(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la siguiente nota veremos algunas propiedades del $\mathbb{R}$-espacio vectorial ${\mathbb{R}}^n$. Probaremos la unicidad del neutro aditivo, así como la unicidad de los inversos aditivos, veremos que las propiedades de cancelación de la suma también se cumplen, se demostrará que la multiplicación del neutro aditivo de $\mathbb{R}$ por cualquier vector de ${\mathbb{R}}^n$ nos da el neutro aditivo, y que la multiplicación de cualquier escalar por el neutro aditivo, es el neutro aditivo. Finalizaremos viendo que el inverso aditivo de un vector $v$, que hemos denotado por $\tilde{v}$, es de hecho $(-1)v$.

Aunque denotamos las operaciones de suma y producto por escalar en ${\mathbb{R}}^n$ como $\oplus$ y $\odot$ para distinguirlas de la suma y el producto en $\mathbb{R}$, en general es claro por el contexto si se trata de unas u otras, así que a partir de aquí simplificaremos la notación y denotaremos a la suma de $u,v\in {\mathbb{R}}^n$ como $u+v$, y al producto de $\lambda \in \mathbb{R}$ por $v\in {\mathbb{R}}^n$ como $\lambda v$.

Proposición 1

En ${\mathbb{R}}^n$ el neutro aditivo es único.

Demostración

Supongamos que $\overline{0}$ y ${\overline{0}}^{\prime }$ son dos neutros aditivos en ${\mathbb{R}}^n$.

Por demostrar que $\overline{0}={\overline{0}}^{\prime }$

	Explicación
$\overline{0}=$	Consideramos uno de los neutros.
$=\overline{0}+{\overline{0}}^{\prime }$	Gracias a que ${\overline{0}}^{\prime }$ es un neutro.
$={\overline{0}}^{\prime }$	Pues $\overline{0}$ es un neutro.

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Proposición 2

En ${\mathbb{R}}^n$ los inversos aditivos son únicos.

Demostración

Sea $v\in {\mathbb{R}}^n$, supongamos que $\tilde{v}$ y $\hat{v}$, son inversos aditivos de $v$.

Por demostrar que $\tilde{v}=\hat{v}$.

	Explicación
$\tilde{v}=\tilde{v}+\overline{0}=$	Gracias a que $\overline{0}$ es el neutro.
$=\tilde{v}+(v+\hat{v})=$	Como $\hat{v}$ es un inverso de $v$ $v+\hat{v}=\overline{0}$.
$=(\tilde{v}+v)+\hat{v}=$	Gracias a la asociatividad.
=$\overline{0}+\hat{v}$	$\tilde{v}$ también es un inverso de $v$ y entonces $\tilde{v}+v=\overline{0}$.
$=\hat{v}$	Pues $\overline{0}$ es el neutro.

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Propiedades de cancelación

Sean $u,v,w\in {\mathbb{R}}^n.$

i) Si $u+v=w+v$, entonces $u=w.$

ii) Si $v+u=v+w$, entonces $u=w.$

Demostración

Sean $u,v,w\in {\mathbb{R}}^n$.

Demostración de i)

Supongamos que $u+v=w+v$, si le sumamos el inverso de $v$, $\tilde{v}$, de ambos lados de la igualdad tenemos que:

$(u+v)+\tilde{v}=(w+v)+\tilde{v}.$

En virtud de la asociatividad tenemos que:

$u+(v+\tilde{v})=w+(v+\tilde{v})$

y como $\tilde{v}$ es el inverso de $v$ obtenemos

$u+\overline{0}=w+\overline{0}.$

Así, $u=w.$

Demostración de ii)

Observa que se obtiene de la demostración del inciso anterior y de la conmutatividad de la suma, ya que si $v+u=v+w$, por la conmutatividad de la suma tenemos que $u+v=w+v$ y debido al inciso anterior concluimos que $u=w.$

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Proposición 3

En ${\mathbb{R}}^n$ se cumple que:

1. $0v=\overline{0}\mathrm{\forall }v\in {\mathbb{R}}^n.$

2. $\lambda \overline{0}\mathrm{\forall }\lambda \in \mathbb{R}.$

Demostración

Demostración de 1

	Explicación
$\overline{0}+0v=0v=$	Gracias a que $\overline{0}$ es el neutro en ${\mathbb{R}}^n$.
$=(0+0)v$	$0=0+0$, gracias a que $0$ es neutro en $\mathbb{R}.$
$=0v+0v$	Gracias a la distributividad en $\mathbb{R}$.

Obtenemos de las igualdades en la tabla que $\overline{0}+0v=0v+0v$, por la propiedad de la cancelación mostrada anteriormente tenemos que $\overline{0}=0v$.

Demostración de 2

	Explicación
$\overline{0}+\lambda \overline{0}=\lambda \overline{0}=$	Gracias a que $\overline{0}$ es neutro en ${\mathbb{R}}^n$.
$\lambda (\overline{0}+\overline{0})$	$\overline{0}=\overline{0}+\overline{0}$, gracias a que $\overline{0}$ es neutro en ${\mathbb{R}}^n$.
$\lambda \overline{0}+\lambda \overline{0}$	Gracias a la distributividad en ${\mathbb{R}}^n$.

Obtenemos de las igualdades en la tabla que $\overline{0}+\lambda \overline{0}=\lambda \overline{0}+\lambda \overline{0}$, por la propiedad de la cancelación mostrada anteriormente tenemos que $\overline{0}=\lambda \overline{0}$.

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Proposición 4

Para todo $v\in {\mathbb{R}}^n,(-1)v$ es el inverso aditivo de $v$.

Demostración

Sea $v\in {\mathbb{R}}^n$. Veamos que $(-1)v$ es su inverso aditivo.

	Explicación
$v+(-1)v=1v+(-1)v=$	Pues $v=1v$.
$=(1+(-1))v$	Por distributividad.
$=0v$	Pues en $\mathbb{R}$ se tiene que $1+(-1)=0$.
$=\overline{0}$	Por la proposición 3.

Hemos probado que $v+(-1)v=\overline{0}$ y por la conmutatividad de la suma también $(-1)v+v=\overline{0}$. En virtud de la unicidad de los inversos concluimos que $(-1)v$ es el inverso aditivo de $v$.

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Notación

Dado $v\in {\mathbb{R}}^n$ denotaremos por $-v$ a su inverso aditivo.

Corolario

En ${\mathbb{R}}^n$e cumple que:

$(-\lambda )v=-(\lambda v)=\lambda (-v),\mathrm{\forall }\lambda \in \mathbb{R}\mathrm{\forall }v\in {\mathbb{R}}^n$.

	Explicación
$\lambda (-v)=\lambda ((-1)v)$	$-v=(-1)v$ por la proposición 4.
$=(\lambda (-1))v$	Propiedades del producto escalar en ${\mathbb{R}}^n$.
$=(-\lambda )v$	Gracias a que en $\mathbb{R}$ $\lambda (-1)=-\lambda$.
$=((-1)\lambda )v$	Gracias a que en $\mathbb{R}$ $\lambda (-1)=-\lambda$.
$=(-1)(\lambda v)$	Propiedades del producto escalar en ${\mathbb{R}}^n$.
$=-(\lambda v)$	Por la proposición 4.

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Tarea Moral

Determina si dados $v\in {\mathbb{R}}^n$, $\lambda \in \mathbb{R}$, el hecho de que $\lambda v=\overline{0}$ implica necesariamente que $v=\overline{0}$ o que $\lambda =0$.

Más adelante

En la siguiente nota veremos el importante concepto de subespacio vectorial.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 25. Espacios vectoriales.

Enlace a la nota siguiente. Nota 27. Subespacios vectoriales.