Introducción
En entradas anteriores hemos cubierto diversos métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, y hemos pasado por alto diversas hipótesis que deben cumplir las ecuaciones para que éstas tengan una solución. Es momento entonces de justificar toda la teoría realizada anteriormente mediante el Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones de primer orden, que nos garantiza la existencia de una única solución al problema de condición inicial $$\frac{dy}{dt}=f(t,y) ; \,\,\,\,\,\,\ y(t_{0})=y_{0}$$ en un intervalo $I_{h}$, bajo ciertas hipótesis que deben satisfacerse.
Primero daremos un panorama general del Teorema de existencia y unicidad, así como la estrategia general para demostrarlo. Debido a que este teorema es complejo de demostrar, necesitamos algunas herramientas extra que iremos presentando conforme las vayamos utilizando. Demostraremos primero la unicidad de la solución al problema de condición inicial y posteriormente su existencia. Finalmente demostraremos la dependencia continua del problema de condición inicial respecto a la condición inicial.
¡Vamos a comenzar!
Introducción del Teorema de Existencia y Unicidad de Picard. Ecuación integral asociada.
Enunciamos el Teorema de existencia y unicidad de Picard, debido al matemático francés Émile Picard, asociamos una ecuación integral al problema de condición inicial, analizamos la relación que guarda la solución a esta ecuación con el problema de condición inicial, y presentamos una forma equivalente de demostrar el teorema en lo que se refiere a la existencia de la solución.
Demostración de la unicidad de la solución al problema de condición inicial
En este video presentamos las herramientas para demostrar la parte de la unicidad del Teorema de existencia y unicidad de Picard. Primero presentamos a las funciones $f(t,y)$ Lipschitz continuas respecto a la segunda variable. Posteriormente demostramos dos lemas: el primero enuncia una forma equivalente de decir que una función $f$ es Lipschitz continua respecto a la segunda variable, el segundo es el Lema de Grönwall, debido al matemático sueco Thomas Grönwall, que nos da una cota superior para una función $g(t)$ continua no negativa que cumple con cierta desigualdad. Finalmente demostramos la unicidad de la solución al problema de condición inicial.
Iteraciones de Picard
Para demostrar la existencia de la solución al problema de condición inicial, o equivalentemente, a la ecuación integral asociada al problema, definimos una sucesión muy particular de funciones $\{y_{n}(t)\}_{n \in \mathbb{N}}$ cuyos elementos llamaremos iteraciones de Picard o aproximaciones sucesivas, resolvemos un ejemplo para ver cómo calcular estas iteraciones, hacemos algunas observaciones que cumple la sucesión, presentamos un par de definiciones y teoremas (que no demostraremos) para saber cuándo converge nuestra sucesión de funciones, esto para dar paso a la demostración de la existencia de la solución al problema de condición inicial.
Demostración de la existencia de la solución al problema de condición inicial
En este video demostramos la parte de la existencia de la solución al problema de condición inicial. Previamente mostramos un lema que nos permite encontrar el intervalo $I_{h}$ donde la solución existe.
Dependencia continua de la condición inicial
Concluimos esta serie de videos, mostrando la dependencia continua del problema de condición inicial, respecto a los valores de la condición inicial, utilizando el Lema de Grönwall que demostramos en el segundo video de esta entrada.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Prueba que la función $$f(t,y)=y^{\frac{2}{3}}$$ no es Lipschitz continua respecto a la segunda variable en cualquier dominio D (subconjunto abierto conexo de $\mathbb{R}^{2}$) que incluya a $y=0$.
- Resuelve el problema de valor inicial $$\frac{dy}{dt}=y^{\frac{2}{3}}; \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, y(0)=0$$ y verifica que este problema tiene más de una solución.
- ¿El problema anterior contradice el Teorema de existencia y unicidad de Picard?
- Prueba el siguiente corolario al Lema de Grönwall: si se cumplen las hipótesis del Lema de Grönwall con $C_{1}=0$, entonces $g(t)=0$ en $[t_{0}-a,t_{0}+a]$.
- Calcula las iteraciones de Picard hasta $n=2$ para el problema de condición inicial $$\frac{dy}{dt}=e^{t}+y^{2}; \,\,\,\,\,\, y(0)=0.$$ ¿Puedes encontrar una formula cerrada para caracterizar a los elementos de la sucesión? Intenta calcular más iteraciones. Con este ejemplo puedes ver que en ocasiones puede ser muy complicado calcular iteraciones para $n$ grande, y por tanto, no es sencillo encontrar la convergencia de la sucesión.
- Muestra que si la sucesión $\{y_{n}(t)\}_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformemente a una función $y(t)$ en $[a,b]$, entonces $y$ es continua en $[a,b]$.
Más adelante
Antes de finalizar el análisis a las ecuaciones de primer orden regresemos un poco al estudio de ecuaciones autónomas. Vamos a considerar ahora una familia de ecuaciones autónomas $f_{\lambda}(y)$ que dependen de un parámetro $\lambda$, y vamos a analizar lo que sucede con las soluciones de equilibrio y con las soluciones en general cuando cambia el valor del parámetro. A este tipo de problemas se les llama bifurcaciones. Con esto terminamos la primera unidad de nuestro curso de Ecuaciones diferenciales ordinarias.
Entradas relacionadas
- Ir a Ecuaciones Diferenciales I
- Entrada anterior del curso: Ecuaciones de Bernoulli y Riccati
- Siguiente entrada del curso: Introducción a las bifurcaciones
- Notas escritas relacionadas con el tema: Teorema de existencia y unicidad – Ecuación integral, funciones lipschitzianas y lema de Grönwall
- Notas escritas relacionadas con el tema: Teorema de existencia y unididad – Iterantes de Picard y convergencia
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»