-5x-6+7x+7}{x+1} \right\rvert \\ \\
= & \left\lvert \frac{x^2+2x+1}{x+1} \right\rvert \\ \\
= & \left\lvert \frac{(x+1)^2}{x+1} \right\rvert \\ \\
= & \left\lvert x+1 \right\rvert
\end{align*}
Tomemos entonces $\delta = \epsilon$. Si $0<|x- (-1) | = |x+1 |< \delta$, entonces
$$\left\lvert \frac{x^2-5x-6}{x+1} – (-7) \right\rvert = \left\lvert x+1 \right\rvert < \delta = \epsilon$$
$$\Rightarrow \left\lvert \frac{x^2-5x-6}{x+1} – (-7) \right\rvert < \epsilon$$
$$\therefore \lim_{x \to -1} \frac{x^2-5x-6}{x+1} = -7$$

$\square$

Hagamos algunos comentarios respecto a la demostración. Como primer paso, establecimos un valor arbitrario positivo para $\epsilon$. Después hicimos algunas manipulaciones algebraicas que nos permitieron simplificar las expresión original en una más simple con la cual logramos encontrar el valor de $\delta$ que sería útil, en este caso, ese valor fue justamente el mismo que $\epsilon$.

Revisemos un segundo ejemplo.

Ejemplo. Sea $f(x) = \frac{3x+1}{2x}$, entonces $$\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{7}{4}$$

Demostración.

Sea $\epsilon > 0$. Veamos que

\begin{align*}
\left\lvert f(x) – \frac{7}{4}\right\rvert = & \left\lvert \frac{3x+1}{2x} – \frac{7}{4} \right\rvert \\ \\
= & \left\lvert \frac{6x+2-7x}{4x} \right\rvert \\ \\
= & \left\lvert \frac{2-x}{4x} \right\rvert \\ \\
= & \frac{|2-x|}{|4x|} \\ \\
= & \frac{|x-2|}{|4x|} \\ \\
= & \frac{1}{|4x|} \cdot |x-2|
\end{align*}
\begin{align*}
\therefore \left\lvert f(x) – \frac{7}{4}\right\rvert = \frac{1}{|4x|} \cdot |x-2| \tag{1}
\end{align*}

Buscamos entonces acotar la expresión $(1)$, para ello podemos ver lo siguiente, si $|x-2| < 1$, entonces

\begin{gather*}
|2|-|x| \leq |x-2| < 1 \\
\Rightarrow |2|-|x| < 1 \\
\Rightarrow 2-1 < |x| \\
\Rightarrow 1 < |x| \\
\Rightarrow 1 >\frac{1}{|x|} \\
\Rightarrow \frac{1}{4} >\frac{1}{4|x|} = \frac{1}{|4x|} \\
\therefore \frac{1}{|4x|} < \frac{1}{4} \tag{2}
\end{gather*}

Entonces si $|x-2| < 1$, por (1) y (2), tenemos lo siguiente
\begin{align*}
\left\lvert f(x) – \frac{7}{4}\right\rvert = & \frac{1}{|4x|} \cdot |x-2| \\ \\
< & \frac{1}{4} \cdot |x-2|\\
\end{align*}

Previamente acotamos $|x-2|$ por el valor $1$, pero de la última expresión se sigue que deberemos acotarlo también por $4 \epsilon$ para llegar a nuestro objetivo, tomemos así $\delta = min\{1, 4 \epsilon\}$.


Si $0<|x- 2| \leq \delta$ (es decir, si $|x- 2| \leq 1$ y $|x- 2| \leq 4\epsilon$), entonces
$$\left\lvert f(x) – \frac{7}{4}\right\rvert < \frac{1}{4} |x-2| \leq \frac{1}{4} \cdot 4\epsilon $$
$$ \therefore \left\lvert f(x) – \frac{7}{4}\right\rvert < \epsilon$$

$\square$

Nuevamente haremos énfasis en los pasos generales de la demostración. Iniciamos dando un valor de $\epsilon$ arbitrario, y la tarea es encontrar el valor $\delta >0$ que acote la distancia entre $x$ y $x_0 = 2$ de tal manera que aproximemos la función $f$ a $L$ lo suficiente para que su distancia sea menor que $\epsilon$.

Trabajemos ahora sobre el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Para todo $x_0 \in \mathbb{R}$ se tiene que $$\lim_{x \to x_0} x^2 = x_0^2$$

Demostración.

Sea $\epsilon > 0$ y $x_0 \in \mathbb{R}$. Notemos que

$|x^2 – x_0^2| = |x-x_0||x+x_0|$

Haciendo uso de la misma manipulación que en el ejemplo anterior, podemos ver que si $|x-x_0| < 1$, entonces

$|x|-|x_0| \leq |x-x_0| < 1 \quad \Rightarrow \quad |x| < 1 + |x_0|$

Además,
\begin{align*}
|x + x_0| \leq & |x|+ |x_0| \\
< & 1 + |x_0|+|x_0| \text{, pues} \quad |x| < 1 + |x_0| \\
= & 1 + 2|x_0|
\end{align*}


$ \therefore |x + x_0| < 1 + 2|x_0|$

En esta ocasión queremos que $|x-x_0| < 1$ y, por la última expresión, también queremos que $|x-x_0| <\frac{\epsilon}{1+2|x_0|}$, definimos así $\delta = min \{ 1, \frac{\epsilon}{1+2|x_0|} \}$. Si $0 < |x-x_0| < \delta$, entonces

\begin{align*}
|x^2-x_0^2| = & |x-x_0||x+x_0| \\ \\
< & |x-x_0|(1+2|x_0|) \\ \\
< & \delta (1+2|x_0|) \\ \\
\leq & \frac{\epsilon}{1+2|x_0|} \cdot (1+2|x_0|) = \epsilon
\end{align*}


$\therefore |x^2-x_0^2| < \epsilon$


$$\lim_{x \to x_0} x^2 = x_0^2$$

$\square$

Unicidad del límite de una función

Después de haber revisado estos ejemplos, la definición de límite de una función (también llamada definición $\epsilon-\delta$), estamos listos para revisar la primera propiedad del límite.

Proposición. El límite de una función en $x_0$ es único, es decir, si $f$ tiende a $L$ en $x_0$ y $f$ tiende a $L’$ en $x_0$, entonces $L = L’$.


Demostración.
Sea $\epsilon > 0$. Como $f$ tiende a $L$ y $L’$ en $x_0$, entonces para $\frac{\epsilon}{2} > 0$ existen $\delta_1$ y $\delta_2$ tales que

\begin{gather*}
\text{Si } 0<|x-a|<\delta_1 \quad \Rightarrow \quad |f(x)-L| < \frac{\epsilon}{2} \\
\text{Si } 0<|x-a|<\delta_2 \quad \Rightarrow \quad |f(x)-L’| < \frac{\epsilon}{2} \\
\end{gather*}

Consideremos ahora $\delta = min\{\delta_1, \delta_2 \}$. Entonces si $0<|x-x_0|<\delta$ y, por la desigualdad del triángulo, esto implica que

\begin{align*}
|L-L’| \leq & |L-f(x)|+|L’-f(x)|
< & \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}
= & \epsilon
\end{align*}

$\therefore |L-L’| < \epsilon$


Como $\epsilon$ es un valor arbitrario positivo, podemos concluir que $L-L’ = 0$, es decir, $L=L’$

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

Usando la definición $\epsilon-\delta$, demuestra lo siguiente:

  • $$\lim_{x \to x_0} c = c$$
  • $$\lim_{x \to x_0} x = x_0$$
  • $$\lim_{x \to 5} \frac{1}{x} = \frac{1}{5}$$
  • $$\lim_{x \to -2c} (2c-3x) = 8c$$
  • $$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{|x|} = 0 $$

Más adelante…

En la siguiente entrada revisaremos con detalle varias propiedades que tienen los límites para lo cual haremos uso de una bella relación existente entre el límite de una sucesión y el de una función. Una vez revisadas estas propiedades, el cálculo de los límites se hará considerablemente más simple.

Entradas relacionadas

Cálculo Diferencial e Integral I: Definición intuitiva de límite de una función

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

La definición de límite de una función suele ser uno de los conceptos más retadores dentro del cálculo y es por ello que, antes de entrar a su análisis formal, queremos dar una introducción con la finalidad de desarrollar la intuición necesaria para lograr el dominio de esta definición.

Idea intuitiva de límite de una función

Consideremos la función $f(x) = 5x$.

Supongamos que en este caso $x_0 = 7$ y, por tanto, $L = f(x_0) = 35$. Sabemos que $f(x)$ se aproxima a $35$ mientras más cerca estemos de $7$.

¿Podemos encontrar un valor de $x$ lo suficientemente cercano a $7$, sin ser $7$, tal que $f(x)$ esté a una distancia menor de $11$ del $35$, es decir, $|f(x) – 35| < 11$?

Sí. Si consideramos $x = 5$, entonces $f(5) = 25$ y $|f(5) – 35| = |25 – 35| = 10 < 11$

¿Podemos encontrar un valor de $x$ lo suficientemente cercano a $7$, sin ser $7$, tal que $f(x)$ esté a una distancia menor de $7$ del $35$, es decir, $|f(x) – 35| < 7$?

Nuevamente la respuesta es sí, y podemos considerar $x=8$. De esta forma $|f(8) – 35| = |40 – 35| = 5 < 7$.

Hasta este momento se han encontrado valores puntuales que nos permiten aproximarnos a $35$ mediante $f$, pero para nuestro estudio requerimos más que solo un punto, buscamos más bien un intervalo de $x$, específicamente un intervalo de $x$ al rededor de $x_0$, que en este caso es $7$. A partir de ahora nos enfocaremos en encontrar dicho intervalo.

¿Qué pasa si ahora queremos encontrar un intervalo de $x$ al rededor de $7$ para tener una distancia menor a $\frac{1}{1000}$ en nuestra aproximación, es decir, $|f(x) – 35| < \frac{1}{1000}$?

Un poco menos inmediato, pero definitivamente podemos resolver el problema. Buscamos lo siguiente:

\begin{gather*}
|f(x) – 35| < \frac{1}{1000} \\
\Rightarrow |5x – 35|< \frac{1}{1000} \\
\Rightarrow |x – 7| < \frac{1}{5000} \text{, al dividir entre } 5
\end{gather*}

Lo que indica que para que $f(x)$ esté a una distancia menor $\frac{1}{1000}$ de $35$, entonces $x$ debe estar a una distancia menor de $\frac{1}{5000}$ respecto al $7$. Después de este último ejercicio, parece que podemos aproximarnos arbitrariamente a $35$ y a este valor arbitrario le llamaremos $\epsilon$, el cual puede ser cualquier número positivo. Haciendo las cuentas de forma análoga para una distancia $\epsilon > 0$, llegamos a la siguiente expresión:

$$|x – 7| < \frac{\epsilon}{5}.$$

Es decir, para aproximar arbitrariamente ($\epsilon$) $f(x)$ al valor $35$, $x$ debe estar a una distancia menor de $\frac{\epsilon}{5}$ del valor de $7$.

Generalizando un poco la idea construida a través de este ejemplo obtenemos la siguiente definición intuitiva.

Definición intuitiva. Decimos que la función $f$ se aproxima al límite $L$ cerca de $x_0$ si $f(x)$ se aproxima arbitrariamente a $L$ si $x$ está lo suficientemente de $x_0$ pero es distinto de $x_0$.

Después de esta definición intuitiva, veamos otro ejemplo y tratemos de usarla.

Consideremos ahora la función $f(x) = x^2$.

Veremos que $f(x)$ se aproxima al límite $16$ cerca de $4$. En esta ocasión queremos que $f$ esté más próximo que $\epsilon$ a $16$, es decir, queremos que

\begin{gather*}
|f(x) – 16| < \epsilon \\
|x^2 – 16| < \epsilon \\
|(x-4)(x+4)| < \epsilon \\
|x-4||x+4| < \epsilon
\end{gather*}

A diferencia del caso anterior, parece que no es tan directo llegar a nuestro objetivo, pero notemos que particularmente podemos pedir que $|x-4| < 1$, entonces

\begin{gather*}
-1< x-4 < 1 \\
\Rightarrow 3 < x < 5 \\
\Rightarrow 7 < x+4<9
\end{gather*}

En resumen, si $|x-4|<1$, entonces $|x+4| < 9$. Lo cual implica que
$$|x^2 – 16| = |x-4||x+4| < 9|x-4|$$
Si además restringimos la distancia de $x$ respecto a $4$ de tal manera que $|x-4| < \frac{\epsilon}{9}$ y retomando la expresión anterior llegamos a lo siguiente:

\begin{gather*}
|x^2 – 16| = |x-4||x+4| < 9|x-4| < 9 \cdot \frac{\epsilon}{9} = \epsilon \\
\therefore |x^2 – 16| < \epsilon
\end{gather*}

Esto siempre que $|x-4|$ sea menor que $1$ y $\frac{\epsilon}{9}$, es decir, siempre que $|x-4| < min\{1, \frac{\epsilon}{9} \}$.


De los dos ejemplos revisados en esta entrada, podemos notar que logramos que $f$ se aproxime arbitrariamente ($\epsilon$) a $L$ siempre que logremos que $x$ esté lo suficientemente cerca de $x_0$ y para lograr esto último acotamos $x-x_0$ en términos de un valor positivo que depende de $\epsilon$ (para el primer ejemplo fue $\frac{\epsilon}{5}$ y para el segundo $min\{1, \frac{\epsilon}{9} \}$), vale la pena entonces darle un nombre a este valor positivo: $\delta$.

Refraseando: Logramos que $f$ se aproxime arbitrariamente ($\epsilon$) a $L$ siempre que logremos que $x$ esté lo suficientemente cerca ($\delta$) de $x_0$.

Este último refraseo nos da un indicio muy importante, para probar que $f$ se aproxima arbitrariamente a $L$ en $x_0$, habrá que dar un valor arbitrario positivo $\epsilon > 0$ para el cual necesitaremos encontrar otro valor positivo $\delta > 0$ que acote a $x$ al rededor de $x_0$, es decir, $|x-x_0|<\delta$ y que si $x$ cumple tal condición, entonces también se tenga que $|f(x)-L| < \epsilon$. Adicionalmente pedíamos que $x \neq x_0$, tal condición puede ser compactada de la siguiente forma $0 < |x-x_0| < \delta$, pues que la distancia entre $x$ y $x_0$ sea mayor que cero implica directamente que son distintos.

Antes de finalizar con esta entrada es conveniente aclarar que no siempre tendremos funciones tan amigables en las cuales podamos evaluar directamente el valor de $x_0$ en $f$ para encontrar $L$ e incluso habrá ocasiones en las cuales no nos podamos aproximar de la manera en la que lo hicimos en estos ejemplos, pero por ahora no daremos muchos detalles extra al respecto, será tema para entradas posteriores.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

Para corroborar que la idea intuitiva de límite de una función se ha comprendido, se queda como ejercicio realizar un análisis similar al expuesto en esta entrada. Consideremos la función $f(x) = \frac{1}{x}$ definida para todo $x \neq 0$. En este caso, tomaremos $x_0=1$ y $L = f(x_0) = \frac{1}{1} =1$.

  • Grafica $f(x)$ para $x >0$.
  • Encuentra un valor de $x$ tal que $|f(x)-1| < \frac{1}{2}$.
  • Encuentra un valor de $x$ tal que $|f(x)-1| < \frac{1}{10}$.
  • Encuentra un intervalo de $x$ al rededor de $x_0 = 1$ tal que $|f(x)-1| < \frac{1}{100}$.
  • Encuentra un intervalo de $x$ al rededor de $x_0 = 1$ tal que $|f(x)-1| < \epsilon$, con $\epsilon > 0$.

Más adelante…

En la siguiente entrada daremos la definición formal de límite de una función y veremos varios ejemplos de funciones cuyo límite existe. Una vez dominemos la definición podremos incursionar en varias de sus propiedades y podremos tomar ventaja de estos conocimientos para tener una mayor comprensión sobre el comportamiento de diversas funciones de interés.

Entradas relacionadas