Introducción

En entradas anteriores hemos platicado acerca de funciones continuas. A partir de ahí, platicamos de dos teoremas importantes para esta clase de funciones: el teorema del valor intermedio y el teorema del valor extremo. La siguiente clase de funciones que nos interesa es la de funciones diferenciables. Hablaremos de esta clase de funciones y de la derivada.

Como recordatorio, si $A\subset \mathbb{R}$ y $a$ es un punto en el interior de $A$, decimos que $f:A\to \mathbb{R}$ es diferenciable en $a$ si el límite $$\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ existe y es finito.

En ese caso, llamamos $f'(a)$ al valor de ese límite. Cuando $A$ es abierto y $f$ es diferenciable en todo punto $a$ de $A$, entonces simplemente decimos qur $f$ es diferenciable y podemos definir a la derivada $f’$ de $f$ como la función $f’:A\to \mathbb{R}$ tal que a cada punto lo manda al límite anterior.

Mencionaremos algunas propiedades básicas de funciones diferenciables y cómo se pueden usar para resolver problemas. Como en ocasiones anteriores, no hacemos mucho énfasis en la demostración de las propiedades básicas, pues se pueden encontrar en libros de texto, como el Cálculo de Spivak.

Propiedades básicas de funciones diferenciables

En la definición de diferenciabilidad, se calcula el límite $$\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$ Sin embargo, en algunas ocasiones es más sencillo calcular el límite $$\lim_{y\to x} \frac{f(x)-f(y)}{x-y}.$$ Estos dos límites son equivalentes, pues sólo difieren en el cambio de variable $y=x+h$. Dependiendo del problema que se esté estudiando, a veces conviene usar una notación u otra para simplificar las cuentas.

Como en el caso de la continuidad, la diferenciabilidad se comporta bien con las operaciones básicas.

Proposición. Si $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ y $g:(a,b)\to \mathbb{R}$ son diferenciables, entonces $f+g$, $f-g$ y $fg$ son diferenciables. Tenemos que sus derivadas son
\begin{align*}
(f+g)’=f’+g’\\
(f-g)’=f’-g’\\
(fg)’=f’g+fg’.
\end{align*} Si $g(x)\neq 0$, entonces $f/g$ también es diferenciable en $x$, con derivada $$(f/g)’=\frac{f’g-fg’}{g^2}.$$

La proposición anterior se puede probar directamente de las definiciones. Se demuestra en un curso usual de cálculo, pero es un ejercicio recomendable hacer las demostraciones de nuevo.

La tercera igualdad se llama la regla del producto y la última la regla del cociente. En la regla del producto tenemos simetría, así que no importa cuál función derivamos primero. En la regla del cociente sí importa que derivemos primero a $f$ en el numerador. Para acordarse de ello, es fácil acordarse que $g$ va «al cuadrado» y como va al cuadrado, es «más fuerte», y «no se deja derivar primero».

Las funciones diferenciables son continuas, en el sentido de la siguiente proposición.

Proposición. Si $f:A\to \mathbb{R}$ es una función diferenciable en $x$, entonces es continua en $x$.

Demostración. En efecto,
\begin{align*}
\lim_{h\to 0}& f(a+h)-f(a) \\
= &\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \cdot h\\
=&\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \cdot \lim_{h\to 0} h\\
= &f'(a)\cdot 0 = 0,
\end{align*}

de modo que $$\lim_{h\to 0}f(a+h) = f(a),$$ en otras palabras, $$\lim_{x\to a} f(x)=f(a),$$ así que $f$ es continua en $a$.

$\square$

Una propiedad más es que las funciones diferenciables alcanzan su máximo en puntos en donde la derivada se anula. Damos un esbozo de la demostración de una parte de la proposición, pero recomendamos completar con cuidado el resto de la prueba, sobre todo cuidando que al pasar términos negativos multiplicando o dividiendo, se invierta la desigualdad correctamente.

Proposición. Si $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ tiene un máximo o un mínimo en $x$, entonces $f'(x)=0$.

Sugerencia pre-demostración. Supón que $f'(x)\neq 0$. Divide en casos de acuerdo a si $f'(x)>0$ ó $f'(x)<0$. También, haz una figura que te ayude a entender lo que está sucediendo: si la derivada existe y es mayor que $0$ en un punto $x$, entonces cerca de $x$ la función se ve como si «tuviera pendiente positiva» y entonces tantito a la derecha crece y tantito a la izquierda decrece.

Esbozo de demostración. Procedemos por contradicción. Si $f'(x)=c>0$, entonces para $h>0$ suficientemente pequeño tenemos que $$\left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-c\right|<c/2,$$ de modo que $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}>c/2$, de donde $f(x+h)>f(x)+\frac{hc}{2}>f(x)$, lo que muestra que $x$ no es un máximo.

Del mismo modo, tomando $h<0$ suficientemente cercano a $0$, tenemos que $x$ no es un mínimo. Los casos en los que $f'(x)=c<0$ son parecidos.

$\square$

La proposición anterior nos permite usar la derivada para estudiar los valores extremos de una función, aunque no esté definida en un intervalo abierto. Si $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ es diferenciable en $(a,b)$ y es continua en $[a,b]$, entonces sus valores extremos forzosamente están o bien en los extremos del intervalo (en $a$ o $b$), o bien en un punto $x\in (a,b)$ en donde la derivada es $0$. Esta es la estrategia que usaremos para mostrar los teoremas de Rolle y del valor medio.

Problemas resueltos de funciones diferenciables

Veamos algunos problemas en los que podemos aplicar las propiedades anteriores de funciones diferenciables.

Problema. Supongamos que la función $xf(x)$ es diferenciable en un punto $x_0\neq 0$ y que la función $f$ es continua en $x_0$. Muestra que $f$ es diferenciable en $x_0$.

Sugerencia pre-solución. Para mostrar que la expresión es diferenciable, usa la definición de diferenciabilidad con límite $x\to x_0$. En vez de tratar de encontrar el límite del cociente directamente, cambia el problema multiplicando y dividiendo por $xx_0$.

Solución. Primero, como $xf(x)$ es diferenciable en $x_0$, tenemos que el siguiente límite existe y es finito $$A:=\lim_{x\to x_0}\frac{xf(x)-x_0f(x_0)}{x-x_0}.$$

Tenemos que mostrar que el límite $$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ existe. Para ello tomamos una $x$ suficientemente cerca de $x_0$, de modo que $x\neq 0$, y multiplicamos el numerador y denominador por $xx_0$, y luego sumamos y restamos $x_0^2f(x_0)$ en el numerador para obtener lo siguiente:

\begin{align*}
&\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} &\\
= &\frac{xx_0 f(x)-xx_0 f(x_0)}{xx_0 (x-x_0)}\\
=&\frac{xx_0 f(x)-x_0^2f(x_0)-xx_0 f(x_0)+x_0^2f(x_0)}{xx_0 (x-x_0)}\\
=&\frac{1}{x}\left(\frac{xf(x)-x_0f(x_0)}{x-x_0}\right) -\frac{f(x_0)}{x}.
\end{align*}

Tomando el límite cuando $x\to x_0$, tenemos que el primer sumando converge a $\frac{A}{x_0}$, por la diferenciabilidad de $xf(x)$ y que el segundo sumando converge a $\frac{f(x_0)}{x_0}$. De esta forma, $f$ es diferenciable en $x_0$.

$\square$

Problema. Sea $n$ un entero positivo y $a_1,\ldots, a_n$ números reales. Consideremos la función $$f(x)=a_1\sin x + a_2\sin 2x + \ldots + a_n \sin nx.$$ Muestra que si $|f(x)|\leq |\sin x|$ para todos los reales $x$, entonces $$|a_1+2a_2+\ldots+na_n|\leq 1.$$

Sugerencia pre-solución. Se puede hacer una prueba por inducción. Intenta hacerlo así. Luego, intenta modificar el problema poniendo a la expresión final del enunciado en términos de la derivada de $f$ en algún valor específico.

Solución. La derivada de $f$ es $$a_1\cos x+ 2a_2\cos 2x + \ldots + n a_n\cos nx,$$ que en $0$ es $$a_1+2a_2+\ldots+na_n,$$ que es precisamente el lado izquierdo de la desigualdad que queremos.

Por definición de derivada, tenemos que
\begin{align*}
|f'(0)|&=\lim_{x\to 0}\left|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right|\\
&=\lim_{x\to 0} \left|\frac{f(x)}{x}\right|.
\end{align*}

Por la hipótesis del problema, la última expresión dentro del límite es menor o igual a $\left|\frac{\sin x}{x}\right |$. Como el límite de $\frac{\sin x}{x}$ cuando $x \to 0$ es $1$, tenemos que $$|f'(0)|\leq 1,$$ como queríamos.

$\square$

Problema. Supongamos que $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es una función que satisface la ecuación funcional $f(x+y)=f(x)+f(y)$ para todo $x$ y $y$ en $\mathbb{R}$ y que $f$ es diferenciable en $0$. Muestra que $f$ es una función de la forma $f(x)=cx$ para $c$ un real.

Sugerencia pre-solución. Usa como paso intermedio para el problema mostrar que $f$ es diferenciable en todo real. Recuerda que una función que satisface la ecuación funcional del problema debe satisfacer que $f(x)=f(1)x$ para todo racional $x$. Esto se probaba con división por casos e inducción. Usa propiedades de funciones continuas.

Solución. Tomando $x=y=0$, tenemos que $f(0)=2f(0)$, de modo que $f(0)=0$. Mostremos que $f$ es diferenciable en todo real.

Como $f$ es diferenciable en $0$, tenemos que $$L:=\lim_{h\to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{f(h)}{h}$$ existe y es finito. Tomemos ahora cualquier real $r$. Por la ecuación funcional, tenemos que
\begin{align*}
f(r+h)-f(r)&=f(r)+f(h)-f(h)\\
&=f(r),
\end{align*}
de modo que $$\lim_{h\to 0} \frac{f(r+h)-f(r)}{h}=\lim_{h\to 0} f(h)=L.$$

Así, $f$ es diferenciable en todo real $r$. Por lo tanto, $f$ es contínua en todo real.

Anteriormente, cuando hablamos de inducción y de división por casos, vimos que una función que satisface la ecuación funcional $f(x+y)=f(x)+f(y)$ debe satisfacer que $f(x)=f(1) x$ para todo número racional $x$. Para cualquier real $r$ podemos encontrar una sucesión de racionales $\{x_n\}$ que convergen a $r$. Como $f$ es continua, tenemos que
\begin{align*}
f(r)&=\lim_{n\to \infty} f(x_n) \\
&= \lim_{n\to \infty} f(1) x_n \\
&= f(1) r.
\end{align*}

Esto muestra lo que queremos.

$\square$

Más problemas

Hay más ejemplos de problemas relacionados con la derivada en la Sección 6.3 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.