Introducción
En la entrada anterior hablamos acerca de cómo se construyen los números racionales y los números reales. A los números reales que no son racionales les llamamos irracionales. En esta entrada, queremos hablar de algunas formas en las que podemos determinar si un número es racional o irracional.
Expresión decimal de un racional
A los reales los construimos como clases de equivalencia de cierto tipo de sucesiones, pero otra forma de pensarlos es mediante su expresión decimal. Una forma de detectar la racionalidad o irracionalidad de un número es mediante su expresión decimal.
Lo primero que haremos en esta entrada será verificar la validez de la observación 88 del libro Álgebra Superior de Bravo, Rincón, Rincón. Para quienes tiene dificultades para ver los vídeos, pueden seguir la demostración del libro tal cual. Recuerden que pueden conseguir el libro de manera gratuita en la página Plaza Prometeo.
El resultado es el siguiente.
Proposición. Un número $r$ es racional si y sólo si tiene una expresión decimal que se vuelva periódica.
Lo haremos desglosando el «sí» y el «sólo sí» en dos vídeos separados.
La ida:
El regreso:
Ejercicios de determinar si un número es racional
Ahora, un par de ejemplos (éstos también vienen el libro, son el 126 y uno similar al 127):
Por último, probaremos que $\sqrt7$ no es racional:
Este último ejercicio se los dejo escrito, para los que no puedan ver el video con tanta facilidad:
Más ejemplos
Aquí en el blog puedes ver otros ejemplos en los que se usa la expansión decimal de un número y otros argumentos de bases numéricas.
Más adelante…
Tarea moral
Entradas relacionadas
- Ir a: Álgebra Superior II
- Entrada anterior del curso: Esbozo de construcción de racionales y reales
- Entrada siguiente del curso: Construcción de números complejos
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»