(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En la siguiente nota veremos algunas propiedades del $\mathbb R$-espacio vectorial $\mathbb R^n$. Probaremos la unicidad del neutro aditivo, así como la unicidad de los inversos aditivos, veremos que las propiedades de cancelación de la suma también se cumplen, se demostrará que la multiplicación del neutro aditivo de $\mathbb R$ por cualquier vector de $\mathbb R^n$ nos da el neutro aditivo, y que la multiplicación de cualquier escalar por el neutro aditivo, es el neutro aditivo. Finalizaremos viendo que el inverso aditivo de un vector $v$, que hemos denotado por $\tilde{v}$, es de hecho $(-1)v$.
Proposición 1
En $\mathbb R^n$ el neutro aditivo es único.
Demostración
Supongamos que $\bar{0}$ y $\bar{0}’$ son dos neutros aditivos en $\mathbb R^n$.
Por demostrar que $\bar{0}=\bar{0}’$
| Explicación | |
| $\bar{0}=$ | Consideramos uno de los neutros. |
| $=\bar{0}+\bar{0}’$ | Gracias a que $\bar{0}’$ es también un neutro. |
| $=\bar{0}’$ | Pues $\bar{0}$ es un neutro. |
$\square$
Proposición 2
En $\mathbb R^n$ los inversos aditivos son únicos.
Sea $v\in \mathbb R^n$, supongamos que $\tilde{v}$ y $\hat{v}$, son inversos aditivos de $v$.
Por demostrar que $\tilde{v}=\hat{v}$.
Demostración
| Explicación | |
| $\tilde{v}=\tilde{v}+\bar{0}=$ | Gracias a que $\bar{0}$ es el neutro. |
| $=\tilde{v}+(v+\hat{v})=$ | Como $\hat{v}$ es un inverso de $v$ $v+\hat{v}=\bar{0}$. |
| $=(\tilde{v}+v)+\hat{v}=$ | Gracias a la asociatividad. |
| =$\bar{0}+\hat{v}$ | $\tilde{v}$ también es un inverso de $v$ y entonces $\tilde{v}+v=\bar{0}$. |
| $=\hat{v}$ | Pues $\bar{0}$ es el neutro. |
$\square$
Propiedades de cancelación
Sean $u,v,w\in \mathbb R^n.$
i) Si $u+v=w+v$ entonces $u=w.$
ii) Si $v+u=v+w$ entonces $u=w.$
Demostración
Sean $u,v,w\in \mathbb R^n$
Demostración de i)
Supongamos que $u+v=w+v$, si le sumamos el inverso $\tilde{v}$ de ambos lados de la igualdad tenemos que:
$(u+v)+\tilde{v}=(w+v)+\tilde{v}.$
En virtud de la asociatividad tenemos que:
$u+(v+\tilde{v})=w+(v+\tilde{v})$
Y como $\tilde{v}$ es el inverso de $v$ obtenemos
$u+\bar{0}=w+\bar{0}.$
Y así $u=w.$
Demostración de ii)
Observa que es un corolario de la demostración del inciso anterior, gracias a la conmutatividad de la suma.
$\square$
Proposición 3
En $\mathbb R^n$ se cumple que:
1. $0v=\bar{0}\,\,\,\,\forall v\in \mathbb R^n.$
2. $\lambda \bar{0}\,\,\,\,\forall \lambda\in \mathbb R.$
Demostración
Demostración de 1
| Explicación | |
| $\bar{0}+0v=0v=$ | Gracias a que $\bar{0}$ es el neutro en $\mathbb R^n$. |
| $=(0+0)v$ | $0=0+0$, gracias a que $0$ es neutro en $\mathbb R.$ |
| $=0v+0v$ | Gracias a la distributividad en $\mathbb R$. |
Obtenemos de las igualdades en la tabla que $\bar{0}+0v=0v+0v$, por la propiedad de la cancelación mostrada anteriormente tenemos que $\bar{0}=0v$.
Demostración de 2
| Explicación | |
| $\bar{0}+\lambda\bar{0}=\lambda\bar{0}=$ | Gracias a que $\bar{0}$ es neutro en $\mathbb R^n$. |
| $\lambda(\bar{0}+\bar{0})$ | $\bar{0}=\bar{0}+\bar{0}$, gracias a que $\bar{0}$ es neutro en $\mathbb R^n$. |
| $\lambda\bar{0}+\lambda\bar{0}$ | Gracias a la distributividad en $\mathbb R^n$. |
Obtenemos de las igualdades en la tabla que $\bar{0}+\lambda\bar{0}=\lambda\bar{0}+\lambda\bar{0}$, por la propiedad de la cancelación mostrada anteriormente tenemos que $\bar{0}=\lambda\bar{0}$.
$\square$
Proposición 4
Para todo $v\in \mathbb R^n,\,\,\,\,(-1)v$ es el inverso aditivo de $v$.
Demostración
Sea $v\in \mathbb R^n$. Veamos que $(-1)v$ es su inverso aditivo.
| Explicación | |
| $v+(-1)v=1v+(-1)v=$ | Pues $v=1v$. |
| $=(1+(-1))v$ | Por distributividad. |
| $=0v$ | Pues en $\mathbb R$ se tiene que $1+(-1)=0$. |
| $=\bar{0}$ | Por la proposición 3. |
En virtud de la unicidad de los inversos concluimos que $(-1)v=\tilde{v}$.
$\square$
Notación
Dado $v\in \mathbb R^n$ denotaremos por $-v$ a su inverso aditivo.
Corolario
En $\mathbb R^n$e cumple que:
$(-\lambda) v=-(\lambda v)=\lambda (-v),\,\,\,\,\forall \lambda\in \mathbb R\,\,\,\,\forall v\in \mathbb R^n$.
| Explicación | |
| $\lambda (-v)=\lambda((-1)v)$ | $-v=(-1)v$ por la proposición 4. |
| $=(\lambda(-1))v$ | Propiedades del producto escalar en $\mathbb R^n$. |
| $=(-\lambda)v$ | Gracias a que en $\mathbb R$ $\lambda(-1)=-\lambda$. |
| $=((-1)\lambda)v$ | Gracias a que en $\mathbb R$ $\lambda(-1)=-\lambda$. |
| $=(-1)(\lambda v)$ | Propiedades del producto escalar en $\mathbb R^n$. |
| $=-(\lambda v)$ | Por la proposición 4. |
$\square$
Tarea Moral
Determina si dados $v\in \mathbb R^n$, $\lambda\in \mathbb R$, el hecho de que $\lambda v=\bar{0}$ implica necesariamente que $v=\bar{0}$ o que $\lambda =0$.
Más adelante
En la siguiente nota veremos el importante concepto de subespacio vectorial.
Enlaces relacionados
Enlace a la nota anterior. Nota 25. Espacios vectoriales.
Enlace a la nota siguiente. Nota 27. Subespacios vectoriales.