(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En la presente nota definiremos lo que son las combinaciones lineales de los elementos de un subconjunto de $\mathbb R^n$, veremos que si iniciamos con cualquier subconjunto no vacío de $\mathbb R^n$ y consideramos todas sus combinaciones lineales, este conjunto tendrá siempre la estructura de espacio vectorial.
Iniciemos con la definición de combinaciones lineales.
Definición
Sean $m\in \mathbb N^+$ y $v_1,\dotsc,v_m\in \mathbb R^n$, una combinación lineal de $v_1,\dotsc,v_m$ es una expresión de la forma:
$\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_m v_m$
con $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.
De modo más general, si $S$ es un subconjunto de $\mathbb R^n$, una combinación lineal de vectores de $S$ es un vector de la forma:
$\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_m v_m$,
con $v_1,\dotsc,v_m\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.
Ejemplos
$1.$ Considera al conjunto $S=\set{(1,0,0),(1,-1,0),(1,1,-1)}.$
$2(1,0,0)-(1,-1,0)+5(1,1,-1)=(6,6,-5)$
$-3(1,0,0)+0(1,-1,0)+(1,1,-1)=(-2,1,-1)$
$0(1,0,0)+(1,-1,0)+5(1,1,-1)=(6,4,-1)$
son combinaciones lineales de vectores de $S.$
$2.$ Considera al conjunto $S=\set{ (1,2,0,5),(-1,3,2,-\frac{1}{2}) }.$
$4(1,2,0,5)+9(-1,3,2,-\frac{1}{2})=(-5,35,18,\frac{39}{2})$
es una combinación lineal de vectores de $S$.
$3.$ Considera al conjunto $S=\set{(\frac{1}{n},\frac{1}{n})\mid n\in \mathbb N^+}$. Observa que
$S=\set{(1,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2}),(\frac{1}{3},\frac{1}{3})\dotsc}.$
Entonces
$2(\frac{1}{2} , \frac{1}{2})+3(\frac{1}{6} ,\frac{1}{6} )-4(\frac{1}{12}, \frac{1}{12})=(\frac{7}{6} , \frac{7}{6})$
es una combinación lineal de vectores de $S$.
Importante
Aunque el conjunto $S$ sea infinito, en una combinación lineal sólo se usa una cantidad finita de vectores de $S$.
Proposición
Sea $S$ un subconjunto no vacío de $\mathbb R^n$. El conjunto de todas las combinaciones lineales de $S$, que denotamos por $\mathscr C(S)$, cumple lo siguiente:
$i)$ Es un subespacio de $\mathbb R^n$, es decir $\mathscr C(S)\leq \mathbb R^n$.
$ii)$ Contiene al conjunto $S$, es decir $S\subseteq \mathscr C(S)$.
$iii)$ El conjunto $\mathscr C(S)$ está contenido en cualquier subespacio $W$ de $\mathbb R^n$ que contenga a $S$.
Demostración
Demostración de $i)$.
Por demostrar que $\mathscr C(S)\leq \mathbb R^n$.
Como $S\neq \emptyset$, sea $v\in S$. Tenemos que $\bar{0}=0v\in \mathscr C(S).$
Sean $v,w\in \mathscr C(S)$, por demostrar que $v+w\in \mathscr C(S).$
Como $v,w\in \mathscr C(S)$ tenemos que
$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n$, con $n\in \mathbb N^+$, $v_1,\dotsc,v_n\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n\in \mathbb R$, y
$w= \mu_1 w_1+\dotsc+ \mu_m w_m$, con $m\in \mathbb N^+$, $w_1,\dotsc,w_m\in S$ y $\mu_1,\dotsc,\mu_m\in \mathbb R$.
Entonces
$v+w=(\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n) + (\mu_1 w_1+\dotsc+ \mu_m w_m)$
por lo cual la suma $v+w$ es otra combinación lineal de elementos de $S,$ y por lo tanto $v+w\in \mathscr C(S)$.
Sea $v\in \mathscr C(S)$ y $\gamma\in \mathbb R.$
Por demostrar que $\gamma v\in \mathscr C(S).$
Como $v\in \mathscr C(S)$ tenemos que
$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n$, con $n\in \mathbb N^+$, $v_1,\dotsc,v_m\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.
Observa entonces que:
$\gamma v=\gamma (\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n)=(\gamma \lambda_1) v_1+\dotsc+ (\gamma \lambda_n )v_n$
que también es una combinación lineal de los elementos de $S$ y por lo tanto $\gamma v\in \mathscr C(S)$.
Y como $\bar{0}\in \mathscr C(S)$, $v+w\in \mathscr C(S)$ para todos $v,w\in \mathscr C(S)$, y $\gamma v\in \mathscr C(S)$ para todo $\gamma \in \mathbb R$ y todo $ v\in \mathscr C(S)$, concluimos que $\mathscr C(S)$ es un subespacio de $\mathbb R^n$.
Demostración de $ii)$
Por demostrar que $S\subseteq \mathscr C(S)$.
Sea $v\in S$, por demostrar que $v\in \mathscr C(S)$.
Como $v=1v$, entonces es una combinación lineal y por tanto $v\in \mathscr C(S)$, así $S\subseteq \mathscr C(S)$.
Demostración de $iii)$
Sea $W$ un subespacio de $\mathbb R^n$ que contiene a $S$, es decir tal que $S\subseteq W$.
Por demostrar que $\mathscr C(S)\subseteq W.$
Sea $v\in \mathscr C(S).$
$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n$, con $n\in \mathbb N^+$, $v_1,\dotsc,v_m\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.
Para cada $i$, $v_i\in S$ y $S\subseteq W$, entonces $v_i\in W$ para todo $i$.
Como $W$ es un subespacio vectorial el producto por escalares es cerrado y entonces $\lambda_i v_i\in W$ para todo $i$, además la suma es cerrada en $W$ por lo que:
$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n\in W$.
Por lo tanto $\mathscr C(S)\subseteq W$.
Tarea Moral
$1.$ Sea $S=\set{(1,1,1),(-4,-4,-4)}$. En caso de ser posible, halla $3$ subespacios de $\mathbb R^3$ que contengan a $S$, si no es posible explica por qué.
$2$. Sea $S=\set{(2,-5,3),(4,-1,0)}$. En caso de ser posible, encuentra $3$ subespacios de $\mathbb R^3$ que contengan a $S$, si no es posible explica por qué.
Más adelante
Nota anterior. Nota 27. Subespacios vectoriales.
Nota siguiente. Nota 29. Subespacio generado.