(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En la presente nota definiremos lo que son las combinaciones lineales de los elementos de un subconjunto de $\mathbb R^n$, veremos que si iniciamos con cualquier subconjunto no vacío de $\mathbb R^n$ y consideramos todas sus combinaciones lineales, este conjunto será siempre un subespacio vectorial de $\mathbb R^n$.
Iniciemos con la definición de combinaciones lineales.
Definición
Sean $m\in \mathbb N$ con $n>0$ y $v_1,\dotsc,v_m\in \mathbb R^n$. Una combinación lineal de $v_1,\dotsc,v_m$ es una expresión de la forma:
$\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_m v_m$
con $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.
De modo más general, si $S$ es un subconjunto de $\mathbb R^n$, una combinación lineal de vectores de $S$ es un vector de la forma:
$\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_m v_m$,
con $m\in \mathbb N$, $n>0$, $v_1,\dotsc,v_m\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.
Ejemplos
$1.$ Considera al conjunto $S=\set{(1,0,0),(1,-1,0),(1,1,-1)}.$
$2(1,0,0)-(1,-1,0)+5(1,1,-1)=(6,6,-5)$
$-3(1,0,0)+0(1,-1,0)+(1,1,-1)=(-2,1,-1)$
$0(1,0,0)+(1,-1,0)+5(1,1,-1)=(6,4,-1)$
son combinaciones lineales de vectores de $S.$
$2.$ Considera al conjunto $S=\set{ (1,2,0,5),(-1,3,2,-\frac{1}{2}) }.$
$4(1,2,0,5)+9(-1,3,2,-\frac{1}{2})=(-5,35,18,\frac{31}{2})$
es una combinación lineal de vectores de $S$.
$3.$ Considera al conjunto $S=\set{(\frac{1}{n},\frac{1}{n})\mid n\in \mathbb N, n>0}$. Observa que
$S=\set{(1,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2}),(\frac{1}{3},\frac{1}{3})\dotsc}.$
Entonces
$2(\frac{1}{2} , \frac{1}{2})+3(\frac{1}{6} ,\frac{1}{6} )-4(\frac{1}{12}, \frac{1}{12})=(\frac{7}{6} , \frac{7}{6})$
es una combinación lineal de vectores de $S$.
Importante
Aunque el conjunto $S$ sea infinito, en una combinación lineal sólo se usa una cantidad finita de vectores de $S$.
Proposición
Sea $S$ un subconjunto no vacío de $\mathbb R^n$. El conjunto de todas las combinaciones lineales de $S$, que denotamos por $\mathscr C(S)$, cumple lo siguiente:
$i)$ Es un subespacio de $\mathbb R^n$, es decir $\mathscr C(S)\leq \mathbb R^n$.
$ii)$ Contiene al conjunto $S$, es decir $S\subseteq \mathscr C(S)$.
$iii)$ El conjunto $\mathscr C(S)$ está contenido en cualquier subespacio $W$ de $\mathbb R^n$ que contenga a $S$.
Demostración
Demostración de $i)$.
Por demostrar que $\mathscr C(S)\leq \mathbb R^n$.
Como $S\neq \emptyset$, sea $v\in S$. Tenemos que $\bar{0}=0v\in \mathscr C(S).$
Sean $v,w\in \mathscr C(S)$, por demostrar que $v+w\in \mathscr C(S).$
Como $v,w\in \mathscr C(S)$ tenemos que
$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_t$, con $t\in \mathbb N$, $n>0$, $v_1,\dotsc,v_t\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_t\in \mathbb R$, y
$w= \mu_1 w_1+\dotsc+ \mu_m w_m$, con $m\in \mathbb N$, $n>0$, $w_1,\dotsc,w_m\in S$ y $\mu_1,\dotsc,\mu_m\in \mathbb R$.
Entonces
$v+w=(\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_t v_t) + (\mu_1 w_1+\dotsc+ \mu_m w_m)$
por lo cual la suma $v+w$ es otra combinación lineal de elementos de $S,$ y por lo tanto $v+w\in \mathscr C(S)$.
Sean $v\in \mathscr C(S)$ y $\gamma\in \mathbb R.$
Por demostrar que $\gamma v\in \mathscr C(S).$
Como $v\in \mathscr C(S)$ tenemos que
$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_m$, con $m\in \mathbb N$, $n>0$, $v_1,\dotsc,v_m\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.
Observa entonces que:
$\gamma v=\gamma (\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_m v_m)=(\gamma \lambda_1) v_1+\dotsc+ (\gamma \lambda_m )v_m$
que también es una combinación lineal de los elementos de $S$ y por lo tanto $\gamma v\in \mathscr C(S)$.
Como $\bar{0}\in \mathscr C(S)$, $v+w\in \mathscr C(S)$ para todos $v,w\in \mathscr C(S)$, y $\gamma v\in \mathscr C(S)$ para todo $\gamma \in \mathbb R$ y todo $ v\in \mathscr C(S)$, concluimos que $\mathscr C(S)$ es un subespacio de $\mathbb R^n$.
Demostración de $ii)$
Por demostrar que $S\subseteq \mathscr C(S)$.
Sea $v\in S$, por demostrar que $v\in \mathscr C(S)$.
Como $v=1v$, entonces $v$ es una combinación lineal de vectores de $S$ y por tanto $v\in \mathscr C(S)$.
Así, $S\subseteq \mathscr C(S)$.
Demostración de $iii)$
Sea $W$ un subespacio de $\mathbb R^n$ que contiene a $S$, es decir tal que $S\subseteq W$.
Por demostrar que $\mathscr C(S)\subseteq W.$
Sea $v\in \mathscr C(S).$ Sabemos que
$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_m v_m$, con $m\in \mathbb N$, $n>0$, $v_1,\dotsc,v_m\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.
Para cada $i$, $v_i\in S$, y $S\subseteq W$, entonces $v_i\in W$ para todo $i$.
Como $W$ es un subespacio vectorial el producto por escalares es cerrado y entonces $\lambda_i v_i\in W$ para todo $i$, además la suma es cerrada en $W$ por lo que:
$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n\in W$.
Por lo tanto $\mathscr C(S)\subseteq W$.
Tarea Moral
$1.$ Sea $S=\set{(1,1,1),(-4,-4,-4)}$. En caso de ser posible, halla $3$ subespacios de $\mathbb R^3$ que contengan a $S$, si no es posible explica por qué.
$2$. Sea $S=\set{(2,-5,3),(4,-1,0)}$. En caso de ser posible, encuentra $3$ subespacios de $\mathbb R^3$ que contengan a $S$, si no es posible explica por qué.
Más adelante
En la siguiente entrada veremos cómo construir un subespacio a partir de un subconjunto de vectores dado, usando como herramienta el concepto de combinación lineal que acabamos de estudiar.
Nota anterior. Nota 27. Subespacios vectoriales.
Nota siguiente. Nota 29. Subespacio generado.