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Cálculo Diferencial e Integral II: Tangentes a curvas paramétricas

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En esta sección veremos como calcular derivadas a las ecuaciones paramétricas que vimos en la sección anterior.

Tangentes a curvas paramétricas

Las curvas paramétricas los podemos escribir como:

$$x=f(t) \space \space \space \space y \space \space \space \space y=g(t)$$

Sustituimos la expresión para $x$ en la ecuación $y=F(x)$, por lo que:

$$y=g(t)=F(f(t))$$

Si $g$, $f$, y $F$ son derivables, entonces por la regla de la cadena tenemos que:

$$g'(t)=F'(f(t))f'(t)=F'(x)f'(t)$$

Si $f'(t)\neq 0$, entonces:

$$F'(x)=\frac{g'(t)}{f'(t)} \tag{1}$$

Por lo que la relación $(1)$ es la pendiente de la tangente de la curva $y=F(x)$ en $(x, F(x))$. Si a la ecuación anterior empleamos la notación de Leibniz entonces se tiene que:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$

Donde:

$$\frac{dx}{dt} \neq 0$$

Obteniendo la segunda derivada se obtiene que:

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}}$$

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

  • Encuentre la tangente a la cicloide con ecuaciones paramétricas $x=r(\theta-\sin(\theta)),$ $y=r(1-\cos(\theta))$ en el punto donde $\theta=\pi/3$.

Calculemos la derivada como:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{r\sin(\theta)}{r(1-\cos(\theta))}=\frac{\sin(\theta)}{1-\cos(\theta)}$$

Evaluamos el punto $\theta=\pi /3$ en $x$ y $y$, entonces tenemos que:

$$x=r\left ( \frac{\pi}{3}-\sin(\frac{\pi}{3}) \right )=r\left ( \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )$$

$$y=r\left ( 1-\cos(\frac{\pi}{3}) \right )=\frac{r}{2}$$

Por otro lado, evaluando en la derivada:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin(\pi/3)}{1-\cos(\pi /3)}=\frac{2\sqrt{3}}{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$$

Por tanto, la pendiente de la tangente es $\sqrt{3}$.

  • Encuentre la segunda derivada de la siguiente ecuación paramétrica: $x=t^{5}-4t^{3}$ y $y=t^{2}$

Calculemos la primera derivada:

$$\frac{dy}{dt}=2t$$

$$\frac{dx}{dt}=5t^{4}-12t^{2}$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{ 2t }{ 5t^{4}-12t^{2} }=\frac{2}{5t^{3}-12t}$$

Ahora encontramos $\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})$:

$$\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})=\frac{d}{dt}\left ( \frac{2}{5t^{3}-12t} \right )=\frac{12(15t^{2}-12)}{(5t^{3}-12t)^{2}}=\frac{24-30t^{2}}{(5t^{3}-12t)^{2}}$$

Por lo que:

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{24-30t^{2}}{(5t^{3}-12t)^{2}}}{5t^{4}-12t^{2}}=\frac{24-30t^{2}}{(5t^{3}-12t)^{2}(5t^{4}-12t^{2})}$$

$$\therefore \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{24-30t^{2}}{t(5t^{3}-12t)^{3}}$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Una curva $C$ tiene como ecuaciones paramétricas $x=t^{2}$ y $y=t^{3}-3t$.
  1. Muestre que la curva $C$ tiene dos tangentes en el punto $(3,0)$.
  2. Determine los puntos en $C$ donde la tangente es horizontal o vertical.
  3. Determine donde la curva es cóncava o convexa.
  4. Bosqueje una grafica.
  • Matemáticamente explique lo siguiente:

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} \neq \frac{\frac{d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac{d^{2}x}{dt^{2}}}$$

Más adelante…

En esta sección vimos como calcular la curva tangente de las curvas paramétricas así como calcular la segunda derivada de estas, en la siguiente sección veremos una introducción a las coordenadas polares.

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