Introducción
La geometría analítica se puede considerar la fusión de las ideas de la geometría euclidiana y el álgebra. Una de las funcionalidades de la geometría analítica es resolver problemas de geometría de una manera analítica, partiendo de la ubicación de los objetos geométricos en el plano cartesiano. A continuación veremos algunos problemas de la geometría analítica.
Un problema de rectas y puntos notables de un triángulo
Problema: Dado el triangulo
Expresa las coordenadas de
Solución: Tenemos que el baricentro
Para obtener las medianas tenemos que determinar los puntos medios de los lados del triángulo.
Consideraremos los puntos los puntos medios de
Ahora, determinamos la ecuación de la mediana que pasa por el punto medio de
Para la mediana que pasa por el vértice
Establecemos el sistema de ecuaciones
Cuya solución es
Por lo tanto el punto del baricentro está dado por
Para obtener la coordenada del circuncentro tenemos que determinar las ecuaciones de las mediatrices y con ello calcular su intersección.
Tenemos que como la pendiente del segmento
Por otro lado tenemos que la pendiente del segmento
Sustituyendo
Así, podemos concluir que el punto del circuncentro está dado por
Recta tangente a una circunferencia
Problema: Encuentra la relación entre los parámetros
Solución: Tenemos que la circunferencia está centrada el el origen
Así, se debe cumplir que la distancia de la recta al origen debe de ser igual a
i.e.
Tenemos entonces que
Concluimos que la condición que deben de cumplir los parámetros para que se cumpla que la recta
Circunferencia que pasa por tres puntos
Problema: Consideremos una circunferencia con centro en el origen y radio
Solución: Sea
Además,
Como
Por otro lado tenemos que
Al hacer la diferencia de esta última ecuación con la primera que obtuvimos, tenemos la ecuación:
Lo cual nos describe una línea recta
Por lo tanto, el lugar geométrico formado por los centros de las circunferencias que pasan por
Más problemas
Puedes encontrar más problemas de Geometría Analítica en la sección 8.2 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.