(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
INTRODUCCIÓN
Tenemos nuestros ingredientes: los vectores y los escalares.
Tenemos nuestras parejas: resultado del producto un vector por un escalar.
Tenemos nuestros equipos: resultado de la suma de parejas.
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La combinación lineal es el «equipo» que formamos por medio de nuestras «parejas» (puede ser una pareja solita). Por medio de este concepto, entrelazamos todo lo que hemos visto: campos y espacios vectoriales (con sus operaciones y propiedades).
COMBINACIÓN LINEAL
Definición: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial. Consideremos $m\in \mathbb{N}^{+}$ y $v_1,…,v_m\in V$. Una combinación lineal de $v_1,…,v_m$ es una expresión de la forma
$\lambda_1v_1+…+\lambda_mv_m$ con $\lambda_1,…,\lambda_m\in K$.
Nota: De modo más general, si $S$ es un subconjunto de $V$, entonces una combinación lineal de vectores de $S$ es un vector de la forma
$\lambda_1v_1+…+\lambda_mv_m$ con $v_1,…,v_m\in S$ y $\lambda_1,…,\lambda_m\in K$.
Ejemplos:
- Sea $S=\{(1,0,0),(1,-1,0),(1,1,-1)\}$.
$2(1,0,0)-(1,-1,0)+5(1,1,-1)=(6,6,-5)$;
$-3(1,0,0)+0(1,-1,0)+(1,1,-1)=(-2,1,-1)$;
$0(1,0,0)+(1,-1,0)+0(1,1,-1)=(1,-1,0)$
son combinaciones lineales de vectores de $S$. - Sea $S=\{(\frac{1}{n},\frac{1}{n})|n\in\mathbb{N}^{+}\}$.
$2(\frac{1}{2},\frac{1}{2})+3(\frac{1}{6},\frac{1}{6})-4(\frac{1}{12},\frac{1}{12})=(\frac{7}{6},\frac{7}{6})$
es una combinación lineal de vectores de $S$. - Sea $S=\mathcal{P}_2(\mathbb{R})=\{a+bx+cx^2|a,b,c\in\mathbb{R}\}$.
$\frac{1}{2}x+(1-2x+5x^2)-(8+3x)+3(4-2x+x^2)$$=5-\frac{21}{2}x+8x^2$
es una combinación lineal de vectores de $S$.
Nota: Aun cuando el conjunto $S$ sea infinito, sólo consideraremos combinaciones lineales en las que se use una cantidad finita de vectores de $S$.
Observación: A menudo, uno o más vectores en un conjunto dado pueden expresarse como combinaciones lineales de otros vectores en el conjunto.
Proposición: Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial, $S\not=\emptyset$ un subconjunto de $V$. El conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de $S$ cumple lo siguiente:
i) es un subespacio de $V$.
ii) contiene a $S.$
iii) está contenido en cualquier subespacio de $V$ que contenga a $S$.
Demostración: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial, $S\subseteq V$, $S\not=\emptyset$.
Denotemos por $\mathcal{C}(S)$ al conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de $S$.
i) P.D. $\mathcal{C}(S)\leqslant V$
- Primero, como $S\not=\emptyset$, podemos tomar $v\in S$.
$\therefore\theta_V=0v\in \mathcal{C}(S)$. - Luego, sean $v,w\in\mathcal{C}(S)$.
Es decir, existen $n,m\in \mathbb{N}^{+}$, $\lambda_1,…,\lambda_n, \mu_1,…,\mu_m\in K$, $v_1,…,v_n,\omega_1,…,\omega_m\in S$ tales que:
$v=\lambda_1v_1+…+\lambda_nv_n$
$w=\mu_1\omega_1+…+\mu_m\omega_m$
Veamos que $v+w\in\mathcal{C}(S)$.
$v+w=(\lambda_1v_1+…+\lambda_nv_n)+(\mu_1\omega_1+…+\mu_m\omega_m)\in \mathcal{C}(S).$. - Por último, sean $v\in\mathcal{C}(S)$, $\lambda\in K$.
Es decir, existen $n\in \mathbb{N}^{+}$, $\lambda_1,…,\lambda_n\in K$ tales que
$v=\lambda_1v_1+…+\lambda_nv_n$
Veamos que $\lambda v\in K$.
$\begin{align*} \lambda v & =\lambda(\lambda_1v_1+…+\lambda_nv_n) \\ & =\lambda(\lambda_1v_1)+…+\lambda(\lambda_nv_n) \\ & =(\lambda\lambda_1)v_1+…+(\lambda\lambda_n)v_n\in\mathcal{C}(S) \end{align*}.$
ii) P.D. $S\subseteq\mathcal{C}(S)$
Sea $v\in S$.
Tenemos que $v=1v\in\mathcal{C}(S).$
iii) P.D. Si $W \leq V$ es tal que $S\subseteq W$, entonces $\mathcal{C}(S)\subseteq W$.
Sea $W \leq V$ tal que $S\subseteq W$.
Tomaremos $v$ un elemento arbitrario de $\mathcal{C}(S)$:
Sean $v_n \in\mathcal{C}(S)$, existen $n\in\mathbb{N}^{+}$ y $v_1,\dots, v_n \in\mathcal{C}(S)$ de manera que
$v=\lambda_1v_1+…+\lambda_nv_n$
donde $\lambda_1,…,\lambda_n\in K$ y $v_1,…,v_n\in S$.
Tenemos que $\forall i$ $(v_i\in S\subseteq W)$
$\therefore v_i\in W$ para toda $i.$
Gracias a que $W$ es un subespacio y a que el producto por escalar y la suma son cerrados en los subespacios, se cumple que $\lambda_iv_i\in W$ para toda $i$ y por ende, $v=\lambda_1v_1+…+\lambda_nv_n\in W.$
Tarea Moral
- Describe (en lenguaje natural o algebraico) los elementos que se pueden obtener mediante combinaciones lineales de $S=\{(1,-1,0),(2,-2,0),(3,-3,0),…\}$.
- Obtén $\begin{pmatrix} i & 3i \\ 2 & 1-i \end{pmatrix}$ como combinación lineal de $\begin{pmatrix} 2i & 6i \\ 4 & 2-2i \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} i & 3i \\ 2 & 1-i \end{pmatrix}$ de 5 maneras distintas.
- ¿Existe algún conjunto $S$ infinito donde al menos un elemento no se pueda escribir como combinación lineal de otros elementos del conjunto? Puedes construirlo pensando en el ejercicio 1 – agregando un elemento -.
Más adelante…
Ahora que podemos tomar un subconjunto finito de vectores y obtener, por medio de combinaciones lineales, tanto conjuntos finitos como infinitos, analizaremos una propiedad muy peculiar del conjunto que resulta a partir de ello y el nombre que recibe.
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