(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota veremos qué significa que un conjunto de vectores en ${\mathbb{R}}^n$ sea linealmente dependiente o linealmente independiente y veremos que esta idea está íntimamente relacionada a distinguir cuándo un conjunto de vectores tiene entre sus elementos algún vector que sea combinación lineal de los otros.

Definición

Sean $m\in \mathbb{N}$, $m>0$, $S=\{v_1,\dots ,v_m\}\subseteq {\mathbb{R}}^n$ con $m$ vectores.

El conjunto $S$ es linealmente dependiente si existen ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m\in \mathbb{R}$ no todos nulos tales que:

${\lambda }_1{v}_1+\dots +{\lambda }_m{v}_m=\overline{0}.$

Decimos que $S$ es linealmente independiente en caso contrario, es decir, si se tiene que

${\lambda }_1{v}_1+\dots +{\lambda }_m{v}_m=\overline{0}$ con ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m\in \mathbb{R}$, implica que ${\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_m=0$.

En otras palabras, $S$ es linealmente independiente si la única manera de obtener una combinación lineal de esos vectores igual al vector cero, es si en ella todos los vectores están multiplicados por cero.

Abreviaremos $l.d$ o $l.i$ respectivamente.

Ejemplos

$1.$ Sean $v_1=(2,4),v_2=(-1,5),v_3=(-2,-4)$ vectores de ${\mathbb{R}}^2$.

Como $(0,0)=v_1+v_3=1v_1+0v_2+1v_3+0v_4$, el conjunto $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ es $l.d.$

$2.$ Sean $v_1=(-1,2,4),v_2=(1,8,8),v_3=(1,3,2)$ vectores de ${\mathbb{R}}^3$.

Como $(0,0)=v_1-v_2+2v_3=1v_1+(-1)v_2+2v_3$, el conjunto $\{v_1,v_2,v_3\}$ es $l.d.$

$3.$ Sean $v_1=(-2,1,0,1),v_2=(1,0,-1,0),v_3=(0,1,3,2)$ vectores de ${\mathbb{R}}^4$. ¿Es $\{v_1,v_2,v_3\}$ linealmente independiente?

Sean $\lambda ,\mu ,\nu \in \mathbb{R}$ tales que:

$\lambda (-2,1,0,1)+\mu (1,0,-1,0)+\nu (0,1,3,2)=(0,0,0,0).$

Desarrollando la expresión anterior obtenemos que:

$(-2\lambda +\mu ,\lambda +\nu ,-\mu +3\nu ,\lambda +2\nu )=(0,0,0,0)$

Comparando coordenada a coordenada obtenemos:

$\begin{array}{}\text{(1)}& -2\lambda +\mu & =0\text{(2)}& \lambda +\nu & =0\text{(3)}& -\mu +3\nu & =0\text{(4)}& \lambda +2\nu & =0\end{array}$

Restando la ecuación $2$ a la $4$ tenemos que $\nu =0$, y entonces por la ecuación $3$ tenemos que $\mu =3\nu =3\cdot 0=0$. Además, de la ecuación $2$ sabemos que $\lambda =-\nu =-0=0$, de forma que $\lambda =\mu =\nu =0$ y por lo tanto el conjunto $\{v_1,v_2,v_3\}$ es linealmente independiente.

Observa que lo que hemos tratado de exhibir en estos ejemplos para probar si un conjunto de vectores $v_1,\dots ,v_m\in {\mathbb{R}}^n$ distintos, es $l.d$ o $l.i$, consiste en ver si existen ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m\in \mathbb{R}$ no todos nulos tales que ${\lambda }_1{v}_1+\dots +{\lambda }_m{v}_m=\overline{0}$, o si la única forma de que ${\lambda }_1{v}_1+\dots +{\lambda }_m{v}_m=\overline{0}$, es que ${\lambda }_1=\dots ={\lambda }_m=0$. En el primer caso el conjunto es $l.d$ y en el segundo $l.i.$

Observación 1

Sean $S$ y $S^{\prime }$ subconjuntos finitos de ${\mathbb{R}}^n$ con $S^{\prime }\subseteq S$.

$a)$ Si $S^{\prime }$ es $l.d$, entonces $S$ es $l.d$.

$b)$ Si $S$ es $l.i$, entonces $S^{\prime }$ es $l.i$.

Demostración de $a)$.

Sean $S^{\prime }\subseteq S\subseteq {\mathbb{R}}^n$ con $S$ y $S^{\prime }$ finitos. Entonces los conjuntos son de la forma

$S=\{v_1,\dots ,v_t\}$

$S^{\prime }=\{v_1,\dots ,v_t,v_{t+1},\dots ,v_m\},$

para algunos $t,m$ naturales positivos con $t\le m$. Supongamos que $S^{\prime }$ es $l.d$. Así, existen ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_t\in \mathbb{R}$ no todos nulos tales que ${\lambda }_1{v}_1+\dots +{\lambda }_t{v}_t=\overline{0}$.

Tenemos entonces que ${\lambda }_1{v}_1+\dots +{\lambda }_t{v}_t+0v_{t+1}+\dots +0v_m=\overline{0}$ con ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_t,0\in \mathbb{R}$ no todos nulos, por lo tanto $S$ es $l.d.$

Demostración de $b)$.

Es la contrapuesta de $a)$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Observación 2

Dos vectores en ${\mathbb{R}}^n$ forman un conjunto $l.d$ si y sólo si uno es múltiplo del otro.

Demostración

$⟹$ Demostración de la implicación de ida

Supongamos que $\{u,v\}$ es $l.d$. Entonces existen $\lambda ,\gamma \in \mathbb{R}$ no ambos nulos tales que $\lambda u+\gamma v=\overline{0}$. Si $\lambda \ne 0$ tenemos que $u=-\frac{\gamma }{\lambda }v$, y si $\gamma \ne 0$ tenemos que $v=-\frac{\lambda }{\gamma }u$.

$⟸$ Demostración de la implicación de regreso

Sin pérdida de generalidad supongamos que $u=\mu v$ con $\mu \in \mathbb{R}$, entonces $1u+(-\mu )v=\overline{0}$ con $1\ne 0$. Así, $\{u,v\}$ es $l.d$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Tarea Moral

$1.$ Considera al espacio vectorial ${\mathbb{R}}^3$ sobre el campo de los reales. Determina si los siguientes conjuntos son $l.i$.

$i.$ $\{(1,2,4),(0,0,3),(0,1,7)\}$

$ii.$ $\{(2,1,1),(-1,1,1),(1,0,0)\}$

$2.$ Considera al espacio vectorial ${\mathbb{R}}^2$ sobre el campo de los reales. ¿Para qué valores de $k$ el conjunto $\{(3k,2),(-k,k+1)\}$ es $l.i$?.

$3.$ Considera al espacio vectorial ${\mathbb{R}}^3$ sobre el campo de los reales. Sea $S=\{v_1,v_2,v_3\}$ un subjconjunto de ${\mathbb{R}}^3$ tal que ningun vector en él es múltiplo de otro. ¿Es $S$ linealmente independiente?

$4.$ Considera al espacio vectorial ${\mathbb{R}}^n$ sobre el campo de los reales. Sea $S=\{v_1,\dots ,v_m\}$ un subjconjunto de ${\mathbb{R}}^n$ tal que todo subconjunto de $S$ con $m-1$ vectores es linealmente independiente. ¿Es $S$ linealmente independiente?

Más adelante.

En la siguiente nota estudiaremos el concepto de base del espacio vectorial ${\mathbb{R}}^n$ y de base de un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 29. Subespacio generado

Enlace a la nota siguiente. Nota 31. Bases de ${\mathbb{R}}^n$