Introducción
En la entrada anterior establecimos una versión general del Teorema Integral de Cauchy, la cual nos es de mucha utilidad al resolver problemas relacionados con el cálculo de integrales.
En esta entrada veremos algunos resultados importantes que relacionan a las series de funciones y los conceptos de integral y derivada de las mismas, en particular probaremos bajo qué condiciones es posible integrar y derivar término a término a este tipo de series. Más aún, veremos que toda serie de potencias define a una función analítica en su disco de convergencia.
Proposición 39.1.(Weierstrass sobre integración término a término.)
Sean $D\subset\mathbb{C}$ un dominio, $\gamma$ un contorno en $D$ y $\{f_n:D\to\mathbb{C}\}_{n\geq 0}$ una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente a una función $f:D \to \mathbb{C}$ en $D$. Entonces:
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty} \int_{\gamma} f_n(z) dz = \int_{\gamma} f(z) dz = \int_{\gamma} \lim_{n\to\infty} f_n(z) dz.
\end{equation*}
En particular:
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{\infty} \int_{\gamma} f_n(z) dz = \int_{\gamma} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(z) dz.
\end{equation*}
Demostración. Dadas las hipótesis, por la proposición 28.1 tenemos que $f$ es una función continua en $D$, por lo que $\int_\gamma f(z) dz$ existe.
Por la definición de convergencia uniforme, dado $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que si $n\geq N$, se cumple que:
\begin{equation*}
|f_n(z) – f(z)|<\frac{\varepsilon}{1+\ell(\gamma)}, \quad \forall z\in D.
\end{equation*}
Entonces, si $n\geq N$, por las proposiciones 34.2(1) y 34.3(5), tenemos que:
\begin{align*}
\left|\int_{\gamma} f_n(z) dz – \int_{\gamma} f(z) dz\right| & = \left|\int_{\gamma} \left[f_n(z)-f(z)\right] dz\right|\\
& \leq \int_{\gamma} \left|f(z)-f_n(z)\right| \, |dz|\\
& < \frac{\varepsilon}{1+\ell(\gamma)} \ell(\gamma)\\
& < \varepsilon.
\end{align*}
Como $\varepsilon>0$ es arbitrario, entonces:
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty} \int_{\gamma} f_n(z) dz = \int_{\gamma} f(z) dz = \int_{\gamma} \lim_{n\to\infty} f_n(z) dz.
\end{equation*}
La última parte se sigue de aplicar la primera parte del resultado a la sucesión de sumas parciales de la serie, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.
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Definición 39.1. (Convergencia uniformemente compacta.)
Una sucesión de funciones $\{f_n\}_{n\geq 0}$ definidas en un conjunto abierto $U\subset\mathbb{C}$ se dice que converge uniformemente en compactos o que converge compactamente en $U$ si para cada subconjunto compacto $K\subset U$ la sucesión de restricciones $\{f_n:K\to\mathbb{C}\}_{n\geq 0}$ converge uniformemente a la restricción $f:K\to\mathbb{C}$.
Lema 39.1.
Sea $\{f_n\}_{n\geq 0}$ una sucesión de funciones definidas en un conjunto abierto $U\subset\mathbb{C}$. La sucesión converge compactamente en $U$ si y solo si converge uniformemente en cada disco cerrado contenido en $U$.
Demostración. Se deja como ejercicio al lector.
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Teorema 39.1. (Weierstrass sobre la convergencia analítica.)
Sea $\{f_n\}_{n\geq 0}$ una sucesión de funciones analíticas definidas en un dominio $D\subset\mathbb{C}$ y $f:D \to \mathbb{C}$ una función. Si $f_n \to f$ uniformemente en todo subconjunto compacto de $D$, entonces $f$ es analítica en $D$. Más aún, para cada $k\in\mathbb{N}$ se cumple que $f_n^{(k)} \to f^{(k)}$ uniformemente en cada subconjunto compacto de $D$.
Demostración. Dadas las hipótesis, sea $\gamma$ un contorno cerrado en $D$. Como cada función $f_n$ es analítica en $D$, en particular es continua en $D$, proposición 16.1, y dado que $f_n \to f$ uniformemente en todo subconjunto compacto de $D$, por la proposición 28.1 tenemos que $f$ es continua en todo subconjunto compacto de $D$, entonces de la proposición 10.12 se sigue que $f$ es continua en $D$.
Por el teorema de la curva de Jordan, teorema 36.1, sabemos que los puntos en $\gamma$ y su interior forman un conjunto cerrado y acotado $S$, es decir, compacto, proposición 10.7.
Entonces, por la definición de convergencia uniforme, dado $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que si $n\geq N$, se cumple que:
\begin{equation*}
|f_n(z) – f(z)|<\varepsilon, \quad \forall z\in \gamma.
\end{equation*}
Como para todo $n\geq 0$ la función $f_n$ es analítica en $D$, entonces, por la proposición 34.3(5), el teorema de integral de Cauchy y la desigualdad del triángulo, tenemos que:
\begin{align*}
\left|\int_{\gamma} f(z) dz\right| & = \left|\int_{\gamma} \left[f(z)-f_n(z) + f_n(z)\right] dz\right|\\
& \leq \left|\int_{\gamma} \left[f(z)-f_n(z) \right] dz\right| + \left|\int_{\gamma} f_n(z) dz\right|\\
& = \left|\int_{\gamma} \left[f(z)-f_n(z) \right] dz\right|\\
& \leq \int_{\gamma} \left|f(z)-f_n(z)\right| \, |dz|\\
& < \varepsilon \cdot \ell(\gamma).
\end{align*}
Como $\varepsilon>0$ es arbitrario, entonces:
\begin{equation*}
\left|\int_{\gamma} f(z) dz\right| = 0 \quad \Longrightarrow \quad \int_{\gamma} f(z) dz = 0,
\end{equation*}y dado que $\gamma$ es un contorno cerrado arbitrario en $D$, el resultado se cumple para todo contorno cerrado $\gamma$ en $D$. Entonces, por el teorema de Morera tenemos que $f$ es una función analítica en $D$.
De acuerdo con el lema 39.1, solo basta con verificar el resultado para discos cerrados contenidos en $D$. Sean $z_0\in D$ fijo, $r>0$ tal que $\overline{B}(z_0,r) \subset D$ y parametrizamos a la frontera del disco cerrado como $\gamma_r = \partial \overline{B}(z_0,r)$, orientada positivamente. Por la definición de convergencia uniforme, dado $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que si $n\geq N$, se cumple que:
\begin{equation*}
|f_n(z) – f(z)| < \frac{\varepsilon r^{k}}{k! 2^{k+1}}, \quad \forall z\in \overline{B}(z_0,r), \tag{39.1}
\end{equation*}donde $r>0$ y $k\in\mathbb{N}^{+}$.
Para $k\in\mathbb{N}^+$ fijo, por la fórmula integral de Cauchy para las derivadas de orden superior, proposición, tenemos que:
\begin{equation*}
f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i} \int_{\gamma_r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta – z)^{k+1}} d\zeta, \quad \forall z\in B(z_0,r). \tag{39.2}
\end{equation*}
Análogamente, para cada función $f_n$ tenemos que:
\begin{equation*}
f_n^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i} \int_{\gamma_r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta – z)^{k+1}} d\zeta, \quad \forall z\in B(z_0,r). \tag{39.3}
\end{equation*}
Notemos que para $z\in \overline{B}(z_0,r/2) \subset \overline{B}(z_0,r)$ se tiene por la proposición 3.3 que:
\begin{equation*}
\frac{r}{2} \leq |\zeta – z_0| – |z_0 -z| \leq |\zeta -z| \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{|\zeta -z|} \leq \frac{2}{r} \tag{39.4}.
\end{equation*}
Es claro que:
\begin{equation*}
\ell(\gamma_r) = \int_{\gamma_r} |d\zeta| =2 \pi r.
\end{equation*}
Entonces, si $n\geq N$ y $z\in \overline{B}(z_0,r/2)$, por las proposiciones 34.2(1), 34.3(5) y por (39.1), (39.2), (39.3) y (39.4), se tiene que:
\begin{align*}
\left|f_n^{(k)}(z) – f^{(k)}(z)\right| & = \left|
\frac{k!}{2\pi i} \int_{\gamma_r} \frac{f_n(\zeta)}{(\zeta – z)^{k+1}} d\zeta – \frac{k!}{2\pi i} \int_{\gamma_r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta – z)^{k+1}} d\zeta \right|\\
& = \frac{k!}{2\pi} \left|\int_{\gamma_r} \frac{f_n(\zeta) – f(\zeta)}{(\zeta – z)^{k+1}} d\zeta \right|\\
& \leq \frac{k!}{2\pi} \int_{\gamma_r}\left| \frac{f_n(\zeta) – f(\zeta)}{(\zeta – z)^{k+1}} \right| \, |d\zeta| \\
& = \frac{k!}{2\pi} \int_{\gamma_r} \frac{\left|f_n(\zeta) – f(\zeta)\right|}{\left|\zeta – z\right|^{k+1}} \, |d\zeta| \\
& \leq \frac{k!}{2\pi} \frac{2^{k+1}}{r^{k+1}} \frac{\varepsilon r^{k}}{k! 2^{k+1}} \int_{\gamma_r} |d\zeta|\\
& = \varepsilon,
\end{align*}como $z\in \overline{B}(z_0,r/2)$ y $r>0$ son arbitrarios, entonces $f_n^{(k)} \to f^{(k)}$ uniformemente en cualquier disco cerrado contenido en $D$, por lo que del lema 39.1 se sigue el resultado.
$\blacksquare$
Corolario 39.1.
Sean $z_0\in\mathbb{C}$ fijo y $f:B(z_0, R) \to \mathbb{C}$ una función dada por la serie de potencias:
\begin{equation*}
f(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n,
\end{equation*}con radio de convergencia $R>0$. Entonces $f$ es analítica en $B(z_0, R)$.
Demostración. Dadas las hipótesis, por la proposición 29.2 tenemos que la serie de potencias converge uniformemente a $f$ en todo subdisco cerrado $\overline{B}(z_0,r)$, con $r<R$, por lo que, del teorema 39.1 se sigue que $f$ es analítica en $B(z_0, R)$.
$\blacksquare$
Teorema 39.2. (Weierstrass sobre derivación término a término.)
Sea $\{f_n\}_{n\geq 0}$ una sucesión de funciones analíticas definidas en un dominio $D\subset\mathbb{C}$ y sea $f(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(z)$. Si la serie converge uniformemente a $f$ en cada disco cerrado contenido en $D$, definición 28.6, entonces $f$ es analítica en $D$ y puede derivarse término a término, es decir:
\begin{equation*}
f^{(k)}(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n^{(k)}(z), \quad \forall z\in D,
\end{equation*}para todo $k\in\mathbb{N}^+$.
Demostración. Se deja como ejercicio al lector.
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Observación 39.1.
Notemos que los resultados anteriores no suponen la convergencia uniforme en todo el dominio $D$, es decir, la convergencia uniforme es únicamente en los subconjuntos compactos de $D$ o equivalentemente, lema 39.1, en los subdiscos cerrados en $D$.
Ejemplo 39.1.
Sea $D = \{z\in\mathbb{C} : |z|<1\}$. Consideremos a la serie:
\begin{equation*}
f(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n}, \quad \forall \, z\in D.
\end{equation*}
No es difícil verificar que dicha serie converge puntualmente en $D$ y uniformemente en los discos cerrados $\overline{B}(0,r)$, para $0\leq r <1$, ejercicio 1. Por lo que converge uniformemente en todos los discos cerrados en $A$, entonces por los teoremas 39.1 y 39.2 concluimos que $f$ es analítica en $D$ y que su derivada $f'(z) = \displaystyle \sum_{n=1} z^{n-1}$ también converge en $D$. Sin embargo, se tiene convergencia puntual y no uniforme en $D$.
Ejemplo 39.2. (Derivación término a término.)
Consideremos a la serie geométrica $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty z^n$. De acuerdo con el ejemplo 28.8 sabemos que dicha serie converge uniformemente en todo disco cerrado $\overline{B}(0,r)$, con $0<r<1$, en tal caso:
\begin{equation*}
\displaystyle\sum_{n=0}^\infty z^n = \dfrac{1}{1-z}. \tag{39.5}
\end{equation*}
Es claro que la función $f_n(z) = z^n$ es entera para todo $n\in\mathbb{N}$, en particular es analítica en $\overline{B}(0,r)$. Por lo que, podemos utilizar el teorema 39.2 para derivar a la serie geométrica término a término.
Derivando el lado derecho de la igualdad (39.5) tenemos:
\begin{equation*}
\frac{d}{dz} \frac{1}{1-z} = \frac{1}{(1-z)^2}.
\end{equation*}
Por otra parte, derivando el lado izquierdo de la igualdad (39.5), por el teorema tenemos que:
\begin{align*}
\frac{d}{dz} \left(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty z^n \right) & = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{d}{dz} z^n\\
& = 1 + 2z + 3z^2 + 4z^3 + \cdots\\
& = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+1) z^n.
\end{align*}
Entonces:
\begin{equation*}
\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+1) z^n = \frac{1}{(1-z)^2}, \quad \text{si} \,\, |z| \leq r <1.
\end{equation*}
Notemos que este mismo resultado se obtuvo en el ejemplo 27.13 de la entrada 27, sin embargo, es claro que mediante el teorema de derivación término a término fue más sencillo deducirlo.
Ejemplo 39.3. (Integración término a término.)
Continuemos trabajando con la serie geométrica $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty z^n$. Dado que dicha serie converge uniformemente en todo disco cerrado $\overline{B}(0,r)\subset B(0, 1)$ y para todo $n\in\mathbb{N}$ la función $f_n(z) = z^n$ es entera, entonces podemos considerar a dicha serie para utilizar el la proposición 39.1 para integrar término a término.
Sea $\gamma$ el segmento de recta que une a $0$ y $\zeta$ de modo que $\gamma \subset B(0,1)$, es decir, $\gamma$ es el segmento de recta $[0,\zeta]$, tal que $|\zeta|<1$. Entonces:
\begin{align*}
\int_{[0, \zeta]} \frac{1}{1-z} dz & = \sum_{n=0}^\infty \int_{[0, \zeta]} z^n \, dz \\
& = \int_{[0, \zeta]} 1 \, dz + \int_{[0, \zeta]} z \, dz + \int_{[0, \zeta]} z^2 \, dz + \cdots
\end{align*}
Notemos que el integrando del lado izquierdo de la igualdad, es decir, la función $\dfrac{1}{1-z}$, salvo una constante, corresponde con la derivada de alguna de las ramas de la función multivaluada $\operatorname{log}(1-z)$.
Dado que la rama principal $\operatorname{Log}(1-z)$ es analítica en $\mathbb{C}\setminus[1, \infty)$, ejercicio 10 de la entrada 21, entonces en particular es analítica en el disco abierto $B(0, 1)$, por lo que, al tener la condición $|z|<1$, elegimos a dicha rama.
Por otra parte, por el corolario 21.1 sabemos que para la rama principal del logaritmo se cumple que $-\operatorname{Log}(w) = \operatorname{Log}(w^{-1})$ si $w$ no está en el corte de rama de dicha función. Para nuestro caso, como $|z|<1$, entonces los valores de $z$ que consideramos no están en el corte de rama de la función $\operatorname{Log}(1-z)$, por lo que se cumple:
\begin{equation*}
-\operatorname{Log}(1-z) = \operatorname{Log}\left(\frac{1}{1-z}\right).
\end{equation*}
Considerando el TFC, proposición 35.1, tenemos que:
\begin{align*}
\int_{[0, \zeta]} \frac{1}{1-z} dz = \int_{0}^{\zeta} \frac{1}{1-z} dz & = -\operatorname{Log}(1-z)\Big|_{0}^{\zeta}\\
& = \operatorname{Log}\left(\frac{1}{1-\zeta}\right)\Bigg|_{0}^{\zeta}\\
& = \operatorname{Log}\left(\frac{1}{1-\zeta}\right) – \operatorname{Log}\left(\frac{1}{1-0}\right)\\
& = \operatorname{Log}\left(\frac{1}{1-\zeta}\right).
\end{align*}
Por otra parte, para el lado derecho de la igualdad, por el TFC, proposición 35.1, es claro que:
\begin{align*}
\sum_{n=0}^\infty \int_{[0, \zeta]} z^n \, dz & = \int_{[0, \zeta]} 1 \, dz + \int_{[0, \zeta]} z \, dz + \int_{[0, \zeta]} z^2 \, dz + \cdots\\
& = \int_{0}^{\zeta} 1 \, dz + \int_{0}^{\zeta} z \, dz + \int_{0}^{\zeta} z^2 \, dz + \cdots\\
& = \zeta + \frac{\zeta^2}{2} + \frac{\zeta^3}{3} + \cdots\\
& = \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta^n}{n}.
\end{align*}
Entonces:
\begin{equation*}
\operatorname{Log}\left(\frac{1}{1-z}\right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{n+1}}{n+1}, \quad \text{si} \,\, |z|\leq r <1.
\end{equation*}
Notemos que habíamos llegado al mismo resultado en el ejercicio 5 de la entrada 30, sin embargo, utilizando el teorema de integración término a término el procedimiento fue más sencillo.
Tarea moral
- Sea $D = \{z\in\mathbb{C} : |z|<1\}$. Considera a la serie:
\begin{equation*}
f(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n}, \quad \forall \, z\in D.
\end{equation*}Muestra que dicha serie converge puntualemente en $D$ y uniformemente en todo disco cerrado $\overline{B}(0,r)$, para $0\leq r <1$. - Completa la demostración de la proposición 39.1.
- Demuestra el lema 39.1.
- Prueba el teorema 39.2.
- Muestra que si $|z|<1$, entonces:
\begin{equation*}
\operatorname{Log}(1+z) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \dfrac{z^{n+1}}{n+1}.
\end{equation*}Hint: Considera el contorno $\gamma$ dado por el segmento de recta $[0, \zeta]$ con $|\zeta|<1$ y utiliza la proposición 39.1. - Muestra que la sucesión de funciones $\{f_n\}_{n\geq 1}$, dada por:
\begin{equation*}
f_n(z)=\frac{z^{n+1}}{n(n+1)}, \quad \forall n\in\mathbb{N}^+,
\end{equation*}converge uniformemente en el disco abierto $B(0,1)$, pero que la sucesión de derivadas:
\begin{equation*}
f_n^{(2)}(z)=z^{n-1}, \quad \forall n\in\mathbb{N}^+,
\end{equation*}no converge uniformemente en dicho disco. - $D\subset\mathbb{C}$ un dominio, $f:D \to \mathbb{C}$ una función y $\{f_n\}_{n\geq 0}$ una sucesión de funciones continuas definidas en $D$, tales que:
\begin{equation*}
\int_{\gamma} f_n(z) dz =0, \quad \forall n\in\mathbb{N},
\end{equation*}para todo contorno cerrado $\gamma$ en $D$. Si $f_n \to f$ converge uniformemente en $D$, muestra que $f$ es analítica en $D$. - Sean $D\subset\mathbb{C}$ un dominio, $f:D \to \mathbb{C}$ una función y $\{f_n\}_{n\geq 0}$ una sucesión de funciones continuas definidas en $D$, tales, que $f_n \to f$ converge uniformemente en $D$, entonces:
\begin{equation*}
\int_{\gamma} f(z) |dz| = \lim_{n\to\infty} \int_{\gamma} f_n(z) |dz|,
\end{equation*}para todo contorno $\gamma$ en $D$.
Más adelante…
En esta entrada hemos establecido algunos resultados importantes sobre las series de funciones y los conceptos de convergencia uniforme, integración y diferenciación, en particular vimos bajo qué condiciones posible integrar o derivar término a término este tipo de funciones.
En la siguiente entrada definiremos dos tipos de funciones complejas muy particulares, las funciones conjugadas armónicas y las funciones conformes, las cuales están relacionadas con algunos de los conceptos de esta entrada y que nos serán de utilidad para construir funciones analíticas. Dichas funciones nos permitirán caracterizar aún más la geometría de las funciones complejas.
Entradas relacionadas
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- Entrada anterior del curso: Teorema integral de Cauchy versión homótopica.
- Siguiente entrada del curso: Funciones conjugadas armónicas y funciones conformes.