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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Sistemas gradiente

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior consideramos nuevamente el sistema de ecuaciones que modelaba el movimiento de un péndulo, en este caso con fricción, de la forma $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & y \\ \dot{y} & = & -\sin{x}-y \end{array}$$ y analizamos las diferencias que existen entre este sistema y el que modela al péndulo simple (sin fricción), entre ellas que el nuevo sistema ya no es hamiltoniano. Sin embargo, la función hamiltoniana $H(x,y)=\frac{1}{2}y^{2}-\cos{x}+1$ que define al sistema del péndulo simple fue útil para esbozar el plano fase del sistema con fricción.

Lo anterior nos motivó a estudiar a un conjunto de funciones que compartieran las mismas propiedades de $H$, en función de los sistemas de ecuaciones y sus puntos de equilibrio. A dichas funciones $L$ las llamamos funciones de Lyapunov. Estudiamos sus propiedades y establecimos el teorema de estabilidad de Lyapunov que nos indica la estabilidad de puntos de equilibrio cuando el sistema admite una función de Lyapunov.

En esta entrada estudiaremos un tipo particulas de sistemas para los cuales es relativamente sencillo encontrar una función de Lyapunov, bajo ciertas hipótesis que deben cumplir los puntos de equilibrio del sistema. Tales sistemas son llamados sistemas gradiente y son de la forma $$\dot{\textbf{X}}=-\nabla{G}(\textbf{X})$$ para alguna función $G: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$, que por comodidad, la tomaremos de clase $C^{\infty}$. En términos de sistemas de dos ecuaciones, que son las hemos estado estudiando, tenemos que un sistema es gradiente si $$ \begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -\frac{\partial{G}}{\partial{x}} \\ \dot{y} & = & – \frac{\partial{G}}{\partial{y}} \end{array}$$ para alguna función $G: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$. Estudiaremos sus principales propiedades y como ya mencionamos veremos cuándo este tipo de sistemas admite una función de Lyapunov.

Sistemas gradiente

En el primer video definimos a los sistemas gradientes y estudiamos sus principales propiedades. Además, encontramos una función de Lyapunov para puntos de equilibrio que son mínimos locales estrictos para la función $G$ que define al sistema gradiente.

En el segundo video estudiamos un par de sistemas gradientes, así como su plano fase.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Sea $\dot{\textbf{X}}=-\nabla{G(\textbf{X})}$ un sistema gradiente. Prueba que $\dot{G}(\textbf{X})=0 \iff \textbf{X}$ es un punto de equilibrio del sistema.
  • Considera el sistema gradiente $\dot{\textbf{X}}=-\nabla{G(\textbf{X})}$. Demuestra que si $(x_{0},y_{0})$ es un mínimo local estricto para $G$, entonces es asintóticamente estable.
  • Demuestra que el sistema de dos ecuaciones, obtenido por la linealización de un sistema gradiente en un punto de equilibrio, tiene únicamente valores propios reales.
  • Considera el sistema de ecuaciones $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & y^{2}+2xy \\ \dot{y} & = & x^{2}+2xy \end{array}$$ que estudiamos en el primer ejemplo del segundo video. Linealiza el sistema en el origen y encuentra su estabilidad.
  • Supongamos que un sistema hamiltoniano es gradiente. Prueba que entonces la función hamiltoniana $H$ es armónica, es decir, se satisface $$\frac{\partial^{2}{H}}{\partial{x}^{2}}+\frac{\partial^{2}{H}}{\partial{y}^{2}}=0.$$ ¿El recíproco es cierto?
  • Da un ejemplo de un sistema que sea hamiltoniano y gradiente a la vez.
  • Verifica que el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & x^{2}-2xy \\ \dot{y} & = & y^{2}-x^{2} \end{array}$$ es gradiente. Esboza su plano fase.
  • Considera la función $G(x,y)=x^{4}+2y^{4}$. Define un sistema gradiente con dicha función, encuentra sus puntos de equilibrio, encuentra una función de Lyapunov para el sistema (si existe) y determina la estabilidad de los puntos de equilibrio.

Más adelante

En la siguiente entrada estudiaremos un poco de bifurcaciones en sistemas de dos ecuaciones de primer orden. Es decir, estudiaremos familias de sistemas de primer orden que varían respecto a un parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$. Estudiaremos primero familias de sistemas lineales, y posteriormente analizaremos un par de sistemas no lineales, cuyas bifurcaciones son comunes en dicha área de las ecuaciones diferenciales.

¡Hasta la próxima!

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Funciones de Lyapunov

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior definimos a los sistemas hamiltonianos, que son aquellos que tienen la forma $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & \frac{\partial{H}}{\partial{y}} \\ \dot{y} & = & -\frac{\partial{H}}{\partial{x}} \end{array}$$ para cierta función $H:\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ que llamamos función hamiltoniana. Vimos sus principales propiedades, una de las cuales nos dice que las curvas de nivel de $H$ coinciden con las curvas solución del sistema de ecuaciones. Así, estudiar el plano fase y la estabilidad de los puntos de equilibrio para este tipo de sistemas es bastante sencillo. Lamentablemente no todos los sistemas son hamiltonianos, y por lo tanto no es posible encontrar una función $H$ que sea una cantidad conservada para el sistema.

Comenzaremos estudiando el sistema de ecuaciones que modela el movimiento pendular con fricción. A diferencia del péndulo simple que no tiene fricción, este nuevo sistema no es hamiltoniano. Sin embargo, con ayuda de la función hamiltoniana que define al sistema del péndulo simple, podremos hacer un buen esbozo del plano fase. Esto ocurrirá ya que la derivada de $H$ respecto al tiempo satisface $$\dot{H}(x(t),y(t))\leq 0$$ para cualquier solución $(x(t),y(t))$ del sistema. Esto significa que las curvas solución al sistema recorren las curvas de nivel de $H$ de valores mayores a menores.

Con el análisis realizado para el sistema del péndulo con fricción, lo siguiente que haremos será estudiar un tipo de funciones que comparten las propiedades que satisface la función $H$ antes mencionada, y que llamaremos funciones de Lyapunov. Definiremos formalmente a dichas funciones y veremos sus principales propiedades, entre ellas el teorema de estabilidad de Lyapunov que nos dice que si existe una función de Lyapunov $L:U \rightarrow \mathbb{R}$ definida en una vecindad $U$ de un punto de equilibrio para un sistema de ecuaciones, entonces el punto de equilibrio es estable. Si además $\dot{L}<0$ en $U$, excepto en el punto de equilibrio, entonces este será asintóticamente estable.

¡Vamos a comenzar!

El péndulo con fricción

Comenzamos estudiando el sistema que modela el movimiento de un péndulo con fricción. Revisamos las diferencias y similitudes que mantiene con el sistema para el péndulo simple y esbozamos su plano fase con ayuda de la función hamiltoniana que define al sistema del péndulo simple.

Funciones de Lyapunov

En el video definimos a las funciones de Lyapunov, revisamos algunas propiedades interesantes y demostramos el Teorema de estabilidad de Lyapunov. Mediante un par de ejemplos observamos cuándo aplicar este último teorema.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Esboza el plano fase del sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -xy^{4} \\ \dot{y} & = & x^{4}y. \end{array}$$ Verifica que el sistema no es hamiltoniano. Por lo tanto, existen sistemas no hamiltonianos para los cuales existen funciones que son cantidades conservadas. (Por lo dicho en el video, $L(x,y)=x^{4}+y^{4}$ es una cantidad conservada para el sistema).
  • Considera el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & y-2x \\ \dot{y} & = & 2x-y-x^{3}. \end{array}$$ Prueba que el origen es un punto de equilibrio. Demuestra que la función $L(x,y)=(x+y)^{2}+\frac{1}{2}x^{4}$ es una función de Lyapunov para el origen. Determina la estabilidad del punto de equilibrio.
  • Considera el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & y \\ \dot{y} & = & -\sin{x}-y. \end{array}$$ Prueba que los puntos de equilibrio de la forma $(m\pi,0)$ con $m$ par son asintóticamente estables, usando el último teorema del segundo video.
  • Prueba que el origen es el único punto de equilbirio para el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -xy \\ \dot{y} & = & x^{2}-y. \end{array}$$ Considera la función $L:U \rightarrow \mathbb{R}$ definida como $L(x,y)=x^{2}+y^{2}$ donde $U$ es un abierto que contiene a $(0,0)$. Prueba que $L$ es una función de Lyapunov para el punto de equilibrio. ¿Es $(0,0)$ asintóticamente estable?
  • Considera el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -2x \\ \dot{y} & = & x-y. \end{array}$$ y la función $L(x,y)=c_{1}x^{2}+c_{2}y^{2}$, $c_{1}, c_{2}$ constantes. Encuentra valores para las constantes de tal forma que $L$ sea una función de Lyapunov para el sistema.

Más adelante

En la próxima entrada definiremos un tipo particular de sistemas, los llamados sistemas gradiente. Al igual que los sistemas hamiltonianos, veremos sus principales propiedades. Además, probaremos la existencia de funciones de Lyapunov para algunos puntos de equilibrio en particular de dichos sistemas.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»