(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la presente nota veremos el concepto de base de un subespacio vectorial, es decir un conjunto de vectores linealmente independiente, cuyo generado nos da el subespacio vectorial. Este concepto es muy importante pues nos permite describir a los elementos de un subespacio a partir de algunos vectores en el subespacio de forma única.

Definición

Sean $V$ un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$ y $\beta$ un subconjunto de $V$. Decimos que $\beta$ es una base de $V$ si genera a $V$ y es linealmente independiente. Decimos que $V$ es de dimensión finita si tiene una base finita.

Ejemplos

$1.$ En este ejemplo obtendremos una base para el espacio vectorial ${\mathbb{R}}^n$. Considera el vector cuyas entradas son todas cero excepto la $i$-ésima que es uno:

$e_i=(0,\dots ,1,\dots ,0).$

Veamos que $\mathcal{C}=\{e_1,\dots ,e_n\}$ es $l.i.$ Sean ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in {\mathbb{R}}^n$ tales que:

${\lambda }_1{e}_1+\dots +{\lambda }_n{e}_n=\overline{0}.$

Entonces tenemos

${\lambda }_1(1,0,\dots ,0)+{\lambda }_2(0,1,\dots ,0)+\cdots +{\lambda }_n(0,0,\dots ,0,1)=(0,0,\dots ,0).$

Desarrollando resulta que

$({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)=(0,0,\dots ,0)$

y comparando coordenada a coordenada concluimos que

${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=0.$

Por lo tanto $\mathcal{C}=\{e_1,\dots ,e_n\}$ es $l.i.$

Veamos que $\mathcal{C}=\{e_1,\dots ,e_n\}$ genera a ${\mathbb{R}}^n$. Sabemos que $⟨\mathcal{C}⟩\subseteq {\mathbb{R}}^n$ ya que $e_1,\dots ,e_n\in {\mathbb{R}}^n$, y por lo tanto toda combinación lineal de ellos es un vector en ${\mathbb{R}}^n$.

Ahora si $(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$

$(x_1,x_2,\dots ,x_n)=x_1(1,0,\dots ,0)+x_2(0,1,\dots ,0)+\dots +x_n(0,0,\dots ,1).$

Observa que $x_1(1,0,\dots ,0)+x_2(0,1,\dots ,0)+\dots +x_n(0,0,\dots ,1)$ es una combinación lineal de los elementos de $\mathcal{C}=\{e_1,\dots ,e_n\}$, es decir $x_1(1,0,\dots ,0)+x_2(0,1,\dots ,0)+\dots +x_n(0,0,\dots ,1)\in ⟨\mathcal{C}⟩$. Así, cualquier vector en ${\mathbb{R}}^n$ es un elemento en $⟨\mathcal{C}⟩$, es decir ${\mathbb{R}}^n\subseteq ⟨\mathcal{C}⟩$.

Concluimos que ${\mathbb{R}}^n=⟨\mathcal{C}⟩$.

Como el conjunto $\mathcal{C}=\{e_1,\dots ,e_n\}$ es linealmente independiente y genera a ${\mathbb{R}}^n$, es una base de ${\mathbb{R}}^n$, se le llama la base canónica de ${\mathbb{R}}^n$.

$2.$ Consideremos el subespacio de ${\mathbb{R}}^3$ dado por $W=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x-y+2z=0\}$. Busquemos una base de $W$.

Notemos que si $(x,y,z)\in W$, entonces $x-y+2z=0$, o bien $x=y-2z.$ Así,

$(x,y,z)=(y-2z,y,z)=y(1,1,0)+z(-2,0,1).$

Entonces

$W=\{y(1,1,0)+z(-2,0,1)\mid y,z\in \mathbb{R}\}=⟨(1,1,0),(-2,0,1)⟩.$

Con ello hemos probado que el conjunto $S=\{(1,1,0),(-2,0,1)\}$ genera a $W$, así que sólo falta ver que es un conjunto linealmente independiente para verificar que es una base de $W$.

Para ver que $S$ es linealmente independiente veamos que la única manera de obtener al vector cero como combinación lineal de $(1,1,0),(-2,0,1)\in W$, es la trivial. Pero esto es cierto pues si $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ son tales que

$\lambda (1,1,0)+\mu (-2,0,1)=(0,0,0)$,

desarrollando tenemos que:

$(\lambda -2\mu ,\lambda ,\mu )=(0,0,0)$

y comparando coordenada a coordenada obtenemos que

$\begin{array}{}\text{(1)}& \lambda -2\mu & =0\text{(2)}& \lambda & =0\text{(3)}& \mu & =0.\end{array}$

Por lo tanto $\lambda =\mu =0$.

Así, $S=\{(1,1,0),(-2,0,1)\}$ es $l.i.$

Concluimos que $S$ es un conjunto de vectores $l.i$ y $⟨S⟩=W$, entonces $S$ es una base de $W$. Así, $S=\{(1,1,0),(-2,0,1)\}$ es una base de $W$.

Entendamos un poco más quién es $W$. Observamos que de hecho $W$ es un plano que pasa por el origen, y tanto $(1,1,0)$ como $(-2,0,1)$ son vectores en dicho plano. $W$ es entonces el plano definido por estos dos vectores. Notemos que cualquier combinación lineal de $(1,1,0)$ y $(-2,0,1)$ será también un vector en el plano $W$ y todo vector en $W$ se puede obtener como una combinación lineal de dichos vectores. Además, como $(1,1,0)$ y $(-2,0,1)$ no son colineales, por el lema de la nota previa forman un conjunto linealmente independiente.

Observa en el siguiente recurso que elaboré en Geogebra cómo cualquier combinación lineal de los vectores $(1,1,0),(-2,0,1)$, es un elemento del plano que pasa por el origen y la punta de los vectores $(1,1,0)$ y $(-2,0,1)$, que son los vectores en color rosa. Este plano está en color azul, mientras que el plano en color gris es el plano $xy$.

Puedes también mover los puntos $A$ y $B$ para cambiar el par de vectores con los que se construye el plano y ver cómo es el generado de esos vectores. Mueve $A$ y $B$ de manera que sean colineales y constata que el generado en ese caso se limita a una recta.

El siguiente resultado se puede probar usando sistemas de ecuaciones. El lector interesado puede escribir la demostración siguiendo las ideas del Teorema 7 en la página 181del libro de Anton que aparece en la bibliografía del curso.

Nota

Sean $V$ un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$ y $m$ un natural positivo. Si $\{v_1,\dots ,v_m\}$ es un conjunto con $m$ vectores que genera a $V$, todo conjunto $l.i$ de $V$ tiene a lo más $m$ elementos. En consecuencia todo conjunto $l.i$ de ${\mathbb{R}}^n$ tiene a lo más $n$ elementos.

Lema

Sean $m$ un natural positivo y $\{v_1,\dots ,v_m\}$ un conjunto $l.i$ con $m$ vectores en ${\mathbb{R}}^n$. Si $w\in {\mathbb{R}}^n$ es tal que $w\notin ⟨v_1,\dots ,v_m⟩$ entonces $\{v_1,\dots ,v_m,w\}$ es $l.i.$

Demostración

Sean $m$ un natural positivo y $\{v_1,\dots ,v_m\}\subseteq {\mathbb{R}}^n$ un conjunto $l.i$con $m$ vectores y $w\in {\mathbb{R}}^n$ con $w\notin ⟨v_1,\dots ,v_m⟩$.

Sean ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_{m+1}\in \mathbb{R}$ tales que

${\lambda }_1{v}_1+\cdots +{\lambda }_m{v}_m+{\lambda }_{m+1}w=\overline{0}.$

Si ${\lambda }_{m+1}\ne 0$ tendríamos que

$w=-\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_{m+1}}{v}_1-\cdots -\frac{{\lambda }_m}{{\lambda }_{m+1}}{v}_m,$

entonces $w$ sería una combinación lineal de los elementos del conjunto $\{v_1,\dots ,v_m\}$, y por lo tanto $w\in ⟨v_1,\dots ,v_m⟩$. Pero esto es una contradicción a nuestra hipótesis, así ${\lambda }_{m+1}=0$, de donde ${\lambda }_1{v}_1+\cdots +{\lambda }_m{v}_m=\overline{0}$ y como $\{v_1,\dots ,v_m\}$ es $l.i.$ tenemos que ${\lambda }_1={\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_m=0$. Concluimos que ${\lambda }_1={\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_m={\lambda }_{m+1}=0$ y por lo tanto $\{v_1,\dots ,v_m,w\}$ es $l.i.$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Teorema

Sea $V$ un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$. Existe $\beta$ una base de $V$.

Demostración

Sea $V\le {\mathbb{R}}^n$. Si $V=\{\overline{0}\}$, $\mathrm{\varnothing }$ es $l.i$ y $⟨\mathrm{\varnothing }⟩=\{\overline{0}\}=V$.

Si $V\ne \{\overline{0}\}$ existe $v_1\in V$ tal que $v_1\ne \overline{0}.$

Puede suceder que $⟨v_1⟩=V$ en cuyo caso $\{v_1\}$ es una base de $V$.

Si $⟨v_1⟩⊊V$, sea $v_2\in V\setminus ⟨v_1⟩$. Por el lema antes probado $\{v_1,v_2\}$ es $l.i.$

Si $\{v_1,v_2\}$ genera a $V$, $\{v_1,v_2\}$ es una base de $V$.

Si $⟨v_1,v_2⟩⊊V$, sea $v_3\in V\setminus ⟨v_1,v_2⟩$. Por el lema antes probado $\{v_1,v_2,v_3\}$ es $l.i.$

Continuando de este modo obtenemos conjuntos de la forma $\{v_1,\dots ,v_t\}$, $l.i.$ en cada paso. Por la nota anterior, en cada paso $t\le n$ así que el proceso es finito y en algún momento (a lo mucho después de $n$ pasos), obtenemos un conjunto $\beta =\{v_1,\dots ,v_m\}\subseteq V$, con $m\le n$, un conjunto $l.i$ que genera a $V$ y sería entonces una base de $V$.

Por lo tanto $V$ tiene una base.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Corolario

Sea $V$ un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$. Todo conjunto $l.i$ de $V$ se puede completar a una base de $V$, es decir, si $\beta$ es un conjunto $l.i$ de $V$, existe $\gamma$ con $\beta \subseteq \gamma$ tal que $\gamma$ es una base de $V$.

Demostración

Esta demostración queda como tarea moral.

Teorema

Sea $V$ un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$. Todas las bases de $V$ son finitas y tienen el mismo número de elementos.

Demostración

Sea $V$ un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$ y sean $\beta ,{\beta }^{\prime }$ bases de $V$.

Por la nota que aparece en esta entrada $\beta$ y ${\beta }^{\prime }$ son finitas y además como:

$\beta$ es $l.i$ y ${\beta }^{\prime }$ genera a $V$, entonces $\mathrm{\#}\beta \le \mathrm{\#}{\beta }^{\prime }$.

${\beta }^{\prime }$ es $l.i$ y $\beta$ genera a $V$, entonces $\mathrm{\#}{\beta }^{\prime }\le \mathrm{\#}\beta$.

Por lo tanto $\mathrm{\#}\beta =\mathrm{\#}{\beta }^{\prime }$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Tarea Moral

$1.$ Considera al espacio vectorial ${\mathbb{R}}^3$ sobre el campo de los reales y el subconjunto de ${\mathbb{R}}^3$ indicado en cada inciso. Encuentra una base de ${\mathbb{R}}^3$ que contenga a $S$:

$i)$ $S=\{(1,0,1)\}.$

$ii)$ $S=\{(-2,1,5),(3,0,2)\}.$

$2.$ Considera al espacio vectorial ${\mathbb{R}}^3$ sobre el campo de los reales. Encuentra al menos tres bases para el subespacio $W=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x-3y+4z=0\}$. ¿Cuántos elementos tienen estas bases?

$3.$ Encuentra bases para los siguientes subespacios del correspondiente ${\mathbb{R}}^n$ visto como espacio vectorial sobre los reales:

$i)$ $\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid 3x-2y+5z=0\}$

$ii)$ $\{(x,y,z,w)\in {\mathbb{R}}^4\mid x=y+w\}$

Más adelante

En la siguiente nota veremos el concepto de dimensión de un espacio vectorial.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 30. Dependencia e independencia lineal

Enlace a la nota siguiente. Nota 32. Dimensión de un $\mathbb{R}-$ espacio vectorial