Introducción
Estudiaremos en este video una distribución de probabilidad discreta qué se puede usar para aproximar probabilidades binomiales en las que el tamaño de la muestra es grande y la probabilidad de éxito es pequeña, mientras el producto del tamaño de la muestra por la probabilidad de éxito permanece constante. Está distribución se conoce con el nombre de distribución Poisson.
Distribución Poisson
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Demuestra que la función de probabilidad de la distribución Poisson cumple las condiciones de una función de probabilidad.
- Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X∼ Poisson(λ)$. Demuestra que $f\left(x+1\right)=\frac{\lambda\ }{x+1}f\left(x\right)$ para $x=0, 1, 2, …$
- Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X∼ Poisson(λ)$. Si $λ-1$ es un entero. Demuestra que $f(x)$ alcanza su valor máximo en $x_1=\lambda-1$ y $x_2+1=\lambda$.
- Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X∼ Poisson(λ)$. Si $λ-1$ no es un entero. Demuestra que $f(x)$ alcanza su valor máximo en $x_1$ definido como el entero más pequeño mayor o igual a $λ-1$.
- Llegan autos a un establecimiento de comida rápida de acuerdo con un proceso Poisson con media de 80 autos por hora. Si el empleado hace una llamada telefónica de 1 minuto, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 1 auto llegue durante la llamada?
Más adelante…
La distribución Poisson tiene muchas aplicaciones, es particularmente útil para los fenómenos de contar en unidades de tiempo o espacio. Por ejemplo, contar el número de llamadas telefónicas registradas por un centro en una semana o contar el número de accidentes ocurridos en dos horas en alguna avenida principal especifica.
La variable aleatoria X que corresponde a el número de elementos observados por unidad de tiempo, espacio, volumen o cualquier otra dimensión sigue una distribución Poisson con parámetro λ, donde λ es la media de la distribución.
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