(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En esta nota veremos qué significa que un conjunto de vectores en $\mathbb R^n$ sea linealmente dependiente o linealmente independiente y veremos que esta idea está íntimamente relacionada a distinguir cuándo un conjunto de vectores tiene entre sus elementos algún vector que sea combinación lineal de los otros.
Definición
Sean $m\in\mathbb N$, $m>0$, $S=\set{v_1,\dotsc,v_m}\subseteq \mathbb R^n$ con $m$ vectores.
El conjunto $S$ es linealmente dependiente si existen $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$ no todos nulos tales que:
$\lambda_1 v_1+\dotsc +\lambda_m v_m=\bar{0}.$
Decimos que $S$ es linealmente independiente en caso contrario, es decir, si se tiene que
$\lambda_1 v_1+\dotsc +\lambda_m v_m=\bar{0}$ con $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$, implica que $\lambda_1=\cdots=\lambda_m=0$.
En otras palabras, $S$ es linealmente independiente si la única manera de obtener una combinación lineal de esos vectores igual al vector cero, es si en ella todos los vectores están multiplicados por cero.
Abreviaremos $l.d$ o $l.i$ respectivamente.
Ejemplos
$1.$ Sean $v_1=(2,4),v_2=(-1,5),v_3=(-2,-4)$ vectores de $\mathbb R^2$.
Como $(0,0)=v_1+v_3=1 v_1+0 v_2+1 v_3+0 v_4$, el conjunto $\set{v_1,v_2,v_3,v_4}$ es $l.d.$
$2.$ Sean $v_1=(-1,2,4),v_2=(1,8,8),v_3=(1,3,2)$ vectores de $\mathbb R^3$.
Como $(0,0)=v_1-v_2+2 v_3 =1 v_1+(-1) v_2+2 v_3$, el conjunto $\set{v_1,v_2,v_3}$ es $l.d.$
$3.$ Sean $v_1=(-2,1,0,1),v_2=(1,0,-1,0),v_3=(0,1,3,2)$ vectores de $\mathbb R^4$. ¿Es $\set{v_1,v_2,v_3}$ linealmente independiente?
Sean $\lambda,\mu, \nu \in \mathbb R$ tales que:
$\lambda (-2,1,0,1)+\mu (1,0,-1,0)+\nu (0,1,3,2)=(0,0,0,0).$
Desarrollando la expresión anterior obtenemos que:
$(-2\lambda+\mu,\lambda+\nu,-\mu+3\nu,\lambda+2 \nu)=(0,0,0,0)$
Comparando coordenada a coordenada obtenemos:
$\begin{align} -2\lambda+\mu &=0\\ \lambda+\nu &=0\\-\mu+3\nu &=0\\ \lambda+2 \nu &=0 \end{align}$
Restando la ecuación $2$ a la $4$ tenemos que $\nu=0$, y entonces por la ecuación $3$ tenemos que $\mu=3\nu=3\cdot 0=0$. Además, de la ecuación $2$ sabemos que $\lambda=-\nu=-0=0$, de forma que $\lambda=\mu=\nu=0$ y por lo tanto el conjunto $\set{v_1,v_2,v_3}$ es linealmente independiente.
Observa que lo que hemos tratado de exhibir en estos ejemplos para probar si un conjunto de vectores $v_1,\dotsc,v_m \in \mathbb R^n$ distintos, es $l.d$ o $l.i$, consiste en ver si existen $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m \in \mathbb R$ no todos nulos tales que $\lambda_1 v_1+\dotsc+\lambda_m v_m=\bar{0}$, o si la única forma de que $\lambda_1 v_1+\dotsc +\lambda_m v_m=\bar{0}$, es que $\lambda_1=\dotsc=\lambda_m =0$. En el primer caso el conjunto es $l.d$ y en el segundo $l.i.$
Observación 1
Sean $S$ y $S’$ subconjuntos finitos de $\mathbb R^n $ con $S’\subseteq S$.
$a)$ Si $S’$ es $l.d$, entonces $S$ es $l.d$.
$b)$ Si $S$ es $l.i$, entonces $S’$ es $l.i$.
Demostración de $a)$.
Sean $S’\subseteq S\subseteq \mathbb R^n$ con $S$ y $S’$ finitos. Entonces los conjuntos son de la forma
$S=\set{v_1,\dotsc,v_t}$
$S’=\set{v_1,\dotsc,v_t,v_{t+1},\dotsc,v_m},$
para algunos $t,m$ naturales positivos con $t\leq m$. Supongamos que $S’$ es $l.d$. Así, existen $\lambda_1,\dotsc,\lambda_t\in\mathbb R$ no todos nulos tales que $\lambda_1 v_1+\dotsc+\lambda_t v_t=\bar{0}$.
Tenemos entonces que $\lambda_1 v_1+\dotsc+\lambda_t v_t+0 v_{t+1}+\dotsc+0 v_m =\bar{0}$ con $\lambda_1,\dotsc,\lambda_t,0\in \mathbb R$ no todos nulos, por lo tanto $S$ es $l.d.$
Demostración de $b)$.
Es la contrapuesta de $a)$.
$\square$
Observación 2
Dos vectores en $\mathbb R^n $ forman un conjunto $l.d$ si y sólo si uno es múltiplo del otro.
Demostración
$\Longrightarrow$ Demostración de la implicación de ida
Supongamos que $\set{u,v}$ es $l.d$. Entonces existen $\lambda, \gamma \in \mathbb R$ no ambos nulos tales que $\lambda u+\gamma v=\bar{0}$. Si $\lambda \neq 0$ tenemos que $u=-\frac{\gamma}{\lambda} v$, y si $\gamma \neq 0$ tenemos que $v=-\frac{\lambda}{\gamma} u$.
$\Longleftarrow$ Demostración de la implicación de regreso
Sin pérdida de generalidad supongamos que $u=\mu v$ con $\mu\in \mathbb R$, entonces $1u+(-\mu)v=\bar{0}$ con $1\neq 0$. Así, $\set{u,v}$ es $l.d$.
$\square$
Tarea Moral
$1.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Determina si los siguientes conjuntos son $l.i$.
$i.$ $\set{(1,2,4),(0,0,3),(0,1,7)}$
$ii.$ $\set{(2,1,1),(-1,1,1),(1,0,0)}$
$2.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^2$ sobre el campo de los reales. ¿Para qué valores de $k$ el conjunto $\set{(3k,2),(-k,k+1)}$ es $l.i$?.
$3.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Sea $S=\set{v_1,v_2,v_3}$ un subjconjunto de $\mathbb R^3$ tal que ningun vector en él es múltiplo de otro. ¿Es $S$ linealmente independiente?
$4.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^n$ sobre el campo de los reales. Sea $S=\set{v_1,\dotsc,v_m}$ un subjconjunto de $\mathbb R^n$ tal que todo subconjunto de $S$ con $m-1$ vectores es linealmente independiente. ¿Es $S$ linealmente independiente?
Más adelante.
En la siguiente nota estudiaremos el concepto de base del espacio vectorial $\mathbb R^n$ y de base de un subespacio de $\mathbb R^n$.
Enlaces relacionados
Enlace a la nota anterior. Nota 29. Subespacio generado
Enlace a la nota siguiente. Nota 31. Bases de $\mathbb R^n$