(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la presente nota definiremos lo que son las combinaciones lineales de los elementos de un subconjunto de ${\mathbb{R}}^n$, veremos que si iniciamos con cualquier subconjunto no vacío de ${\mathbb{R}}^n$ y consideramos todas sus combinaciones lineales, este conjunto será siempre un subespacio vectorial de ${\mathbb{R}}^n$.

Iniciemos con la definición de combinaciones lineales.

Definición

Sean $m\in \mathbb{N}$ con $n>0$ y $v_1,\dots ,v_m\in {\mathbb{R}}^n$. Una combinación lineal de $v_1,\dots ,v_m$ es una expresión de la forma:

${\lambda }_1{v}_1+\dots +{\lambda }_m{v}_m$

con ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m\in \mathbb{R}$.

De modo más general, si $S$ es un subconjunto de ${\mathbb{R}}^n$, una combinación lineal de vectores de $S$ es un vector de la forma:

${\lambda }_1{v}_1+\dots +{\lambda }_m{v}_m$,

con $m\in \mathbb{N}$, $n>0$, $v_1,\dots ,v_m\in S$ y ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m\in \mathbb{R}$.

Ejemplos

$1.$ Considera al conjunto $S=\{(1,0,0),(1,-1,0),(1,1,-1)\}.$

$2(1,0,0)-(1,-1,0)+5(1,1,-1)=(6,6,-5)$

$-3(1,0,0)+0(1,-1,0)+(1,1,-1)=(-2,1,-1)$

$0(1,0,0)+(1,-1,0)+5(1,1,-1)=(6,4,-1)$

son combinaciones lineales de vectores de $S.$

$2.$ Considera al conjunto $S=\{(1,2,0,5),(-1,3,2,-\frac{1}{2})\}.$

$4(1,2,0,5)+9(-1,3,2,-\frac{1}{2})=(-5,35,18,\frac{31}{2})$

es una combinación lineal de vectores de $S$.

$3.$ Considera al conjunto $S=\{(\frac{1}{n},\frac{1}{n})\mid n\in \mathbb{N},n>0\}$. Observa que

$S=\{(1,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2}),(\frac{1}{3},\frac{1}{3})\dots \}.$

Entonces

$2(\frac{1}{2},\frac{1}{2})+3(\frac{1}{6},\frac{1}{6})-4(\frac{1}{12},\frac{1}{12})=(\frac{7}{6},\frac{7}{6})$

es una combinación lineal de vectores de $S$.

Importante

Aunque el conjunto $S$ sea infinito, en una combinación lineal sólo se usa una cantidad finita de vectores de $S$.

Proposición

Sea $S$ un subconjunto no vacío de ${\mathbb{R}}^n$. El conjunto de todas las combinaciones lineales de $S$, que denotamos por $\mathcal{C}(S)$, cumple lo siguiente:

$i)$ Es un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$, es decir $\mathcal{C}(S)\le {\mathbb{R}}^n$.

$ii)$ Contiene al conjunto $S$, es decir $S\subseteq \mathcal{C}(S)$.

$iii)$ El conjunto $\mathcal{C}(S)$ está contenido en cualquier subespacio $W$ de ${\mathbb{R}}^n$ que contenga a $S$.

Demostración

Demostración de $i)$.

Por demostrar que $\mathcal{C}(S)\le {\mathbb{R}}^n$.

Como $S\ne \mathrm{\varnothing }$, sea $v\in S$. Tenemos que $\overline{0}=0v\in \mathcal{C}(S).$

Sean $v,w\in \mathcal{C}(S)$, por demostrar que $v+w\in \mathcal{C}(S).$

Como $v,w\in \mathcal{C}(S)$ tenemos que

$v={\lambda }_1{v}_1+\dots +{\lambda }_n{v}_t$, con $t\in \mathbb{N}$, $n>0$, $v_1,\dots ,v_t\in S$ y ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_t\in \mathbb{R}$, y

$w={\mu }_1{w}_1+\dots +{\mu }_m{w}_m$, con $m\in \mathbb{N}$, $n>0$, $w_1,\dots ,w_m\in S$ y ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_m\in \mathbb{R}$.

Entonces

$v+w=({\lambda }_1{v}_1+\dots +{\lambda }_t{v}_t)+({\mu }_1{w}_1+\dots +{\mu }_m{w}_m)$

por lo cual la suma $v+w$ es otra combinación lineal de elementos de $S,$ y por lo tanto $v+w\in \mathcal{C}(S)$.

Sean $v\in \mathcal{C}(S)$ y $\gamma \in \mathbb{R}.$

Por demostrar que $\gamma v\in \mathcal{C}(S).$

Como $v\in \mathcal{C}(S)$ tenemos que

$v={\lambda }_1{v}_1+\dots +{\lambda }_n{v}_m$, con $m\in \mathbb{N}$, $n>0$, $v_1,\dots ,v_m\in S$ y ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m\in \mathbb{R}$.

Observa entonces que:

$\gamma v=\gamma ({\lambda }_1{v}_1+\dots +{\lambda }_m{v}_m)=(\gamma {\lambda }_1)v_1+\dots +(\gamma {\lambda }_m)v_m$

que también es una combinación lineal de los elementos de $S$ y por lo tanto $\gamma v\in \mathcal{C}(S)$.

Como $\overline{0}\in \mathcal{C}(S)$, $v+w\in \mathcal{C}(S)$ para todos $v,w\in \mathcal{C}(S)$, y $\gamma v\in \mathcal{C}(S)$ para todo $\gamma \in \mathbb{R}$ y todo $v\in \mathcal{C}(S)$, concluimos que $\mathcal{C}(S)$ es un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$.

Demostración de $ii)$

Por demostrar que $S\subseteq \mathcal{C}(S)$.

Sea $v\in S$, por demostrar que $v\in \mathcal{C}(S)$.

Como $v=1v$, entonces $v$ es una combinación lineal de vectores de $S$ y por tanto $v\in \mathcal{C}(S)$.

Así, $S\subseteq \mathcal{C}(S)$.

Demostración de $iii)$

Sea $W$ un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$ que contiene a $S$, es decir tal que $S\subseteq W$.

Por demostrar que $\mathcal{C}(S)\subseteq W.$

Sea $v\in \mathcal{C}(S).$ Sabemos que

$v={\lambda }_1{v}_1+\dots +{\lambda }_m{v}_m$, con $m\in \mathbb{N}$, $n>0$, $v_1,\dots ,v_m\in S$ y ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m\in \mathbb{R}$.

Para cada $i$, $v_i\in S$, y $S\subseteq W$, entonces $v_i\in W$ para todo $i$.

Como $W$ es un subespacio vectorial el producto por escalares es cerrado y entonces ${\lambda }_i{v}_i\in W$ para todo $i$, además la suma es cerrada en $W$ por lo que:

$v={\lambda }_1{v}_1+\dots +{\lambda }_n{v}_n\in W$.

Por lo tanto $\mathcal{C}(S)\subseteq W$.

Tarea Moral

$1.$ Sea $S=\{(1,1,1),(-4,-4,-4)\}$. En caso de ser posible, halla $3$ subespacios de ${\mathbb{R}}^3$ que contengan a $S$, si no es posible explica por qué.

$2$. Sea $S=\{(2,-5,3),(4,-1,0)\}$. En caso de ser posible, encuentra $3$ subespacios de ${\mathbb{R}}^3$ que contengan a $S$, si no es posible explica por qué.

Más adelante

En la siguiente entrada veremos cómo construir un subespacio a partir de un subconjunto de vectores dado, usando como herramienta el concepto de combinación lineal que acabamos de estudiar.

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