Introducción

En la unidad anterior vimos la teoría relacionada a las funciones derivables. A lo largo de esta última parte del curso, veremos una serie de aplicaciones de la derivada en distintos ámbitos. Esperamos que te parezcan interesantes los ejemplos que aquí expondremos y la relación del Cálculo en problemáticas de otras áreas. Comenzaremos con obtener la recta tangente y normal de una función en un punto dado.

¿Qué dice la geometría?

Recordemos algunos conceptos geométricos para entrar en contexto:
Decimos que una recta $T$ es tangente si toca a una curva en un sólo punto. Y que una recta $N$ es normal si es perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia.

• $T$ es la recta tangente en el punto $p$
• $N$ es la recta normal en $p$

En los cursos de geometría probablemente te encontraste con la siguiente ecuación para definir a una recta:
$$y-y_1=m(x-x_1)$$
ésta es conocida como la forma punto-pendiente.

Vemos que gráficamente estamos considerando un punto $(x_1,y_1)$ sobre la recta y decimos que un punto cualquiera $(x,y)$ se encuentra también sobre la recta si cumple la igualdad anterior.

Recordando…

A principios de la unidad pasada vimos que una función $f$ es derivable en un punto $x_0$ si existe el siguiente límite:
$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0).$$

Y que además la interpretación geométrica de dicho límite es justo la pendiente de la recta tangente a la gráfica de nuestra función $f$ en un $(x_0,f(x_0))$.
Con ayuda de este concepto y la definición vista en la sección anterior, vemos que la recta que pasa por el punto $(x_0,f(x_0))$ y que es tangente a la gráfica sería:
$$\begin{array}{rl}y-y_1& =m(x-x_1)\\ y-f(x_0)& =f^{\prime }(x_0)(x-x_0)\\ y& =f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\end{array}$$
donde $m=f^{\prime }(x_0)$ y consideramos $(x_1,y_1)=(x_0,f(x_0))$.

Definición de la recta tangente

Motivados por lo anterior tenemos la siguiente definición:
Definición (recta tangente): Sea $f$ una función derivable en un punto $x_0$. Definimos a la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(x_0,f(x_0))$ como:
$$T(x)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

Esta definición es la que estaremos usando en todos los ejercicios de esta entrada por lo que recomendamos tenerla presente. Pasaremos ahora a definir la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto $(x_0,f(x_0))$.

Definición de la recta normal

Como ya vimos que geométricamente la recta normal es perpendicular a la recta tangente, modificaremos la pendiente a la definición anterior tomando $m=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$ con $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ :
Definición (recta normal): Tomando $f$ una función derivable en un punto $x_0$. Definimos a la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto $(x_0,f(x_0))$ con la ecuación:
$$N(x)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)+f(x_0).$$

Con ambas rectas definidas pasaremos a resolver algunos ejercicios.

Ejemplo 1

Encuentra la recta tangente y normal de la función:
$$f(x)=x^3+2x^2-x+2$$
en el punto $(4,94)$.
Solución:
Comenzaremos por obtener la derivada de $f(x)$ haciendo uso de las reglas de derivación:
$$f^{\prime }(x)=3x^2+4x-1.$$

Para obtener la pendiente en el punto indicado debemos sustituir $x=4$, así:
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(4)& =3(4{)}^2+4(4)-1\\ & =48+16-1\\ & =63\end{array}$$

Ahora comenzamos sustituyendo lo anterior en la definición de recta tangente:
$$\begin{array}{rl}T(x)& =63\cdot (x-4)+94\\ & =63x-252+94\\ & =63x-158\end{array}$$
$$\therefore T(x)=63x-158.$$

Finalmente sustituyendo en la definición de la recta normal:
$$\begin{array}{rl}N(x)& =-\frac{1}{63}\cdot (x-4)+94\\ & =-\frac{x}{63}+\frac{4}{63}+94\\ & =-\frac{x}{63}+\frac{5926}{63}\end{array}$$
$$\therefore N(x)=-\frac{x}{63}+\frac{5926}{63}.$$

Ejemplo 2

Encuentra la recta tangente y normal con $x_0=2$ de la función:
$$f(x)=3x^2-5x+6.$$
Solución:
Comenzamos por sustituir $x_0=2$ para obtener el punto $p$ por donde pasarán ambas rectas:
$$\begin{array}{rl}f(2)& =3(2{)}^2-5(2)+6\\ & =12-10+6\\ & =8\end{array}$$
$$\therefore p=(2,8).$$
Ahora pasemos a obtener la pendiente derivando la función y sustituyendo $x_0=2$:
$$f^{\prime }(x)=6x-5\Rightarrow f^{\prime }(2)=6(2)-5=12-5=7.$$

Procedamos a sustituir en las definiciones para la tangente y la normal:
$$\begin{array}{rlrl}T(x)& =7(x-2)+8& N(x)& =-\frac{1}{7}(x-2)+8\\ & =7x-14+8& & =-\frac{x}{7}+\frac{2}{7}+8\\ & =7x-6& & =-\frac{x}{7}+\frac{58}{7}\end{array}$$
Así concluimos que:
$$\begin{array}{rl}T(x)& =7x-6\\ N(x)& =-\frac{x}{7}+\frac{58}{7}\end{array}$$

Ejemplo 3

Hallar la recta tangente y normal de la función:
$$f(x)=\sqrt{-x}$$
en el punto $p=(-9,3)$.
Solución:
Procederemos a derivar la función haciendo uso de la Regla de la cadena:
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\frac{1}{2}(-x{)}^{\frac{1}{2}-1}\cdot (-1)\\ & =-\frac{1}{2}(-x{)}^{-\frac{1}{2}}\\ & =-\frac{1}{2\sqrt{-x}}\end{array}$$

Obtenemos la pendiente al sustituir $x_0=-9$:
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(-9)& =-\frac{1}{2\sqrt{-(-9)}}\\ & =-\frac{1}{2\sqrt{9}}\\ & =-\frac{1}{6}\end{array}$$

Ahora hallamos la recta tangente y normal sustituyendo $f^{\prime }(-9)=-\frac{1}{6}$:
$$\begin{array}{rlrl}T(x)& =-\frac{1}{6}(x-(-9))+3& N(x)& =-\frac{1}{-\frac{1}{6}}(x-(-9))+3\\ & =-\frac{1}{6}(x+9)+3& & =6(x+9)+3\\ & =-\frac{x}{6}-\frac{3}{2}+3& & =6x+54+3\\ & =-\frac{x}{6}+\frac{3}{2}& & =6x+57\end{array}$$

Por lo que finalmente tenemos:
$$\begin{array}{rl}T(x)& =-\frac{x}{6}+\frac{3}{2}\\ N(x)& =6x+57\end{array}$$

Más adelante

En la siguiente entrada veremos cómo encontrar máximos y mínimos de una función. Por lo tanto, definiremos dichos conceptos y probaremos algunos resultados que nos brindarán los criterios necesarios, haciendo uso de la derivada, para identificarlos.

Tarea moral

Encuentra la recta tangente y normal en cada uno de los incisos:

• $f(x)=2x^3+3x^2+4x-2$ con $x_0=2$.
• $f(x)=x^3-3x$ en $p=(2,2)$.
• $f(x)=4x^2$ en $p=(2,16)$.
• $f(x)=sen(\frac{\pi }{2}-x)$ en $p=(\frac{\pi }{3},\frac{1}{2})$.
• $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ en $p=(2,3)$.

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• Ir a: Cálculo Diferencial e Integral I
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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»