(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota analizaremos a las funciones observando las imágenes de subconjuntos del dominio y los elementos del dominio que bajo la función son asignados a ciertos elementos tomados del codominio.

Definición

Sean $A$ y $B$ conjuntos, $f:A\to B$ una función. Dado $A^{\prime }\subseteq A$, la imagen directa de $A^{\prime }$ bajo $f$ es:

$f[A^{\prime }]=\{f(x)\mid x\in A^{\prime }\}.$

Dado $B^{\prime }\subseteq B$ la imagen inversa de $B^{\prime }$ bajo $f$ es:

$f^{-1}[B^{\prime }]=\{x\in A\mid f(x)\in B^{\prime }\}.$

Observa que:

$f[A^{\prime }]\subseteq B$ y que $f^{-1}[B^{\prime }]\subseteq A$, además $f[A]=Imf$.

Ejemplos

1. $f:\{1,2,3,4,5\}\to \{-2,-1,0,1\}$.

$f(1)=f(2)=-1$, $f(3)=f(4)=0$, $f(5)=1$.

Si $A^{\prime }=\{1,2,5\}$, entonces $f[A^{\prime }]=\{-1,1\}$.

Mientas que si $B^{\prime }=\{-2,0,1\}$, entonces $f^{-1}[B^{\prime }]=\{3,4,5\}$.

2. $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2$

$A^{\prime }=[-1,2]$

$g[A^{\prime }]=\{x\in \mathbb{R}\mid 0\le x\le 4\}$

Observa el siguiente clip donde se asigna a los elementos de $A^{\prime }$ que se muestran en verde, a los elementos de su imagen directa $g[A^{\prime }]$ que se muestran en rojo.

Ahora considera $A^{\prime \prime }=[0,2]$

$g[A^{\prime \prime }]=\{x\in \mathbb{R}\mid 0\le x\le 4\}$

Observa el siguiente clip

Observa que, aunque $A^{\prime }\ne A^{\prime \prime }$, tienen la misma imagen directa $g[A^{\prime }]=g[A^{\prime \prime }].$

Ahora analicemos la definición de imagen inversa con el mismo ejemplo.

Si $B^{\prime }=[0,1]$, la imagen inversa de $B^{\prime }$ bajo $f$ es:

$f^{-1}[B^{\prime }]=\{x\in \mathbb{R}\mid g(x)\in [0,1]\}$

$f^{-1}[B^{\prime }]=\{x\in \mathbb{R}\mid -1\le x\le 1\}$

En el siguiente clip se muestran en rojo los elementos de $B^{\prime }$ y en verde los elementos de $f^{-1}[B^{\prime }]$.

Observa que si $B^{\prime \prime }=[-1,1]$, la imagen inversa de $B^{\prime \prime }$ bajo $f$ es la misma que $B^{\prime }$, $f^{-1}[B^{\prime \prime }]=\{x\in \mathbb{R}\mid -1\le x\le 1\}$, pues no hay números reales elevados al cuadrado que vayan a dar números negativos. Observa el siguiente clip:

Si $C=[-2,-1]$ entonces $f^{-1}[C]=\mathrm{\varnothing }$, por que para todo $x\in \mathbb{R}$, $f(x)=x^2\notin [-2,-1]$.

Proposición

Sean $A$ y $B$ conjuntos, $f:A\to B$ una función, $A^{\prime }\subseteq A$, $B^{\prime }\subseteq B$. Se cumple que:

1. $A^{\prime }\subseteq f^{-1}[f[A^{\prime }]]$
2. $f[f^{-1}[B^{\prime }]]\subseteq B^{\prime }$

Demostración

Demostración de 1

Por demostrar que $A^{\prime }\subseteq f^{-1}[f[A^{\prime }]]$

Sea $a\in A^{\prime }\subseteq A$, entonces $f(a)\in f[A^{\prime }]=\{f(x)\in B\mid x\in A^{\prime }\}$, así $a$ cumple con la propiedad del siguiente conjunto $\{x\in A\mid f(x)\in f[A^{\prime }]\}$, es decir $a\in \{x\in A\mid f(x)\in f[A^{\prime }]\}$ que es por definición $f^{-1}[f[A^{\prime }]]$, entonces $a\in f^{-1}[f[A^{\prime }]]$.

Por lo tanto $A^{\prime }\subseteq f^{-1}[f[A^{\prime }]]$.

Demostración de 2

Por demostrar que $f[f^{-1}[B^{\prime }]]\subseteq B^{\prime }$.

Sea $b\in f[f^{-1}[B^{\prime }]]=\{f(x)\mid x\in f^{-1}[B^{\prime }]\}$, eso nos indica que existe $a\in f^{-1}[B^{\prime }]=\{x\in A\mid f(x)\in B^{\prime }\}$ tal que $f(a)=b$ y, como $a$ cumple las características que definen a los elementos del conjunto $\{x\in A\mid f(x)\in B^{\prime }\}$, tenemos que $f(a)\in B^{\prime }$. Así, $b=f(a)\in B^{\prime }$.

Por lo tanto $f[f^{-1}[B^{\prime }]]\subseteq B^{\prime }$.

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Tarea moral

Considera la siguiente función:

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=-3x^2$

• Para $A=[-3,4]$ calcula $f^{-1}[f[A]]$. ¿Qué relación tiene con $A$?
• Para $B=[-12,1]$ calcula $f[f^{-1}[B]]$. ¿Qué relación tiene con $B$?

Más adelante

En la siguiente nota hablaremos de la composición de funciones y sus propiedades.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 7 Relaciones y funciones.

Enlace a la nota siguiente. Nota 9. Composición de funciones.