$\mathit{\text{MATERIAL EN REVISIÓN}}$

Introducción

El contenido de esta sección corresponde al libro
Wheeden, R.L., Zygmund, A., Measure and Integral. An Introduccion to Real Analysis. (2da ed.). New York: Marcel Dekker, 2015, págs 26-30.

Mostraremos resultados formales de la integral de Riemann-Stieltjes. Recordemos que en la entrada anterior partimos de dos funciones acotadas $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ y $\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}$ y una partición $P=\{x_0=a,\dots ,x_n=b\}$ en $[a,b]$ con puntos ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i].$ Definimos la suma de Riemann-Stieltjes como

$$S(P,f,\alpha )=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1})).$$

Este resultado depende de $P,f$ y $\alpha .$ En esta ocasión, más que hacer $n\to \mathrm{\infty }$ haremos que la norma de la partición tienda a cero. Cuando existe $I\in \mathbb{R}$ tal que para cada $\epsilon >0,$ existe $\delta >0$ tal que si $|P|<\delta$
entonces $|I–S(P,f,\alpha )|<\epsilon ,$ diremos que
$$I:=\underset{|P|\to 0}{lim}S(P,f,\alpha ).$$
Si es finito lo llamamos integral de Riemann-Stieltjes de $f$ con respecto a $\alpha$ en $[a,b].$ El valor de $I$ se denota como:
$${\int }_a^{b}f(x)d\alpha ={\int }_a^{b}fd\alpha .$$

Por supuesto que este límite no siempre existe en $\mathbb{R}.$ Conozcamos una equivalencia que muestra cuando sí.

Proposición. Criterio de Cauchy para la integral de Riemann-Stieltjes: La integral ${\int }_a^{b}fd\alpha$ existe si y solo si para cada $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que si $|P|,|Q|<\delta$ entonces
$$|S(P,f,\alpha )–S(Q,f,\alpha )|<\epsilon .$$

La demostración se propone como tarea moral.

Ejemplos

• Sean $f,\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}$ con $f$ continua y $\alpha$ continuamente diferenciable, entonces
  $${\int }_a^{b}fd\alpha ={\int }_a^{b}f{\alpha }^{\prime }dx$$
  De hecho, por el teorema del valor medio aplicado en $\alpha ,$ para cada $i=1,2,..,n$ existen ${\eta }_i\in [x_{i-1},x_i]$ tales que
  $$\begin{array}{}\text{(1)}& S(P,f,\alpha )& =\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1}))\text{(2)}& & =\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i){\alpha }^{\prime }({\eta }_i)(x_i–x_{i-1}).\end{array}$$

Usando la continuidad uniforme de ${\alpha }^{\prime }$ podemos asumir que, en intervalos muy pequeños, ${\alpha }^{\prime }({\eta }_i)={\alpha }^{\prime }({\xi }_i),$ en consecuencia

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i){\alpha }^{\prime }({\eta }_i)(x_i–x_{i-1})=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i){\alpha }^{\prime }({\xi }_i)(x_i–x_{i-1})$$

Nota que esto ya es la común suma de Riemann y así:
$$\underset{|P|\to 0}{lim}S(P,f,\alpha )={\int }_a^{b}f{\alpha }^{\prime }dx,$$

o bien

$${\int }_a^{b}fd\alpha ={\int }_a^{b}f{\alpha }^{\prime }dx.$$

• Ahora considera $f,\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}$ donde

y $f$ es una función continua en $0.$ Es sencillo demostrar que
$${\int }_{-1}^{1}fd\alpha =f(0).$$

A continuación enunciaremos algunas propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes. Las demostraciones las dejaremos como ejercicio.

Proposición: Sean $f,f_1,f_2,\alpha ,{\alpha }_1$ y ${\alpha }_2$ funciones de $[a,b]\to \mathbb{R}$ y $c\in \mathbb{R},$ entonces se satisfacen:

a) Si ${\int }_a^{b}fd\alpha$ existe, entonces también existen tanto ${\int }_a^{b}cfd\alpha$ como ${\int }_a^{b}fd(c\alpha )$ y además
$${\int }_a^{b}cfd\alpha ={\int }_a^{b}fd(c\alpha )=c{\int }_a^{b}fd\alpha .$$

b) Si tanto ${\int }_a^b{f}_{1}d\alpha$ como ${\int }_a^b{f}_{2}d\alpha$ existen, entonces también
${\int }_a^b(f_1+f_2)d\alpha$ existe y
$${\int }_a^b(f_1+f_2)d\alpha ={\int }_a^b{f}_{1}d\alpha +{\int }_a^b{f}_{2}d\alpha .$$

c) Si tanto ${\int }_a^{b}fd{\alpha }_1$ como ${\int }_a^{b}fd{\alpha }_2$ existen, entonces también
${\int }_a^{b}fd({\alpha }_1+{\alpha }_2)$ existe y
$${\int }_a^{b}fd({\alpha }_1+{\alpha }_2)={\int }_a^{b}fd{\alpha }_1+{\int }_a^{b}fd{\alpha }_2.$$

Para finalizar esta sección, veremos que es posible obtener la integral de Riemann-Stieltjes como equivalencia de la suma de integrales correspondientes a cada división del intervalo, como muestra la siguiente:

Proposición: Si ${\int }_a^{b}fd\alpha$ existe y $a\le c\le b,$ entonces

a) Tanto ${\int }_a^{c}fd\alpha$ como ${\int }_c^{b}fd\alpha$ existen y

b) ${\int }_a^{b}fd\alpha ={\int }_a^{c}fd\alpha +{\int }_c^{b}fd\alpha .$

Demostración:
Para simplificar la notación, hagamos $S_P[a,b]=S(P,f,\alpha )$ donde $P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}.$

Para mostrar que ${\int }_a^{c}fd\alpha$ existe, de acuerdo con el criterio de Cauchy para la integral de Riemann-Stieltjes encunciado arriba, será suficiente probando que para todo $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que si $P_1,P_2\in {\mathcal{P}}_{[a,c]}$ con $|P_1|,|P_2|<\delta ,$ entonces

$$\begin{array}{}\text{(3)}& (S_{P_1}[a,c]–S_{P_2}[a,c])<\epsilon .\end{array}$$

Como ${\int }_a^{b}fd\alpha$ existe entonces dada $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que para cualesquiera $P_1^{\prime },P_2^{\prime }\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}$ con $|P_1^{\prime }|,|P_2^{\prime }|<\delta ,$ tenemos
$$\begin{array}{}\text{(4)}& (S_{P_1^{\prime }}[a,b]–S_{P_2^{\prime }}[a,b])<\epsilon .\end{array}$$

Sean $P_1,P_2\in {\mathcal{P}}_{[a,c]}$ tales que $|P_1|,|P_2|<\delta$ y toma $P\in {\mathcal{P}}_{[c,b]}$ tal que también $|P|<\delta .$

Definimos $P_1^{\prime }=P_1\cup P$ y $P_2^{\prime }=P_2\cup P.$ Nota que ambas son particiones de $[a,b]$ cuya norma es menor que $\delta$ y por tanto satisfacen (4).

Notemos que

$$\begin{array}{}\text{(5)}& S_{P_1^{\prime }}[a,b]& =S_{P_1}[a,c]+S_P[c,b]\text{(6)}& \text{y }{S}_{P_2^{\prime }}[a,b]& =S_{P_2}[a,c]+S_P[c,b]\end{array}$$

así, restando (5) de (6)

$$\begin{array}{}\text{(7)}& S_{P_1}[a,c]–S_{P_2}[a,c]+\cancel{S_P[c,b]–S_P[c,b]}=S_{P_1^{\prime }}[a,b]–S_{P_2^{\prime }}[a,b]\end{array}$$

De (7) y (4) se cumple (3), por lo tanto

${\int }_a^{c}fd\alpha$ existe.

Análogamente se puede probar que ${\int }_c^{b}fd\alpha$ existe, mientras que (5) y (6) permiten concluir que
$${\int }_a^{b}fd\alpha ={\int }_a^{c}fd\alpha +{\int }_c^{b}fd\alpha$$
que es lo que queríamos demostrar.

Más adelante…

Veremos algunas propiedades más de la integral de Riemann-Stieltjes, por lo pronto desarrolla las ideas con los siguientes ejercicios.

Tarea moral

1. Prueba el Criterio de Cauchy para la integral de Riemann-Stieltjes: La integral ${\int }_a^{b}fd\alpha$ existe si y solo si para cada $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que si $|P|,|Q|<\delta$ entonces
   $$|S(P,f,\alpha )–S(Q,f,\alpha )|<\epsilon .$$
2. Considera $f,\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}$ donde
   $$\alpha (x)=\{\begin{array}{l}1\text{ si }x\ge 0\\ 0\text{ si }x<0\end{array}$$
   y $f$ es una función continua en $0.$ Prueba que
   $${\int }_{-1}^{1}fd\alpha =f(0).$$
3. Sean $f,f_1,f_2,\alpha ,{\alpha }_1$ y ${\alpha }_2$ funciones de $[a,b]\to \mathbb{R}$ y $c\in \mathbb{R}.$ Demuestra que se satisfacen:
   a) Si ${\int }_a^{b}fd\alpha$ existe, entonces también existen tanto ${\int }_a^{b}cfd\alpha$ como ${\int }_a^{b}fd(c\alpha )$ y además
   $${\int }_a^{b}cfd\alpha ={\int }_a^{b}fd(c\alpha )=c{\int }_a^{b}fd\alpha .$$
   b) Si tanto ${\int }_a^b{f}_{1}d\alpha$ como ${\int }_a^b{f}_{2}d\alpha$ existen, entonces también
   ${\int }_a^b(f_1+f_2)d\alpha$ existe y
   $${\int }_a^b(f_1+f_2)d\alpha ={\int }_a^b{f}_{1}d\alpha +{\int }_a^b{f}_{2}d\alpha .$$
   c) Si tanto ${\int }_a^{b}fd{\alpha }_1$ como ${\int }_a^{b}fd{\alpha }_2$ existe, entonces también
   ${\int }_a^{b}fd({\alpha }_1+{\alpha }_2)$ existe y
   $${\int }_a^{b}fd({\alpha }_1+{\alpha }_2)={\int }_a^{b}fd{\alpha }_1+{\int }_a^{b}fd{\alpha }_2.$$
4. Sean $f,\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}$ funciones acotadas. Demuestra que si $[a^{\prime },b^{\prime }]\subset [a,b]$ y ${\int }_a^{b}fd\alpha$ existe entonces también ${\int }_{a^{\prime }}^{b^{\prime }}fd\alpha$ existe.

Enlaces

• Análisis Matemático.
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