Introducción

Una de las ideas de una medida de probabilidad era que cuantifica, entre el $0$ y el $1$, qué tan probable es que ocurra un evento. Por ello, si nosotros multiplicamos los valores que puede tomar una v.a. mediante su probabilidad de ocurrencia, y luego los sumamos, el resultado sería un promedio ponderado de los valores que puede tomar la v.a.; donde el criterio de ponderación es precisamente la probabilidad de ocurrencia. Aquellos resultados con mayor probabilidad pesan más en este «promedio ponderado».

En el caso de $X$ una v.a. discreta, la manera de obtener este promedio ponderado es directa, pues existen $x\in \mathbb{R}$ tales que $\mathbb{P}(X=x)>0$, así que la expresión resultante es una suma. Sin embargo, en el caso continuo, la idea se preserva, pero la definición es más sutil, pues cuando $X$ es una v.a. continua, $\mathbb{P}(X=x)=0$ para cada $x\in \mathbb{R}$.

Motivación para el caso discreto

Para empezar, vamos a definir el valor esperado de una v.a. discreta. En este caso, la noción de «promedio ponderado» ocurre naturalmente, pues una v.a. discreta puede tomar valores dentro de un conjunto a lo más infinito numerable.

Primero, vamos a dar la idea general. Cuando se nos dan $x_1$, …., $x_n\in \mathbb{R}$ números reales, con $n\in {\mathbb{N}}^{+}$, el promedio (o la media aritmética) de estos valores es

$$\begin{array}{r}\frac{1}{n}{x}_1+\frac{1}{n}{x}_2+\cdots +\frac{1}{n}{x}_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{x}_n.\end{array}$$

La media aritmética nos ayuda a resumir ciertas nociones de un conjunto de números. Más precisamente, nos da una idea de dónde están centrados los elementos de ese conjunto. Esto pasa porque en la media aritmética, cada uno de los números pesa lo mismo, debido a que en la suma, todos tienen el mismo coeficiente: $\frac{1}{n}$.

Sin embargo, no necesariamente queremos que todos los valores tengan el mismo peso al tomar el promedio. Puede que existan razones para que queramos que cada uno contribuya de manera distinta a la media. Para generalizar la media aritmética, sean $p_1$, …, $p_n\in [0,1]$. El valor $p_i$ representa el peso asociado al valor $x_i$, que a grandes rasgos sería la importancia de $x_i$ en el contexto en el que se toma el promedio. De este modo, el promedio ponderado de los $x_i$ es

$$\begin{array}{r}{p}_1{x}_1+p_2{x}_2+\cdots +p_n{x}_n=\sum _{k=1}^n{p}_k{x}_k\end{array}$$

Precisamente, en el contexto de la probabilidad, cada posible valor de la v.a. discreta tiene un peso asociado: ¡la probabilidad de que la v.a. tome ese valor! Como es de esperarse de una media o promedio, el valor esperado debería de expresar la tendencia central del comportamiento probabilístico de una variable aleatoria, y en efecto, se cumple esa idea porque el peso asociado a cada valor es su probabilidad de ocurrencia.

Definición del valor esperado en el caso discreto

De acuerdo con la motivación anterior, presentamos la definición del valor esperado de una v.a. discreta.

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Definición. Sea $X:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$ una variable aleatoria discreta. Definimos el valor esperado de $X$ (o la esperanza de $X$) como

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[X\right]& =\sum _{\omega \in \mathrm{\Omega }}X(\omega )\mathbb{P}(\{\omega \}),\end{array}$$

siempre que esta suma sea absolutamente convergente. Es decir, si

$$\begin{array}{r}\sum _{\omega \in \mathrm{\Omega }}|X(\omega )\mathbb{P}(\{\omega \})|<\mathrm{\infty }.\end{array}$$

En caso de que la suma no sea convergente, se dice que el valor esperado de $X$ no está definido, o que es infinito.

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La definición anterior va a ser de muchísima utilidad para algunas demostraciones, pero puede que no sea muy útil para hacer cálculos en casos concretos. Por ello, veamos una manera equivalente de definirla.

Para ello, como $X$ es una v.a. discreta, sea $\{x_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ el conjunto de valores que puede tomar $X$. Es decir, $X[\mathrm{\Omega }]=\{x_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$. Ahora, observa que para cada $k\in {\mathbb{N}}^{+}$ se tiene que

$$\begin{array}{rl}X(\omega )=x_k& ⟺\omega \in X^{-1}[\{x_k\}]⟺\omega \in (X=x_k).\end{array}$$

En consecuencia, se tiene que

$$\begin{array}{rl}\sum _{\omega \in (X=x_k)}X(\omega )\mathbb{P}(\{\omega \})& =\sum _{\omega \in (X=x_k)}{x}_k\mathbb{P}(\{\omega \})\\ & =x_k\sum _{\omega \in (X=x_k)}\mathbb{P}(\{\omega \})\\ & =x_k\mathbb{P}(X=x_k).\end{array}$$

De acuerdo con la definición de valor esperado, se tiene que

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[X\right]& =\sum _{\omega \in \mathrm{\Omega }}X(\omega )\mathbb{P}(\{\omega \}).\end{array}$$

Ahora, la suma anterior puede expresarse de manera diferente. Como $X[\mathrm{\Omega }]=\{x_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ y $\{x_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\{x_k\}$, se tiene que

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Omega }& =X^{-1}[X[\mathrm{\Omega }]]\\ & =X^{-1}[\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\{x_k\}]\\ & =\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{X}^{-1}[\{x_k\}]\\ & =\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(X=x_k).\end{array}$$

Así, podemos reacomodar la suma del valor esperado para obtener

$$\begin{array}{rl}\sum _{\omega \in \mathrm{\Omega }}X(\omega )\mathbb{P}(\{\omega \})& =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{\omega \in (X=x_k)}X(\omega )\mathbb{P}(\{\omega \})\\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k\mathbb{P}(X=x_k).\end{array}$$

En conclusión, obtenemos que si $X$ es una v.a. discreta que toma valores en el conjunto $\{x_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$, entonces el valor esperado de $X$ es

$$\begin{array}{r}\mathbb{E}\left[X\right]=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k\mathbb{P}(X=x_k).\end{array}$$

Finalmente, recordando que $X[\mathrm{\Omega }]=\{x_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$, lo anterior nos queda como

$$\begin{array}{r}\mathbb{E}\left[X\right]=\sum _{x\in X[\mathrm{\Omega }]}x\mathbb{P}(X=x).\end{array}$$

que nos da una expresión alternativa para el valor esperado de una v.a. discreta.

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Definición (Alternativa). Sea $X$ una v.a. discreta. Definimos el valor esperado de $X$ (o esperanza de $X$) como

$$\begin{array}{r}\mathbb{E}\left[X\right]=\sum _{x\in X[\mathrm{\Omega }]}x\mathbb{P}(X=x),\end{array}$$

siempre que la suma anterior sea absolutamente convergente. Es decir,

$$\begin{array}{r}\sum _{x\in X[\mathrm{\Omega }]}\left|x\mathbb{P}(X=x)\right|<\mathrm{\infty }.\end{array}$$

En caso de que la suma no no sea convergente, se dice que el valor esperado de $X$ no está definido, o que es infinito.

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Ejemplo 1. Una v.a. discreta no necesariamente toma su valor esperado. Esto choca un poco con el término «valor esperado», pues al ser el valor «esperado» de la v.a., tendría sentido que sea alguno de los valores que puede tomar. Sea $X:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$ una v.a. con función de masa de probabilidad $p_X:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por

$$\begin{array}{rl}{p}_X(x)& =\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{si }x\in \{0,1\},\\ 0& \text{en otro caso}.\end{array}\end{array}$$

De este modo, el conjunto de valores que puede tomar $X$ es $\{0,1\}$. Es decir, $X[\mathrm{\Omega }]=\{0,1\}$. Ahora obtengamos $\mathbb{E}\left[X\right]$,

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[X\right]& =0\cdot \mathbb{P}(X=0)+1\cdot \mathbb{P}(X=1)=1\cdot \mathbb{P}(X=1)=1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Es decir, $\mathbb{E}\left[X\right]=\frac{1}{2}$: el «valor esperado» de $X$ es $\frac{1}{2}$… sin embargo, $\frac{1}{2}$, y $\frac{1}{2}\notin X[\mathrm{\Omega }]$, por lo que de ninguna manera se esperaría que $X$ tome el valor $\frac{1}{2}$.

Sin embargo, si repitiéramos muchas veces a la v.a. $X$, el centroide (la media aritmética) de los valores observados en esas repeticiones se acercará cada vez más a $\mathbb{E}\left[X\right]$. Eso es algo que mostramos (sin muchos detalles) en la entrada del enfoque frecuentista. Es por esto que dijimos que el valor esperado de $X$ expresa la tendencia central del comportamiento probabilístico de $X$, pero no debe de pensarse como el valor a «esperar» cuando se observe $X$. Más adelante demostraremos formalmente las ideas de este ejemplo.

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Ejemplo 1. Hay v.a.’s discretas que toman valores dentro de $\mathbb{N}$, por lo que su valor esperado es una serie. Sea $Y$ una v.a. con función de masa de probabilidad $p_Y:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por

$$\begin{array}{rl}{p}_Y(y)& =\{\begin{array}{ll}(1-p{)}^{y}p& \text{si }y\in \mathbb{N}\text{,}\\ 0& \text{en otro caso,}\end{array}\end{array}$$

donde $p\in (0,1)$. Procedamos a calcular el valor esperado de $Y$. Por definición, sabemos que

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[Y\right]& =\sum _{y\in Y[\mathrm{\Omega }]}y\mathbb{P}(Y=y)\\ & =\sum _{y\in \mathbb{N}}y\mathbb{P}(Y=y)\\ & =\sum _{y=0}^{\mathrm{\infty }}y\mathbb{P}(Y=y)\\ & =\sum _{y=0}^{\mathrm{\infty }}y(1-p{)}^{y}p.\end{array}$$

Ahora, como el índice $y$ comienza en $0$, el primer término de la serie es $0\cdot (1-p{)}^{0}p=0$, por lo que podemos empezar la serie en $1$. Así,

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathbb{E}\left[Y\right]& =\sum _{y=1}^{\mathrm{\infty }}y(1-p{)}^{y}p=p\sum _{y=1}^{\mathrm{\infty }}y(1-p{)}^y.\end{array}$$

Lo que haremos será reacomodar la serie $\text{(1)}$ de manera conveniente para poder obtener su valor. Sin embargo, para hacer posible el reacomodo es necesario verificar que la serie es convergente. Para ello, podemos utilizar el criterio del cociente de d’Alembert. Para cada $n\in {\mathbb{N}}^{+}$, sea $a_n=n(1-p{)}^n$. Es decir, $a_n$ es el $n$-ésimo término de la serie. El criterio de d’Alembert nos dice que si

$$\begin{array}{r}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r\end{array}$$

con $r<1$, entonces la serie $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ es absolutamente convergente. Primero desarrollaremos la expresión $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:

$$\begin{array}{rl}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|& =\left|\frac{(n+1)(1-p{)}^{n+1}}{n(1-p{)}^n}\right|.\end{array}$$

Observa que en la expresión de la derecha tenemos $(1-p{)}^{n+1}$ en el numerador, y $(1-p{)}^n$ en el denominador, por lo que

$$\begin{array}{rl}\left|\frac{(n+1)(1-p{)}^{n+1}}{n(1-p{)}^n}\right|& =\left|\frac{(n+1)(1-p{)}^{n+1-n}}{n}\right|\\ & =\left|\frac{(n+1)(1-p)}{n}\right|.\end{array}$$

Además, $1-p>0$, ya que $p\in (0,1)$, y también se cumple que $n>0$, $n+1>0$, por lo que

$$\begin{array}{rl}\left|\frac{(n+1)(1-p)}{n}\right|& =\frac{(n+1)(1-p)}{n},\end{array}$$

y podemos seguir desarrollando esta última expresión:

$$\begin{array}{rl}\frac{(n+1)(1-p)}{n}& =(1-p)\left(\frac{n+1}{n}\right)\\ & =(1-p)(1+\frac{1}{n}).\end{array}$$

En consecuencia, el límite del criterio de d’Alembert nos queda

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-p)(1+\frac{1}{n})\\ & =(1-p)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n})\\ (1-p),\end{array}$$

así que $r=1-p$, y como $p\in (0,1)$, se tiene que $1-p<1$. En conclusión, queda demostrado que la serie $\text{(1)}$ es absolutamente convergente. Por ello, podemos reacomodar los términos de maneras distintas. En particular, observa que la serie en $\text{(1)}$ (sin modificar) tiene la siguiente forma:

$$\begin{array}{r}\sum _{y=1}^{\mathrm{\infty }}y(1-p{)}^y=(1-p)+2(1-p{)}^2+3(1-p{)}^3+4(1-p{)}^4+\cdots \end{array}$$

Sin embargo, podemos ver la progresión anterior como

$$\begin{array}{rlrlrlr}(1-p)+2(1-p{)}^2+3(1-p{)}^3+4(1-p{)}^4+\cdots & =& (1-p)& +(1-p{)}^2& +(1-p{)}^3& +(1-p{)}^4& +\cdots \\ & & & +(1-p{)}^2& +(1-p{)}^3& +(1-p{)}^4& +\cdots \\ & & & & (1-p{)}^3& +(1-p{)}^4& +\cdots \\ & & & & & +(1-p{)}^4& +\cdots \\ & & & & & ⋮& ,\end{array}$$

y así sucesivamente. Entonces la serie de $\text{(1)}$ puede reacomodarse como una «serie de series», en el sentido de que podemos reacomodarla como una serie cuyos términos son series:

$$\begin{array}{}\text{(2)}& p\sum _{y=1}^{\mathrm{\infty }}y(1-p{)}^y& =p\sum _{y=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{x=y}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^x.\end{array}$$

Ahora, las series «dentro» de la otra serie comienzan en el índice $y$, por lo que las series de la forma $\sum _{x=y}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^x$ pueden reescribirse como

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \sum _{x=y}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^x& =\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^{x+y},\end{array}$$

pues observa que los términos no se ven afectados. Escribe los primeros términos de ambas series, y observa cómo coinciden. Como $y$ es un valor constante con respecto al índice $x$, se tiene que

$$\begin{array}{rl}\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^{x+y}& =(1-p{)}^y\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^x=(1-p{)}^y\left(\frac{1}{1-(1-p)}\right)=\frac{(1-p{)}^y}{p}.\end{array}$$

En los últimos pasos del desarrollo anterior usamos que la serie es una serie geométrica. Volviendo a $\text{(2)}$, vemos que

$$\begin{array}{rl}p\sum _{y=1}^{\mathrm{\infty }}y(1-p{)}^y& =p\sum _{y=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{x=y}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^x\\ & =p\sum _{y=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(1-p{)}^y}{p}\\ & =\sum _{y=1}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^y,\end{array}$$

que también es una serie geométrica, que empieza en $1$. El valor de esta serie es

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \sum _{y=1}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^y& =\frac{1-p}{1-(1-p)}=\frac{1-p}{p},\end{array}$$

así que podemos concluir que el valor esperado de $Y$ es

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[Y\right]& =\frac{1-p}{p}.\end{array}$$

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¿Podemos hacer lo mismo para las v.a.’s continuas?

Hay dos motivos por los que el valor esperado de una v.a. continua difiere del de una v.a. discreta. El primero es que si replicamos la idea para una v.a. discreta, la suma resultante para una v.a. continua $X$ es

$$\begin{array}{r}\sum _{x\in X[\mathrm{\Omega }]}x\mathbb{P}(X=x),\end{array}$$

que es una suma con una cantidad infinita no numerable de términos, pues $X$ es una v.a. continua. Sin embargo, ese no es el único problema: como $X$ es una v.a. continua, entonces para cada $x\in \mathbb{R}$ se tiene que $\mathbb{P}(X=x)=0$, por lo que la suma anterior sería $0$ de cualquier manera.

Por ello, debemos de retomar el método para el cálculo de probabilidades en el caso de una v.a. continua. Esto es, si $X$ es una v.a. continua, entonces para $a$, $b\in \mathbb{R}$ tales que $a<b$ se tiene que

$$\begin{array}{r}\mathbb{P}(X\in (a,b])={\int }_a^b{f}_X(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

donde $f_X:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es la función de densidad de $X$. Integrar la función de densidad de $X$ sobre el intervalo $(a,b]$ nos da como resultado la probabilidad de que $X$ esté dentro de $(a,b]$. Por ello, para $\epsilon >0$ tal que $\epsilon$ es cercano a $0$, y para $x\in \mathbb{R}$, se tiene que

$$\begin{array}{r}\mathbb{P}(X\in (x-\frac{\epsilon }{2},x+\frac{\epsilon }{2}])={\int }_{x-\epsilon /2}^{x+\epsilon /2}{f}_X(t)\mathrm{d}t\approx \epsilon f_X(x).\end{array}$$

Esto obedece a que si $\epsilon$ es muy cercano a $0$, entonces el valor de la integral sobre el intervalo $(x-\frac{\epsilon }{2},x+\frac{\epsilon }{2}]$ será muy parecido al área del rectángulo cuya base es ese mismo intervalo y que tiene altura igual a $f_X(x)$.

Lo anterior quiere decir que la probabilidad de que $X$ se encuentre dentro de una vecindad de diámetro $\epsilon >0$ centrada en $x$ es muy parecida a $\epsilon f_X(x)$ cuando $\epsilon$ es un valor muy pequeño.

Las ideas anteriores son importantes, pues nos dicen que aunque $f_X(x)$ no es la probabilidad de que $X$ tome el valor $x$, sí guarda cierta relación con la probabilidad de que $X$ se encuentre muy cerca de $x$. De hecho, la discusión anterior (junto con la motivación de la integral de Riemann) nos dice que integrar

$$\begin{array}{r}{\int }_a^b{f}_X(t)\mathrm{d}t\end{array}$$

es como «sumar» las probabilidades de estar muy cerca de cada uno de los puntos en $(a,b]$, de la manera más refinada posible. Por ello, si tomamos la integral

$$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}t{f}_X(t)\mathrm{d}t,\end{array}$$

este valor será como «sumar» todos los valores en $(a,b]$ ponderados por la probabilidad de estar muy cerca de cada uno de ellos. ¡Esa es justamente la idea del valor esperado! Con esto ya estamos listos para definir el valor esperado de una v.a. continua.

Definición del valor esperado en el caso continuo

Al final de la discusión anterior llegamos a una expresión que captura la misma idea de un promedio ponderado, pero para el caso continuo. Es decir, la idea es la misma que en el caso de una v.a. discreta, pero en vez de sumar, tomamos una integral. Además, para obtener el valor esperado de una v.a. continua será necesario tomar la integral sobre todo $\mathbb{R}$. Esto da pie a la definición que presentamos a continuación.

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Definición. Sea $X:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$ una variable aleatoria continua. Definimos el valor esperado de $X$ (o la esperanza de $X$) como

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[X\right]& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x{f}_X(x)\mathrm{d}x,\end{array}$$

siempre que esta integral sea absolutamente convergente. Esto es,

$$\begin{array}{r}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|x{f}_X(x)|\mathrm{d}x<\mathrm{\infty },\end{array}$$

donde $f_X:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es la función de densidad de $X$. En caso de que la integral no sea absolutamente convergente, se dice que el valor esperado de $X$ no está definido, o que es infinito.

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En este caso no tenemos una versión formal como la primera que dimos del valor esperado de una v.a. discreta. Para la construcción de una definición así es necesario contar con una herramienta que no hemos construido en este curso, y es probable que no conozcas: la integral de Lebesgue. Por ello, algunas propiedades del valor esperado en el caso continuo serán más complicadas de demostrar. No obstante, la definición que hemos dado es suficiente para calcular el valor esperado de cualquier v.a. continua que se te ocurra.

Ejemplo 2. Como el valor esperado de una v.a. continua está dado por una integral, es recomendable que recuerdes los métodos de integración que viste en tu curso de Cálculo Diferencial e Integral II. Si lo necesitas, puedes hacer click aquí para consultar nuestras notas de esa materia.

Sea $Z$ una v.a. continua con distribución exponencial con parámetro $\lambda >0$. Es decir, $Z$ tiene función de densidad $f_Z:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por

$$\begin{array}{r}{f}_Z(z)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda z}& \text{si }z\ge 0,\\ 0& \text{en otro caso}.\end{array}\end{array}$$

Veamos cuál es el valor esperado de $Z$. Para ello, primero observa que como $f_Z(z)=0$ para cada $z<0$, se tiene que

$$\begin{array}{r}\mathbb{E}\left[Z\right]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}z{f}_Z(z)\mathrm{d}z={\int }_0^{\mathrm{\infty }}z{f}_Z(z)\mathrm{d}z.\end{array}$$

Esto es algo que siempre hay que revisar al momento de calcular el valor esperado de una v.a. continua: la integral se reduce al subconjunto de $\mathbb{R}$ sobre el que la función de densidad es mayor a $0$.

De este modo, tenemos que

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[Z\right]& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}z\left(\lambda e^{-\lambda z}\right)\mathrm{d}z,\end{array}$$

que es una integral que podemos resolver mediante el método de integración por partes. Para ello, sea $u=z$ y $dv=\lambda e^{-\lambda z}$. De este modo, tendremos que $v=-e^{-\lambda z}$ y $du=dz$, así que

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}z\left(\lambda e^{-\lambda z}\right)\mathrm{d}z& =(-z{e}^{-\lambda z}){|}_0^{\mathrm{\infty }}+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\lambda z}\mathrm{d}z\\ & =[0\cdot e^{-\lambda \cdot 0}-\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}z{e}^{-\lambda z}]+\frac{1}{\lambda }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\lambda e^{-\lambda z}\\ & =[0-\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{z}{e^{\lambda z}}]+\frac{1}{\lambda }(-e^{-\lambda z}){|}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =[0-0]+\frac{1}{\lambda }[e^{-\lambda \cdot 0}-\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-\lambda z}]\\ & =\frac{1}{\lambda }[1-0]\\ & =\frac{1}{\lambda }.\end{array}$$

Por lo tanto, se concluye que

$$\begin{array}{r}\mathbb{E}\left[Z\right]=\frac{1}{\lambda }.\end{array}$$

Es decir, el valor esperado de una v.a. con distribución exponencial de parámetro $\lambda$ es $\frac{1}{\lambda }$.

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Tarea moral

Los siguientes ejercicios son opcionales. Es decir, no formarán parte de tu calificación. Sin embargo, te recomiendo resolverlos para que desarrolles tu dominio de los conceptos abordados en esta entrada.

1. Verifica que la identidad $\text{(3)}$ es verdadera. Sugerencia: Escribe los primeros términos de ambas series, y observa que coinciden.
2. Dados $r\in (0,1)$ y $a\in \mathbb{R}$, conocemos el valor de la serie geométrica con coeficiente $a$ y razón $r$:$$\begin{array}{r}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^n=\frac{a}{1-r},\end{array}$$ donde es importante notar que la serie empieza en $0$. No obstante, en $\text{(4)}$ nosotros usamos el valor de una serie geométrica que empieza en $1$. ¿Cómo le haces para pasar de la versión que empieza en $0$ a la versión que empieza en $1$?
3. Sean $a$, $b\in \mathbb{R}$ tales que $a<b$. Una v.a. con distribución uniforme sobre el intervalo $[a,b]$ es una v.a. $U$ con función de densidad $f_U:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por$$f_U(u)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{b-a}}& \text{si }u\in [a,b],\\ 0& \text{en otro caso}.\end{array}$$¿Cuál es el valor esperado de $U$?

Más adelante…

El valor esperado (o esperanza) es un valor importante que intenta resumir una parte del comportamiento probabilístico de una v.a. Por ello, su uso es muy común en contextos aplicados en los que se busca analizar cuantitativamente un fenómeno aleatorio, como la inferencia estadística (y sus ramas).

En la siguiente entrada comenzaremos el estudio de algunas propiedades importantes del valor esperado.

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