Introducción

En la actual entrada se estudian propiedades de las dos operaciones (suma vectorial y producto escalar) que se definieron anteriormente. Utilizaremos los axiomas de $\mathbb{R}$ para probar algunas de estas propiedades y las ejemplificaremos.

Propiedades de suma y producto escalar

Aunque nosotros nos enfocaremos por el momento en $\mathbb{R}^2$, el siguiente teorema se puede demostrar para $\mathbb{R}^n$, donde este último es el conjunto de todos los vectores $$x=(x_1,x_2,\ldots, x_n),$$ con $x_i \in \mathbb{R}$, $i=1,2,\ldots,n$. Conforme vayas desarrollando tu intuición matemática, te darás cuenta que realizar la generalización no es tan compleja. Recuerda que la idea es que podemos utilizar los axiomas de $\mathbb{R}$ para demostrar propiedades de las operaciones en $\mathbb{R}^2$.

Teorema. Para todos los vectores $x$, $y$, $z$ $\in \mathbb{R}^2$ y para todos los números $s$, $t$ $\in \mathbb{R}$ se cumple que:

1. $(x+y)+z=x+(y+z)$
2. $x+y=y+x$
3. $x+0=x$
4. $x+(-x)=0$
5. $s(tx)=(st)x$
6. $1x=x$
7. $t(x+y)=tx+ty$
8. $(s+t)x=sx+tx$

Por contexto se entiende que el $0$ de los puntos $3$ y $4$ corresponde al vector $(0,0)$, aunque en notación no haya distinción. Además en $4$, estamos usando la definición $-x:=(-1)x$. Aunque todo el teorema está enunciado en términos algebraicos, más adelante, en esta misma entrada, habrá algunos interactivos para que obtengas la intuición geométrica de estas propiedades.

Demostración. Para no caer en repetición del uso de ciertas herramientas, a continuación demostraremos sólo algunos de los ocho puntos. Puedes demostrar los restantes como tarea moral y pensar también en la generalización para $\mathbb{R}^n$. Comencemos.

Sean $x=(x_1,x_2)$, $y=(y_1,y_2)$, $z=(z_1,z_2)$ vectores arbitrarios en $\mathbb{R}^2$.

1. Debemos demostrar la igualdad $(x+y)+z=x+(y+z)$ en vectores.

\begin{align*}
(x+y)+z&=((x_1,x_2)+(y_1,y_2))+(z_1,z_2)\\
&=(x_1+y_1,x_2+y_2)+(z_1,z_2)\\
&=((x_1+y_1)+z_1, (x_2+y_2)+z_2)\\
&=(x_1+(y_1+z_1),x_2+(y_2+z_2))\\
&=(x_1,x_2)+((y_1,y_2)+(z_1,z_2)\\
&=(x+y)+z=x+(y+z).
\end{align*}

Para cada una de las igualdades anteriores existe una justificación. El primer renglón se da meramente por la definición de cada vector. La siguientes dos igualdades resultan de la definición de suma de vectores que, como la definimos, debe ser realizada coordenada a coordenada. Ahora, por asociatividad de la suma de los números reales, el renglón 4 es válido. El penúltimo parece un as sacado de la manga pero en realidad es de nuevo pensar en la definición de suma de vectores: tenemos una igualdad entre la suma de dos vectores y la suma de sus entradas formando el vector suma. Por último sólo sustituimos las entradas por el vector que representan.

5. Debemos demostrar la igualdad $s(tx)=(st)x$ con $s,t$ números reales y $x$ vector.

Por definición del vector $x$ tenemos:

$s(tx)=s(t(x_1,x_2))$

Por definición del producto escalar se cumplen los siguientes dos pasos:

$=s(tx_1,tx_2)$
$=(s(tx_1),s(tx_2))$

Por la asociatividad del producto en $\mathbb{R}$ pasa que:

$=((st)x_1,(st)x_2)$

De nuevo parece que el siguiente paso es otro as, pero piensa en la definición del producto escalar leyéndolo de derecha a izquierda:

$=(st)(x_1,x_2)$
$s(tx)=(st)x.$

7. Debemos demostrar la igualdad $t(x+y)=tx+ty$ con $t$ número real y $x,y$ vectores.

\begin{align*}
t(x+y)&=t((x_1,x_2)+(y_1,y_2))\\
&=t(x_1+y_1,x_2+y_2)\\
&=(t(x_1+y_1),t(x_2+y_2))\\
&=(tx_1+ty_1,tx_2+ty_2)\\
&=(tx_1,tx_2)+(ty_1,ty_2)\\
&=t(x_1,x_2)+t(y_1,y_2)\\
&=tx+ty.
\end{align*}

Resumamos los pasos. El primer paso es por definición de ambos vectores, el siguiente por definición de suma vectorial y el tercero por definición de multiplicación escalar. En este punto, en cada entrada del vector tenemos únicamente números reales por lo que podemos usar distributividad en $\mathbb{R}$. Para finalizar recordemos la definición de la suma vectorial y la multiplicación escalar leyendo ambas de derecha a izquierda.

8. Debemos demostrar la igualdad $(s+t)x=sx+tx$ con $s$ y $t$ reales y $x$ vector.

Por definición de $x$ tenemos:

$(s+t)x=(s+t)(x_1,x_2)$

Por definición del produco escalar:

$=((s+t)x_1,(s+t)x_2)$

Por distributividad de los números reales:

$=(sx_1+tx_1,sx_2+tx_2)$

Por definición de la suma vectorial:

$=(sx_1,sx_2)+(tx_1,tx_2)$

Por definición del producto escalar:

$(s+t)x=s(x_1,x_2)+t(x_1,x_2)$

$\square$

Demostramos algunas de las propiedades. Para el resto de ellas hay que seguir las mismas ideas. Si te das cuenta, lo único que utilizamos en esta demostración fueron los axiomas de los números reales, la definición de las operaciones usadas y algo de intuición para saber qué paso sigue.

Intuición geométrica de las propiedades

Si recuerdas, Descartes asoció el álgebra a la geometría y al menos en este curso, el álgebra que desarrollemos tiene un significado geométrico. A continuación describiremos algunos de los puntos que demostramos e ilustraremos otros con ayuda de GeoGebra.

1. $(x+y)+z=x+(y+z)$. En el siguiente interactivo están representados tres vectores $X$, $Y$, $Z$. En negro se encuentra el vector $X+Y+Z$. Se utiliza el método del paralelogramo de dos formas distintas: Primero, sumando $X+Y$ y al resultado sumandole $Z$. La segunda suma primero a $Y+Z$ y al resultado se suma $X$. Es notorio que por ambos caminos se llega al mismo punto correspondiente a $X+Y+Z$.

5. $s(tx)=(st)x$. En el siguiente interactivo puedes utilizar los deslizadores para cambiar los valores de $s,t \in \mathbb{R}$. Parece que sólo un vector con dos etiquetas de distinto color se mueve, pero son dos vectores (uno por cada etiqueta) ambos dependientes de $s$ y $t$ como lo indica cada lado de la igualdad. Que sólo puedas ver claramente uno, indica que hicimos lo correcto pues son dos vectores iguales.

Para los siguientes dos casos sólo describiremos lo que pasa y lo óptimo sería que lograras usar GeoGebra para hacer la representación gráfica de ellos.

7. $t(x+y)=tx+ty$. Nos indica que el resultado de sumar dos vectores primero y después multiplicarlos por un escalar es el mismo que primero multiplicar cada vector por él y luego sumar los resultados.

8. $(s+t)x=sx+tx$. Nos indica que el resultado de sumar los dos escalares primero y después multiplicar el resultado por el vector, es lo mismo que multiplicar el vector por cada escalar y sumar los resultados.

Existe un término para denotar a un conjunto con dos operaciones (suma vectorial y producto escalar), que cumple con las ocho propiedades del teorema que acabamos de demostrar: espacio vectorial. Así, este teorema se resume al decir que $\mathbb{R}^2$ con la suma vectorial y el producto escalar es un espacio vectorial.

Ecuaciones con vectores

Ahora veamos cómo podemos usar estas propiedades en la resolución de problemas. Nos serán de mucha ayuda cuando tengamos ecuaciones constituidas por vectores, ¿es posible resolverlas igual que cuando se tienen variables numéricas? Resulta que hay cosas que sí podemos realizar de la misma manera, como «pasar del otro lado» un vector sumando o restando y dividir por escalares, veámoslo en el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Sean $x, u, v$ $\in \mathbb{R}^2$, donde $u=(5,3)$ y $v=(-3,1)$. ¿Es posible encontrar al vector $x$ que cumpla con

$-3u+2x=v-x$?

Nuestra variable es el vector $x$, el paso más lógico es despejarlo. Sumando $3u+x$ de ambos lados tenemos

$3x=v+3u$

Podemos ahora dividir ambos lados por el escalar $3$ y obtener

$x=\frac{v+3u}{3}$

Esto tiene sentido pues si bien tenemos un vector entre un escalar, podemos re-pensar esto como el vector multiplicado por $1/3$. En este punto podemos sustituir los valores correspondientes para $v$ y $u$ para así obtener al $x$ que buscamos

$x=\frac{(-3,1)+3(5,3)}{3}$
$=\frac{(12,10)}{3}$
$x=(4,10/3)$

$\triangle$

Aunque haya cosas que podemos hacer de manera equivalente a los reales en casos como el mostrado en el ejemplo, hay otras que no son viables como dividir entre un vector. Aún así, podemos obtener herramientas que nos auxilien. Para cerrar esta entrada enunciaremos y demostraremos dos lemas que servirán para trabajar con operaciones vectoriales.

Lema 1. Si $x \in \mathbb{R}^2$ y $t \in \mathbb{R}$ son tales que $tx=0$ (por contexto $0=(0.0)$), entonces $t=0$ o $x=0$.

Demostración.

• Supongamos que $t\neq 0$. P. D. $x=(0,0)$.

Como $t \neq 0$, entonces existe su inverso multiplicativo $t^{-1}$ tal que $t^{-1}t=1$. Multiplicando $t^{-1}$ en ambos lados de la ecuación $tx=0$ tenemos:

$t^{-1}(tx)=t^{-1}0$
$(t^{-1}t)x=t^{-1}0=0$
$x=0$

En el primer renglón sólo multiplicamos por $t^{-1}$; el segundo es válido por el punto $5$ del teorema anterior, y lo último se da por lo enunciado arriba: $t^{-1}t=1$.

Esto ya prueba lo que queremos, pero también podríamos hacer la prueba «al revés», pensando en qué sucede cuando $x\neq 0$.

• Supongamos ahora que $x \neq 0$ P.D. $t=0$.

Sea $x=(x_1,x_2)$, entonces

$tx=t(x_1,x_2)$
$=(tx_1,tx_2)=0=(0,0)$

Esto se encuentra igualado al vector $0$ por lo cual tienen que ser iguales entrada a entrada

$tx_1=0$ y $tx_2=0$

ahora, existen 3 casos que cumplen $x \neq 0$. Uno, que $x_1 \neq 0$ pero $x_2=0$. De manera análoga, el segundo es que $x_1=0$ pero $x_2 \neq 0$. Por último que tanto $x_1$ como $x_2$ sean ambos distintos de cero.

Sin perdida de generalidad, supongamos el caso 1. Como $x_1 \neq 0$, entonces

$tx_1=0$ $\rightarrow$ $t=0$,

pues esto se satisface para los números reales. La demostración del segundo caso es análoga, sólo se debe tomar $x_2$. La demostración del tercer caso se puede hacer igual que el primero, o el segundo.

$\square$

Lema 2. Si $x \in \mathbb{R}^2$ es distinto de cero y $t$, $s$ $\in \mathbb{R}$ son tales que $tx=sx$, entonces $t=s$.

Demostración.

Sea $x=(x_1,x_2)$ un vector arbitrario, podemos escribir a $tx=sx$ como

$t(x_1,x_2)=s(x_1,x_2)$
$\Rightarrow$ $(tx_1,tx_2)=(sx_1,sx_2)$

Para que se cumpla la igualdad tienen que ser iguales entrada a entrada

$\Rightarrow$ $tx_1=sx_1$ y $tx_2=sx_2.$

Como $x$ no es el vector cero, alguno de $x_1$ ó $x_2$ es distinto de cero. En este punto ya estamos operando únicamente con números reales, por lo que podemos «cancelar » $x_1$ ó $x_2$ (el que no sea cero). De aquí, concluimos que $s=t$, como queremos.

$\square$

Más adelante…

Las propiedades aquí vistas nos servirán como herramienta a lo largo del curso. Como ya las demostramos, tendremos la libertas de usarlas más adelante. Esto será de suma utilidad para cuando definamos objetos geométricos como rectas, planos, circunferencias, y queramos hablar de sus propiedades.

Tarea moral

• Realiza la demostración de los puntos faltantes en el teorema enunciado en esta entrada.
• Realiza la representación gráfica de estos y también de los puntos que sólo fueron explicados. Puedes usar GeoGebra si así lo deseas.
• Considera los vectores $u=(-9,17)$ y $v=(51,-3)$ en $\mathbb{R}^2$. Encuentra el vector $x \in \mathbb{R}^2$ tal que $3x-5u=7v-x$.
• Si es posible, encuentra $a,b \in \mathbb{R}$ tales que $au+bv=w$, con $u$ y $v$ los vectores del ejemplo visto en esta entrada y $w=(37,-5)$. Si no es posible, argumenta porqué.
• Así como definimos suma vectorial y producto escalar en $\mathbb{R}^2$, podríamos hacer lo mismo en $\mathbb{R}^3$ o $\mathbb{R}^n$, una vez más haciendo las operaciones entrada a entrada. Por ejemplo, en $\mathbb{R}^4$ tendríamos $2(5,1,0,1)+(3,-1,0,-2)=(10,2,0,2)+(3,-1,0,-2)=(13,1,0,0)$. Demuestra que los resultados que probamos en esta entrada también se valen para $\mathbb{R}^3$ (y más en general, en $\mathbb{R}^n$).