Introducción
En la entrada antepasada definimos lo que es una medida de probabilidad. Esto es, dimos una lista de propiedades que debe de cumplir una función para llamarla «medida de probabilidad». Como en toda teoría matemática, esto da lugar a más propiedades. Por ello, en esta entrada veremos varios resultados que se desprenden de la definición de medida de probabilidad.
Regla de complementación
Dado
Proposición. Sea
Demostración. Sea
Por otro lado, por la definición del complemento relativo se tiene que
Finalmente, despejando a
Esta propiedad será útil en numerosos ejemplos de conteo que veremos más adelante.
¿Qué pasa con la probabilidad de la unión de dos eventos?
En la entrada antepasada nos encontramos con un problema. Al momento de obtener la suma de las probabilidades de dos eventos
Proposición. Sea
Demostración. Sean
Además, observa que
y además,
Sumando estas dos expresiones obtenemos que
Ahora, observa que
Luego, sustituyendo
En conclusión, hemos llegado a que
que es justamente lo que queríamos demostrar.
Alternativamente, la expresión que obtuvimos en esta proposición puede escribirse como sigue.
que corresponde a «quitar» la parte que contamos más de una vez en la probabilidad de
Interpretación visual del principio de inclusión-exclusión
En el caso para
Al colorearlos, estamos pensando que lo coloreado de color rojo representa a
En la figura anterior resaltamos con la misma opacidad a todo
Principio de inclusión-exclusión para más eventos
El principio de inclusión-exclusión aplica para cualquier familia finita de eventos. Por ejemplo, sean
Aplicamos nuevamente el P.I.E. para
Luego, podemos aplicar la distributividad a
Aplicando nuevamente el P.I.E. para
y recordando que la intersección de conjuntos es conmutativa y asociativa, podemos reacomodar el último término de
y así, la igualdad
Finalmente, sustituimos
que puede reescribirse como
En conclusión, obtuvimos una fórmula para el cálculo de la probabilidad de la unión de cualesquiera
Interpetación visual del P.I.E. para tres eventos
Nuevamente podemos auxiliarnos de un diagrama de Venn-Euler para representar visualmente a los
Con rojo representamos a
En esta última figura, representamos el valor
Al sumar
Generalización del P.I.E.
El principio de inclusión-exclusión puede generalizarse para cuando se tienen
Teorema. Sea
que puede escribirse de forma cerrada como sigue:
La segunda fórmula se ve un poco fea, pero en realidad no es tan horrible. Observa que se trata de una «suma de sumas». Es decir, para cada
Ejemplo. Obtengamos la expresión para
La suma de afuera cuenta con
Veamos el primer término. Este corresponde a la suma sobre todos los
y observa que las intersecciones en cada término son simplemente
Para el segundo término, el índice
Ahora, cada una de las intersecciones en la expresión anterior queda como sigue:
por lo que
Finalmente, para el último término, el índice corre por todos los subconjuntos de
por lo que podemos concluir que
que es justamente la expresión que habíamos obtenido previamente.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios son opcionales. Es decir, no formarán parte de tu calificación. Sin embargo, te recomiendo resolverlos para que desarrolles tu dominio de los conceptos abordados en esta entrada.
- Sea
un espacio de probabilidad, y sean , , y eventos. Obtén una fórmula para obtener . Para ello, te proponemos dos caminos:- Sugerencia 1. Sigue un camino similar al que seguimos para obtener el P.I.E. para
eventos. Es decir, aplica los P.I.E. que ya tienes (para y para eventos) de manera conveniente. Como pista, aplica el P.I.E. para eventos a , y . - Sugerencia 2. Utiliza cualquiera de las fórmulas del último teorema de esta entrada para
y haz el desarrollo correctamente.
- Sugerencia 1. Sigue un camino similar al que seguimos para obtener el P.I.E. para
- Intenta demostrar el último teorema de esta entrada. Esto puede hacerse por inducción sobre
, el número de elementos en la familia finita de eventos.- Sugerencia. Utiliza inducción fuerte. Es decir, primero observa que la igualdad es cierta para
. Luego, demuestra que para cualquier , si la igualdad es verdadera para cada , entonces es cierta para . En este paso será necesario que uses la de eventos y la de eventos para proceder.
- Sugerencia. Utiliza inducción fuerte. Es decir, primero observa que la igualdad es cierta para
Más adelante…
En esta entrada vimos dos propiedades muy importantes de una medida de probabilidad: la regla de complementación y el principio de inclusión-exclusión. La primera será de mucha utilidad cuando veamos algunos ejercicios de conteo, en donde buscaremos calcular la probabilidad de eventos que parecen muy complicados en principio, pero que esta regla facilitará el cálculo. Por otro lado, el principio de inclusión-exclusión es una herramienta un poco complicada, pero que permite el cálculo de la probabilidad de la unión de cualesquiera
En la siguiente entrada veremos algunas propiedades más de una medida de probabilidad. Una vez que terminemos con las propiedades que tiene cualquier medida de probabilidad, centraremos nuestra atención en nuestros primeros ejemplos concretos de medida de probabilidad, cuya relevancia histórica los hace destacables.
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- Entrada anterior del curso: Interpretación de las Operaciones con Eventos
- Siguiente entrada del curso: Propiedades de una Medida de Probabilidad, parte 2
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